Srednje vrednosti in variabilnost Pojem srednjih vrednost Vrednosti

Srednje vrednosti in variabilnost

Pojem srednjih vrednost • Vrednosti spremenljivk pri posameznih enotah so različne (variacija) • Vendar so nekatere vrednosti pogostejše – Se le malo razlikujejo od večine vrednosti – Npr. velika gostitev enot v nekem razredu • Iščemo dobrega predstavnika vseh enot, celotne populacije

Vrste srednjih vrednosti • • • Povprečje ali aritmetična sredina M in M* Mediana Me in Me* Modus Mo in Mo* Harmonična sredina H in Geometrijska sredina G Iz različnih vidikov odkrivajo tisto, kar je tipično za pojav

Aritmetična sredina M • Najbolj znana in uporabljana • Dobimo jo, če vsoto vrednosti delimo z N • Če bi bile vrednosti spremenljivke pri vseh opazovanih enotah enake, bi bile njihove vrednosti enake aritmetični sredini.

Aritmetična sredina iz frekvenčne porazdelitve M* • Je ocena aritmetične sredine, ker ne poznamo posamičnih vrednosti • Uporabimo sredino razreda kot predstavnika vseh enot razreda • Sredine pomnožimo s frekvencami • Produkte seštejemo in dobimo oceno vsote vrednosti • Oceno vsote delimo z N oz. vsoto frekvenc

Frekvenčna porazdelitev dolžin skokov v daljino za 116 deklet za izračun TAS dolžina v cm frekven ca sredina razreda produkt frekvence in sredine razreda 131 -140 5 135, 5 677, 5 141 -150 11 145, 5 1600, 5 151 -160 22 155, 5 3421, 0 161 -170 33 165, 5 5461, 5 171 -180 20 175, 5 3510, 0 181 -190 12 185, 5 2226, 0 191 -200 5 195, 5 977, 5 201 -210 4 205, 5 822, 0 211 -220 4 215, 5 862, 0 Skupaj 116 M* 19558, 0 168, 6

Aritmetična sredina iz frekvenčne porazdelitve M* • Imenujemo je tudi tehtana (ponderirana) aritmetična sredina • Frekvence so uteži ali ponderji • M* se razlikuje od M, je ocena – Razlika je odvisna od velikosti populacije in simetričnosti porazdelitve • Pri veliko enotah in simetrični por. je razlika majhna • Pri asimetričnih porazdelitvah je razlika precejšnja.

Mediana Me • Je srednja vrednost, od katere ima 50% enot manjše vrednosti in 50% enot večje vrednosti – Spomni se: 106 s

Mediana • Za izračun ne potrebujemo vseh vrednosti (če je razred odprt), je pa neobčutljiva za spremembe najmanjših in največjih vrednosti • Če imamo posamezne vrednosti: • Razvrstimo enote po velikosti • To je ranžirna vrsta, vsaka enota ima zaporedno mesto ali rang R • Me je tista vrednost, ki ima rang R

Mediana • Če imamo sodo število enot v populaciji, rang R ni celo število – Rang R je med dvema vrednostma – Me je aritmetična sredina teh dveh vrednosti

Mediana • Izračun iz frekvenčnih porazdelitev – ocena mediane Me*: 1. Izračunajmo rang mediane R 2. Izračunamo kumulativo frekvenc Fj 3. Po kumulativi frekvenc ugotovimo, v katerem razredu je enota, ki ustreza izračunanemu rangu R. To je razred, v katerem je Fj prvič večja od R

Mediana 4. Ta razred označimo z o in ga imenujemo medialni razred. 5. Oceno mediane dobimo po obrazcu za linearno interpolacijo:

Mediana Pomen oznak: yo, min – spodnja medialnega razreda do – širina medialnega razreda F-1 – kumulativa frekvenc v razredu pred medialnim razredom fo – frekvenca v medialnem razredu

Primer

Modus • Je najpogostejša vrednost. • Izračun ocene modusa iz frekvenčne porazdelitve – Modalni razred je tisti, v katerem je največja frekvenca

Modus • Pomen oznak: yo, min – spodnja meja modalnega razreda do – širina modalnega razreda f-1 – frekvenca v razredu pred modalnim fo – frekvenca v modalnem razredu f+1 – frekvenca v razredu za modalnim

Modus • Grafično določanje modusa Mo*

Odnosi med M, Me in Mo Simetrična M=Me=Mo asimetrična v desno asimetrična v levo M>Me>Mo M<Me<Mo

Harmonična sredina H • H je recipročna vrednost aritmetične sredine iz recipročnih vrednosti spremenljivke

Harmonična sredina H • Se uporablja pri izračunavanju srednjih vrednosti iz relativnih števil – Npr. povprečni strukturni odstotki – Povprečni statistični koeficienti • Naloga: – 5 delavcev je delalo po 1 uro. Pri tem so dosegli naslednjo produktivnost dela: 4, 5, 2, 6, 3 minute za 1 proizvod. Kolikšna je poprečna produktivnost?

Rešitev naloge • Narobe bi bilo p. produktivnost izračunati kot aritmetično sredino. • Pogledati se mora, kako je bila produktivnost izračunana. – Delovni čas/število proizvodov

Geometrijska sredina G • G se uporablja pri izračunavanju povprečij koeficientov rasti in verižnih indeksov. • Vsi podatki morajo biti pozitivni. • G je N-ti koren iz produkta vseh N vrednosti

Izračunavanje povprečij iz relativnih števil

Izračunavanje odstotkov • Način računanja je odvisen od razpoložljivih podatkov • Nasvet: obrazec za izračun sredine si nastavite z besedami, tako boste videli, katerih podatkov nimate in kako jih lahko izračunate. Izračunajte povprečni odstotek deklet v obeh programih! Program Vsi dijaki Dekleta Gimnazijski 547 368 ekonomski 430 256

Program Vsi Odstotek dijaki deklet Program Št. deklet Odstotek deklet gimnaz. 547 67, 3 gimnaz. 368 67, 3 ekonomski 430 59, 5 ekonomski 256 59, 5 TAS THS

Izračunavanje povprečnih koeficientov Šola Št. učen učit cev eljev 1 78 4 2 62 3 Šola povp št. učencev na učitelja Št. učiteljev 1 19, 5 4 2 20, 6 3 Šola povp št. Št. učencev na učencev učitelja 1 19, 5 78 2 20, 6 62

Povprečja kazalcev rasti • Povprečni koeficient rasti • Povprečni verižni indeks • Povprečna stopnja rasti

Analiza variabilnosti • En parameter je npr. povprečna plača, kakšne pa so razlike v plačah? • Vrednost spremenljivka varira (se spreminja) od enote do enote

Kazalci variabilnosti • Variacijski razmik • Varianca in standardni odklon • Relativne mere variabilnosti – Koeficient variacije – Relativni variacijski razmik

Varianca • Odklon posamične vrednosti od aritmetične sredine M pokaže moč variacije • Če so ti odkloni večji, je variabilnost močnejša • Varianca je povprečje kvadratov odklonov od aritmetične sredine

Varianca • Obr. za lažje računanje • Izračun iz frekvenčne porazdelitve – yj je sredina razreda

Standardni odklon • Varianca ima neprimerno mersko enoto (kvadrat osnovne enote) • Koren iz variance je standardni odklon – Pri simetričnih porazdelitvah je VR=6*SD – Zelo redke so vrednosti manjše od (M-3*SD) ali večje od (M+3*SD) • Glej normalno porazdelitev

Koeficient variacije • Razmerje med standardnim odklonom in aritmetično sredino • Izražen v procentih, zato je mogoče primerjati variabilnost različnih pojavov

Normalna porazdelitev