UZAY ANALTK GEOMETR 3 IR Uzayda de Nokta

UZAY ANALİTİK GEOMETRİ 3 IR Uzayda( de) Nokta, Doğru ve Düzlem MUSTAFA ÖZEL 1

TANIM Uzay(Solid) Geometri 3 boyutlu uzayda şekilleri ve aralarındaki ilişkileri inceleyen matematiğin dalına uzay geometri yada uzay analitik geometri denir. MUSTAFA ÖZEL 2

3 bilinmeyenli bir denklem yada 2 değişkenli bir fonksiyon, uzayda bir yüzey(cisim) gösterir ve kısaca denklemi ile yada fonksiyonu ile gösterilir. MUSTAFA ÖZEL 3

DÜZLEM Cebirsel olarak bir düzlem, gibi 3 bilinmeyenli bir doğrusal denklem ile tanımlanır. Burada, a, b, c ve d sabitler olup dır. MUSTAFA ÖZEL 4

Buna göre, bir düzlemin belli olabilmesi için, en az üç geometrik koşulun verilmesi gerekir. Bu koşullardan en geneli, üçü aynı bir doğru üzerinde olmayan üç noktadır. P P 3 P 2 P 1 MUSTAFA ÖZEL 5

DÜZLEM • Doğrusal olmayan üç nokta tam olarak bir düzlem belirtir. MUSTAFA ÖZEL 6

Düzlemin dik vektörü olur. Buna göre Mo(xo, yo, zo) noktasında geçen ve vektörüne dik olan düzlem denklemi dir. MUSTAFA ÖZEL 7

ÖRNEK • M(1, 2, -4) noktasında geçen ve dik vektörü olan düzlem olarak elde edilir. MUSTAFA ÖZEL 8

ÖRNEK: A(1, 2, 3) ve B(2, 1, -3) noktalarından geçen ve vektörüne paralel olan düzlemin denklemini bulunuz. Düzlemin değişen bir noktası P(x, y, z) ise olur. MUSTAFA ÖZEL 9

İKİ DÜZLEM ARASINDAKİ İLİŞKİLER • Varsayalım ki, iki düzlem, olsun. Bu düzlemlerin dik vektörleri dir. Eğer, ise, düzlemler dik; ise, düzlemler paraleldir. Böylece dik vektörler aracılığı ile, düzlemler aradaki. MUSTAFA açı ÖZEL 10

elde edilir. P A Q B Uzayda iki yada daha fazla düzlem arasındaki ilişkiler(kesişme, paralellik, çakışma, . . . ) doğrusal denklem sistemlerinin çözüm özellikleri ile incelenebilir. MUSTAFA ÖZEL 11

Bir Noktanın Bir Düzleme Uzaklığı P P(xo, yo, zo) noktasının h düzlemine uzaklığı dir. MUSTAFA ÖZEL 12

ÖZEL DÜZLEMLER • 1) x=0 , y=0 ve z=0 düzlemleri z x=0 0 y= y z=0 x MUSTAFA ÖZEL 13

• 2) x=p, y=q ve z=r düzlemleri p, q ve r sabitler z z=r y x MUSTAFA ÖZEL 14

• 3) ax+by+d=0, ax+cz+d=0 ve by+cz+d=0 düzlemleri , sırasıyla z, y ve x eksenine paralel düzlemleri gösterir. z 0 = d + y ax+b y (0, -d/b, 0) (-d/a, 0, 0) x MUSTAFA ÖZEL 15

• 4) Düzlem, denklemi ile veriliyorsa, bu • (a, 0, 0) , (0, b, 0) ve (0, 0, c) noktalarından geçen düzlem z (0, 0, c) y (0, b, 0) (a, 0, 0) x MUSTAFA ÖZEL 16

DOĞRU • İki Noktadan Tam Olarak Bir Doğru Geçer. MUSTAFA ÖZEL A B 17

TANIM noktasından geçen ve vektörüne paralel olan doğru denklemi . P MUSTAFA ÖZEL 18

Doğrununu parametrik denklemi ise olur. MUSTAFA ÖZEL 19

Doğrular Arasındaki İlişkiler i) parelel ise doğrularda paraleldir. ii) ile paralel değil ve iki doğrunun ortak noktası yoksa doğrular aykırıdır. ile paralel değil ve iki doğrunun ortak iv) noktası varsa doğrular kesişirler. MUSTAFA ÖZEL 20

DOĞRULAR KESİŞİYORSA , ve vektörlerinin aynı bir düzlemde kalacağından dolayı doğruların kesişme koşulu olduğu görülür. MUSTAFA ÖZEL 21

http: //wwwmath. mit. edu/~djk/18_022/chapter 02/contents. html İYİ ÇALIŞMALAR… MUSTAFA ÖZEL 22