UFRPE Licenciatura em Computao Disciplina Lgica e Programao

UFRPE – Licenciatura em Computação Disciplina: Lógica e Programação Lógica Prof. : Paulemir G. Campos Lógica Proposicional (Método da Tabela Verdade, Tautologias, Contradição e Árvore de Refutação) 11/30/2020 DEInfo - Prof. Paulemir Campos 1

Sumário n n Método da Tabela Verdade Tautologias Contradição Árvore de Refutação 11/30/2020 DEInfo - Prof. Paulemir Campos 2

Método da Tabela Verdade n n É um método força bruta utilizado para verificar a validade de fórmulas da Lógica Proposicional. Número de linhas: n A tabela verdade de uma fórmula com n símbolos proposicionais, sem repetição, terá 2 n linhas, sem contar a linha de cabeçalho. 11/30/2020 DEInfo - Prof. Paulemir Campos 3

Método da Tabela Verdade n Colunas (Da esquerda para a direita): n n n Primeiramente são especificadas as colunas correspondentes aos símbolos proposicionais sem repetição em ordem alfabética. Depois, deve-se acrescentar uma coluna para cada uma das outras sub-fórmulas distintas, começando pela de maior prioridade. Note que a última coluna será a própria fórmula que se deseja avaliar. 11/30/2020 DEInfo - Prof. Paulemir Campos 4

Método da Tabela Verdade n Preenchimento das Colunas (da esq. à dir. ) n n Ao 1º símbolo proposicional atribuem-se 2 n-1 valores V seguidos de 2 n-1 valores F; Ao 2º símbolo proposicional atribuem-se 2 n-2 valores V seguidos de 2 n-2 valores F. Este passo se repete até que esta coluna esteja completamente preenchida; 11/30/2020 DEInfo - Prof. Paulemir Campos 5

Método da Tabela Verdade n Preenchimento das Colunas (da esq. à dir. ) n n De modo geral, ao k-ésimo símbolo proposicional Pk, com 1 k n, atribuem-se alternadamente 2 n-k valores V seguidos de igual número de valores F; Por fim, as demais colunas devem ser preenchidas de acordo com a interpretação de suas sub-fórmulas considerando todas as linhas da tabela verdade. 11/30/2020 DEInfo - Prof. Paulemir Campos 6

Método da Tabela Verdade n Exemplo: n Construir a tabela verdade da fórmula H = (P 1 P 2) P 1 V V F F 11/30/2020 P 2 V F P 2 F V (P 1 P 2) F V F F DEInfo - Prof. Paulemir Campos (P 1 P 2) V F V V 7

Tautologias n n Uma tautologia é toda proposição composta cujo valor lógico é sempre verdade (V). Ou, uma fórmula H diz-se ser uma tautologia se o valor verdade de H sempre for verdadeiro, quaisquer que sejam os valores verdade de seus símbolos constituintes. 11/30/2020 DEInfo - Prof. Paulemir Campos 8

Tautologias n n As tautologias são também denominadas proposições tautológicas ou proposições logicamente verdadeiras. É imediato que as fórmulas P P e P P são tautológicas. 11/30/2020 DEInfo - Prof. Paulemir Campos 9

Tautologias n Exemplo 1: n n A fórmula (P P) é uma tautologia. (Princípio da não contradição) P (P P) P V F F V F V Portanto, dizer que uma proposição não pode ser simultaneamente verdadeira e falsa é sempre verdadeiro. 11/30/2020 DEInfo - Prof. Paulemir Campos 10

Tautologias n Exemplo 2: n A fórmula P P é uma tautologia. (Princípio do terceiro excluído) P V F n P F V P P V V Portanto, dizer que uma proposição ou é verdadeira ou é falsa é sempre verdadeiro. 11/30/2020 DEInfo - Prof. Paulemir Campos 11

Tautologias n Exemplo 3: n P V V F F A fórmula P Q (P Q) é uma tautologia. Q V F 11/30/2020 P Q V F F F (P Q) V F F V P Q (P Q) V V DEInfo - Prof. Paulemir Campos 12

Tautologias n Exemplo 4: n A fórmula P R Q R é uma tautologia. P Q R Q P R Q R P R Q R V V V F F V V V F F V V F V F F V V F F F V V 11/30/2020 DEInfo - Prof. Paulemir Campos 13

Tautologias n n Teorema 1: A proposição P implica logicamente a proposição Q, isto é P Q (1), se e somente se a condicional P Q (2) é uma tautologia. Portanto, toda implicação lógica (1) corresponde uma condicional tautológica (2), e vice-versa. 11/30/2020 DEInfo - Prof. Paulemir Campos 14

Tautologias n Exemplo de Implicação Lógica: n P V V F Q V F F A fórmula (P Q) P implica logicamente a fórmula Q, pois, a condicional (P Q) P Q é uma tautologia (vide tabela abaixo). P Q (P Q) P 11/30/2020 (P Q) P Q V F F V V F V DEInfo - Prof. Paulemir Campos 15

Tautologias n n Teorema 2: A proposição P equivale logicamente a proposição Q, isto é P Q (1), se e somente se a bi-condicional P Q (2) é uma tautologia. Portanto, a toda equivalência lógica (1) corresponde uma bi-condicional tautológica (2), e vice-versa. 11/30/2020 DEInfo - Prof. Paulemir Campos 16

Tautologias n Exemplo de Equivalência Lógica: n A bi-condicional (P Q false) (P Q) é tautológica (vide tabela abaixo). Q P Q false (P Q false) (P Q) (P Q false) (P Q) P Q V V F F F V V F F F V V V F F V V V 11/30/2020 DEInfo - Prof. Paulemir Campos 17

Tautologias n Exemplo de Equivalência Lógica (conclusão) n Portanto, as fórmulas (P Q false) e (P Q) são logicamente equivalentes. Simbolicamente, temos: (P Q false) (P Q) 11/30/2020 DEInfo - Prof. Paulemir Campos 18

Tautologias - Propriedades n Baseado na Álgebra de Boole, são apresentadas a seguir algumas propriedades da Lógica Proposicional, sendo que cada uma das proposições exibidas são tautologias. 11/30/2020 DEInfo - Prof. Paulemir Campos 19

Tautologias - Propriedades n Associativa n n n (A B) C A (B C) Comutativa n n A B B A 11/30/2020 DEInfo - Prof. Paulemir Campos 20

Tautologias - Propriedades n Distributiva n n n A (B C) (A B) (A C) Leis de De Morgan n n (A B) A B 11/30/2020 DEInfo - Prof. Paulemir Campos 21

Tautologias - Propriedades n Leis de Absorção n n n Idempotente n n A (A B) A A A A e A A A Lei da Dupla Negação n A A 11/30/2020 DEInfo - Prof. Paulemir Campos 22

Contradição n n Uma contradição é toda proposição composta cujo valor lógico é sempre falso (F), quaisquer que sejam os valores lógicos de seus símbolos constituintes. Como uma tautologia é sempre verdadeira (V), a negação de uma tautologia é sempre falsa (F), ou seja, uma contradição, e vice-versa. 11/30/2020 DEInfo - Prof. Paulemir Campos 23

Contradição n Exemplo: n A fórmula (P P) é uma contradição. P V F n P F V (P P) F F Portanto, dizer que uma proposição pode ser simultaneamente verdadeira e falsa é sempre falso. 11/30/2020 DEInfo - Prof. Paulemir Campos 24

Árvore de Refutação n n É um outro método utilizado para verificar se uma fórmula é uma tautologia ou não. Basicamente constrói-se uma tabela para uma fórmula H comp[H]+1 colunas e linhas suficientes para a verificação em vista. A coluna extra é para justificativa. 11/30/2020 DEInfo - Prof. Paulemir Campos 25

Árvore de Refutação n n Em seguida, deve-se supor que a fórmula H é falsa (F); A partir deste ponto, desenvolve-se um encadeamento lógico com base nas tabelas verdade dos conectivos lógicos presentes na fórmula H até toda a fórmula tenha sido analisada. 11/30/2020 DEInfo - Prof. Paulemir Campos 26

Árvore de Refutação n n Por fim, caso haja alguma inconsistência, certamente supor que a fórmula H é falsa é “errado”. Logo, pode-se concluir que a fórmula H é uma tautologia. De modo análogo, pode utilizar este método para verificar se uma fórmula H é uma contradição ou não. 11/30/2020 DEInfo - Prof. Paulemir Campos 27

Árvore de Refutação n Exemplo: Verificar usando árvore de refutação se a fórmula (A B) A é uma tautologia. 1. Construção da tabela n (A B) 11/30/2020 A Justificativa DEInfo - Prof. Paulemir Campos 28

Árvore de Refutação n Exemplo: Verificar usando árvore de refutação se a fórmula (A B) A é uma tautologia. 2. Supor que esta fórmula é falsa. n (A B) F 11/30/2020 A Justificativa Não é uma tautologia. DEInfo - Prof. Paulemir Campos 29

Árvore de Refutação n Exemplo: Verificar usando árvore de refutação se a fórmula (A B) A é uma tautologia. 3. Dar prosseguimento ao raciocínio lógico. n (A B) A F V 11/30/2020 Justificativa Não é uma tautologia. F Tabela verdade de DEInfo - Prof. Paulemir Campos 30

Árvore de Refutação n Exemplo: Verificar usando árvore de refutação se a fórmula (A B) A é uma tautologia. 3. Dar prosseguimento ao raciocínio lógico. n (A B) A F V V Não é uma tautologia. F V 11/30/2020 Justificativa Tabela verdade da DEInfo - Prof. Paulemir Campos 31

Árvore de Refutação n Exemplo: Verificar usando árvore de refutação se a fórmula (A B) A é uma tautologia. 4. Verificando inconsistência na tabela obtida. n (A B) A F V V Não é uma tautologia. F V 11/30/2020 Justificativa Tabela verdade da DEInfo - Prof. Paulemir Campos 32

Árvore de Refutação n Exemplo: Verificar usando árvore de refutação se a fórmula (A B) A é uma tautologia. 5. Conclusão. Portanto, supor que a fórmula em questão não é uma tautologia conduziu a seguinte inconsistência I[A] = F e I[A] = V. Logo, conclui-se que (A B) A é uma tautologia, como queríamos verificar. n 11/30/2020 DEInfo - Prof. Paulemir Campos 33

Exercícios n 1. Determine quais das seguintes proposições são tautologias, contradições ou nenhuma delas (isto é, contingentes). a) A (B A) b) (A B) A c) ((A A) ((B A) ((A B))) d) (A B) A B 11/30/2020 DEInfo - Prof. Paulemir Campos 34

Exercícios n 2. Mostrar que: a) A B A b) A (B A) B n 3. Mostrar que A B não implica logicamente A B. 11/30/2020 DEInfo - Prof. Paulemir Campos 35

Exercícios n 4. Quais da seguintes fórmulas é logicamente equivalente à fórmula (A B)? a) B A b) B (C A) c) B A 11/30/2020 DEInfo - Prof. Paulemir Campos 36

Referências Bibliográficas n n Abe, J. M. ; Scalzitti A. ; Silva Filho, J. I. Introdução à Lógica para a Ciência da Computação. 2ª. ed. São Paulo: Arte e Ciência, 2002. Filho, E. A. Iniciação à Lógica Matemática. São Paulo: Nobel, 1986. 11/30/2020 DEInfo - Prof. Paulemir Campos 37

Referências Bibliográficas n n Dalen, D. van Logic and Structure. 3 rd. ed. Berlin: Springer-Verlag, 1994. Souza, J. N. Lógica para Ciência da Computação: Fundamentos da linguagem, semântica e sistemas de dedução. Rio de Janeiro: Elsevier (Campus), 2002. 11/30/2020 DEInfo - Prof. Paulemir Campos 38