Teknik Mencacah Pendahuluan v Jika jumlah outcomes pada

Teknik Mencacah

Pendahuluan v Jika jumlah ‘outcomes’ pada suatu percobaan adalah kecil/sedikit, maka relatif mudah untuk menghitungnya. Contoh : Daerah hasil untuk sebuah dadu : 1, 2, 3, 4, 5, dan 6 v Jika terdapat sejumlah ‘outcomes’ yang mungkin dihasilkan, misalnya jumlah ‘Head” dan ‘Tails’ untuk pengundian 10 koin, akan menimbulkan masalah tersendiri dalam menghitungnya (kemungkinan hasil : 10 H, 9 H 1 T, 8 H 2 T dst).

Pendahuluan v Solusi untuk permasalahan yang mempunyai ‘outcomes’ yang besar adalah dengan menggunakan 3 cara : 1. Kaidah Perkalian 2. Permutasi 3. Kombinasi

Kaidah Perkalian Andaikan k operasi disusun secara berurutan, dimana : Operasi 1 dapat dilakukan dalam n 1 cara Operasi 2 dapat dilakukan dalam n 2 cara. . . Operasi k dapat dilakukan dalam nk cara Maka, banyaknya cara untuk menyusun k operasi dapat dilakukan dalam : N = n 1. n 2. . . n k cara

Kaidah Perkalian Perluasan dari kaidah perkalian tersebut : Jika terdapat m cara untuk melakukan suatu operasi dan n cara untuk melakukan operasi lainnya, maka terdapat m x n cara untuk melakukan kedua operasi tersebut Contoh : Sebuah situs shopping online menawarkan sweater dan celana panjang untuk wanita, masing-masing mempunyai 5 pilihan warna untuk sweater dan 4 pilihan warna untuk celana panjang. Berapa pasang pakaian yang dapat ditampilkan pada iklannya? 5 x 4 = 20 pasang

Contoh : Pada lomba lari 100 meter, empat anak lolos ke putaran akhir, yaitu A(Adi), B(Banu), C (Candra), dan D(Dodi). Pada perlombaan tersebut disediakan dua hadiah. Ada berapakah susunan pemenang yang mungkin muncul pada akhir pertandingan? Jawab: Pemenang pertama dan kedua yang mungkin muncul, dapat kita susun yaitu: AB, AC, AD, BA, BC, BD, CA, CB, CD, DA, DB, dan DC. Proses menentukan banyaknya susunan pemenang secara umum mengikuti aturan sebagai berikut: Langkah 1: Ada 4 peserta lomba yang semuanya bisa keluar sebagai juara pertama. Langkah 2: Satu orang sudah masuk garis akhir, masih ada 3 peserta lomba yang bisa menduduki juara kedua. Jadi Seluruhnya ada 4 x 3 = 12 susunan pemenang yang mungkin terjadi

Permutasi v Definisi : Suatu permutasi r obyek yang diambil dari n obyek yang berlainan, adalah penempatan r obyek tersebut dalam satu urutan ( r < n ) v Teorema :

Permutasi Contoh : Dari 3 kandidat, dipilih hanya 2 orang yang akan ditempatkan sebagai direktur dan wakil direktur. Ada berapa kemungkinan cara yang dapat disusun?

Permutasi Contoh Misalkan diadakan undian untuk memperebutkan 2 hadiah (hadiah I dan II). Jika yang memperebutkan hadiah itu ada 3 orang (A, B, dan C), ada berapa cara kedua macam hadiah itu dapat diberikan kepada para pemenang? . Jawab: Cara Eksp. A B. . . (A, B) = permutasi ke-1 = p 1 C. . . (A, C) = permutasi ke-2 = p 2 A. . . (B, A) = permutasi ke-3 = p 3 A Diundi untuk B B C C. . . (B, C) = permutasi ke-4 = p memperebutkan 2 hadiah 4 Obyek Eksp. C 3 org A. . . (C, A) = permutasi ke-5 = p 5 B. . . (C, B) = permutasi ke-6 = p 6 2 cara Menurut Prinsip Perkalian Banyaknya cara: n(S) = Hal. : 9 = S, n(S) =

Kombinasi v Definisi : Suatu kombinasi r obyek yang diambil dari n obyek yang berlainan, adalah suatu pilihan dari r obyek tanpa memperhatikan urutannya ( r < n ) v Teorema :

Kombinasi Contoh : Ada berapa cara untuk memilih 3 kartu dari 8 kartu yang berbeda?

Sampling WR dan WOR Populasi n item Sample sebanyak r WR ada nr cara WOR Urutan Diperhatikan Urutan tidak diperhatikan

Peluang Kejadian 1. Pengambilan Sekaligus S Ambil acak 2 bola sekaligus. Hasil-hasil yang mungkin? Eksp 1: ambil acak 2 bola sekaligus 1 2 3 Obyek Eksp 1 2 … s 1 1 3 … s 2 2 3 … s 3 A S S = {s 1, s 2 , s 3 } = Ruang sampel hasil eksperimen A = Peristiwa terambilnya jumlah kedua nomor bola ganjil = {s 1, s 3 } , n(A) = 2. Hal. : 13 A s 1 Cara Ekp. Hasil-hasil yang mungkin s 2 n(S) = P(A)= = 3. =

Peluang Kejadian 2. Pengambilan Satu demi Satu Tanpa Pengembalian Ambil acak 2 bola 1 – 1 tanpa pengemb. Hasil-hasil yang mungkin? Hasil-hasil yang mungkin Cara Ekp. 1 Eksp 2 : ambil acak 2 bola 1 – 1 tanpa pengembalian 1 2 2 3 Obyek Eksp S s 2 s 5 A s 3 s 1 Hal. : 14 3 s 6 s 4 3 cara 2 … 1 A 2 … s 1 3 … s 2 1 … s 3 3 … 2 1 … 3 1 … s 5 2 … 3 2 … s 6 3 … s 4 S 2 cara S = {s 1, s 2 , s 3 , . . . , s 6 } = Ruang sampel hasil eksperimen n(S) = = 3 × 2 = 6. A = peristiwa terambilnya jumlah kedua nomor bola ganjil = {s 1, s 3, s 4 , s 6 } P(A) = = =.

Peluang Kejadian 3. Pengambilan 1 – 1 Dengan Ambil acak 2 bola 1 -1 dengan pengembalian. Hasil-hasil yang mungkin? Eksp 2: ambil acak 2 bola 1 -1 dengan pengemb. 1 2 Pengembalian II I 1 … 1 1 … s 1 1 2 … s 2 3 … 1 3 … s 3 s 1 s 3 A s 2 s 5 s 4 s 8 3 cara s 7 s 9 s 6 S 2 3 3 S Hasil-hasil yang mungkin A 1 … 3 1 … s 7 2 … 3 2 … s 8 3 … 3 3 … s 9 3 cara S = {s 1, s 2 , s 3, . . . , s 9} n(S) = nr = 32 = 9 A = peristiwa terambilnya jumlah kedua nomor bola ganjil. = {s 2, s 4, s 6 , s 8 } Hal. : 15 P(A) = = .

Soal - soal 1. Suatu delegasi terdiri dari 7 orang mahasiswa dipilih dari : 8 mahasiswa TE 7 mahasiswa TI 6 mahasiswa IF Tentukan peluang bahwa delegasi tersebut beranggotaan : a. 2 mhs IF, 4 mhs TI, dan 1 mhs TE b. 2 mhs IF 2. Suatu kotak berisi bola sbb: 40 bola warna putih, 50 bola warna merah, 60 bola warna hitam Selanjutnya, dalam kotak tersebut 20 bola secara WOR. Pertanyaan: Tentukan peluang yang mendapatkan : a. 10 bola warna putih, 4 merah, 6 hitam b. 10 bola warna putih 30 Oktober 2020 [MA 2513] PROBSTAT 16

3. Suatu kantong berisi bola : 6 bola warna merah 4 bola warna putih 8 bola warna biru a. Lima bola diambil dari kantong tersebut dengan kondisi WR. Berapa peluang terambilnya tiga bola warna merah. b. Lima bola diambil dari kantong tersebut dengan kondisi WOR. Berapa peluang terambilnya tiga bola warna merah. c. Lima bola diambil dengan kondisi WR. Berapa peluang terambilnya 2 bola merah, 2 bola putih 1 bola biru. d. Lima bola diiambil dengan kondisi WOR. Berapa peluang terambilnya 2 bola merah, 2 bola putih, 1 bola biru. 30 Oktober 2020 [MA 2513] PROBSTAT