Strfri strfrinemandinn 1 misseri haustnn 2004 III Fari

Stærðfræði – stærðfræðinemandinn 1. misseri – haustönn 2004 - III • • • Farið yfir verkefni Nokkur fleiri skúffuregludæmi Runa Fibonaccis í náttúrunni Runa Fibonaccis í stærðfræði Gullinsnið Verkefni • Annað: Hópverkefni, val í hópa, val viðfangsefna Meyvant Þórólfsson September 2004 6/17/2021

Upprifjun Talnarunur • 2, 4, 6, 8, 10, . . . Næst kemur 12 og reglan er 2 n • 1, 4, 9, 16, 25, . . . Næst kemur 36 og reglan er n 2 • 2, 4, 8, 16, 32, . . . Næst kemur 64 og reglan er 2 n • 1, 8, 27, 64, . . . Næst kemur 125 og reglan er n 3 • 1, 1, 2, 3, 5. . . Næst kemur 8. En hver er reglan? 6/17/2021

Verkefni II • • 20 rauðir sokkar og 12 bláir sokkar í myrkri. . . 20 rauðir sokkar, 12 bláir og 8 grænir. . . 10 pör af skóm (20 skór), allir eins. . . 2 milljónir manna, enginn með fleiri hár en 1, 5 milljónir. Sýna að a. m. k. tveir séu með sama hárafjölda. . . • Eigin almenn útskýring á skúffureglu. . . • 1, 5, 14, 30. . . • 3, 3, 6, 9, 15. . . 6/17/2021

Verkefni II Mindscapes bls. 43 -46 • Milljón dollara tilboðið. . . • Skákborðið og gullmolarnir. . . • Áhugaverður eiginleiki tölunnar 29, en ekki 27 • Næsta fullkomin tala við töluna 6. . . • Dúfur og dúfnakofar. . . (P og P-1) • Leikur, sá sem endar á 1 vinnur. . . • Tölur lægri en 10. 000 sem innihalda 3. . . • 100 manns mæta í vinnuna á bilinu 8. 00 – 8. 30. . . • 5, 8 milljónir, nánast enginn lifir 100 ár. . . II. 5 6/17/2021

Runa Fibonaccis í náttúrunni • Til er saga um fádæma frjósamar kanínur, sem fjölgar um eitt par á mánuði eftir að kanínurnar eru orðnar tveggja mánaða. Fjölgunin fylgir þessu talnamynstri: • (0), 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144. . . • Þetta mynstur (regla) fyrirfinnst víða í náttúrunni og birtist í margvíslegum myndum. 6/17/2021

Kanínur Fibonaccis • Gerum ráð fyrir að nýfætt kanínupar, karl og kerling, séu sett saman í búr. Eftir mánuð eru þær kynþroska og getnaður á sér stað og mánuði seinna eignast kerlingin tvö afkvæmi, einn karl og eina kerlingu. Hugsum okkur að þessi regla haldist hjá öllum kanínupörunum. • Hve mörg pör af kanínum verða þá komin eftir árið, ef allar verða lifandi? 6/17/2021

Kanínur Fibonaccis • Fullvaxnar kanínur Ungar kanínur • 1 • 2 • 3 • 5 • 8. . 6/17/2021

Fibonaccitölur og “Fibonaccinágrannar” Fibonaccitölur eru oft táknaðar þannig: • F 1 = 1, F 2 = 1, F 3 = 2, F 4 = 3, F 5 = 5, . . . • Hvernig er hægt að reikna eina F-tölu af annarri? (Ath. dæmi I. 1 um kanínurnar) • Hvert er hlutfallið milli samliggjandi F-talna? • 1/1 = 1, . . . 13/8 = 1, 625, . . . 55/34 = 1, 6176, • . . . 233/144 = 1, 618055556. . . • Ath: a/b = 1/(b/a) , t. d. 3/4 = 1/(4/3) 6/17/2021

Náttúrulegar tölur og Fibonacci tölur • • Skrifum einhverja náttúrulega tölu, t. d. 200. Finnum hæstu Fn sem er lægri en 200. Það reynist vera 144. Drögum frá 200 – 144 = 56. Finnum svo hæstu Fn sem lægri en 56. • Það reynist vera 55. • Drögum aftur frá 56 – 55 = 1. M. ö. o. Þá er 200 = 144 + 55 + 1 • Í ljós kemur að sérhvert n N er annaðhvort Fn eða summa Fn talna sem eru ekki samliggjandi. 6/17/2021

Runa Fibonaccis í stærðfræði • Ath. vel 6/17/2021

Runa Fibonaccis í stærðfræði • Við fáum óendanlegt mynstur með tölunni 1 … • Leysum nú þessa jöfnu 6/17/2021

Gullna hlutfallið - Gullinsnið • Hlutfall tveggja samliggjandi Fibonacci-talna stefnir þannig á óræða tölu sem nefnist gullinsnið. • Þetta er talan (1 + √ 5)/2 ≈ 1, 618 • Gullni rétthyrningurinn: 6/17/2021

Gullna hlutfallið - Gullinsnið • Hlutfall tveggja samliggjandi Fibonacci-talna stefnir á óræða tölu sem nefnist gullinsnið. • Þetta er talan (1 + √ 5)/2 ≈ 1, 618 6/17/2021

Fyrir mánudaginn 20. september • Leysa öll dæmi á bls. 56 -63 sem hafa Fn -númer • Taka dæmi 1 -6 í hefti FD og KHJ (sjá á vef námskeiðsins). • Lesið yfir íslenska textann (FD og KHJ) ef tími vinnst til. 6/17/2021