Strfri strfrikennarinn 2 misseri vornn 2004 Brot hlutfll

Stærðfræði – stærðfræðikennarinn 2. misseri – vorönn 2004 Brot, hlutföll, prósentur, ræðar tölur. . . Meyvant Þórólfsson apríl-2004

Brot, hlutföll, prósentur, ræðar tölur. . . Sennilega er ekkert svið skólastærðfræði eins: n auðugt stærðfræðilega n flókið vitsmunalega n erfitt kennslufræðilega n en undantekningarlaust heillandi þegar maður skilur það. . . eins og brot, hlutföll, prósentur og ræðar tölur

Merkingarlaus tákn án samhengis n Svona tala er merkingarlaus án samhengis. n Merking hennar sem brots af heild er t. d. ekki alltaf sú sama og merking hennar sem hlutfalls. Annars vegar er um að ræða skiptingu í hluta , t. d. “ 3/4 hlutar af vegi eru með slitlagi”. Hins vegar er um að ræða margfeldissamband tveggja stærða, t. d. “hlutfall kynjanna í 28 manna bekk er 3 strákar á móti 4 stelpum (12: 16) n n

Einnig í formlegri stærðfræði Í formlegri stærðfræði tölum við um svona brot sem ræða tölu: n Ræð tala tilheyrir menginu Q. n Mengið Q hefur ýmis sérkenni: Tölur þess má allar rita á forminu p/q þar sem p og q eru heilar tölur og q ≠ 0. n Ræðar tölur standa óendanlega þétt, mynda raðsvið og mengi þeirra er lokað m. t. t. samlagningar og margföldunar n a/b + c/d = (ad + bc)/bd n (a/b)(c/d)=ac/bd

1. dæmi Við höfum tvö brot (ræðar tölur), 8/11 og 11/14: n Hvernig er vænlegast að sýna stærðarmun þeirra án þess að breyta þeim í tugabrot? n Liggur brotið 10/12 á milli þeirra? n Hve mörg brot liggja á milli 8/11 og 11/14?

Brotahugtakið (Fraction concept) n Framsetning brota er m. ö. o. óhlutbundin og framandi og illmögulegt er að átta sig á samhenginu nema með einhverri merkingarbærri tengingu. n 3/4; 0, 75; 75/100; og 75% er allt merkingarlaust bull í augum nemenda þar til eitthvert samhengi kemur til skjalanna.

Brotahugtakið (Fraction concept). . . Enda kynnast börn slíkum hugtökum snemma í samhengi við eitthvað sem þau þekkja: n Það gerist jafnan áður en formleg skólaganga hefst n Brot, hlutföll og jafngild brot (proportions) koma fyrir í leikjum jafnt úti sem inni, við matarborðið heima, í afmælisveislunni o. s. frv. n Afar mikilvægt er að brúa bilið milli slíkra forhugmynda barna og þeirrar formlegu þekkingar sem bíður þeirra í skólanum.

Brotahugtakið (Fraction concept) n Piaget og félagar rannsökuðu brotaskilning barna frá 4 ára aldri. n Brotaskilningur fylgir ákveðinni forgangsröð: Fyrst tekst börnum að helminga (2 -partition), síðan að skipta í 4 parta (4 -partition). n Nokkru seinna tekst börnum að skipta í þrjá parta (3 partition) og margfeldi af 3 og svo í 5 parta og þar á eftir í aðra parta (prímtöluparta).

Brotahugtakið (Fraction concept) Vænlegasta leiðin til að tryggja skilning barna á brotum er að fjalla um þau og rannsaka með hjálp líkana, t. d. tvívíðs líkans eins og pizzu. Þannig felur brot í sér samband hluta (part) og heildar (whole) í margs konar samhengi og framsetning getur verið mjög breytileg.

Brotahugtakið – “Big ideas” n Brotahlutarnir eru jafnstórir partar eða skammtar af heild eða heildarfjölda (Ef Jón fær 2/8 af pizzu sem er skipt í 8 parta fær hann 2 jafnstóra parta og eftir verða 6 jafnstórir partar og þeir sem Jón fékk). n Ef við tölum um fjórðung eða einn fjórða, þá þarf fjóra parta til að mynda heildina. Á sama hátt getum við talað um þriðjung, fimmtung, einn níunda, 1/16 o. s. frv. út í það óendanlega.

Brotahugtakið – “Big ideas” n Því fleiri sem partarnir eru, þeim mun minni er hver partur. (Dæmi: Hver partur er mun minni í brotinu 18/24 en í brotinu 3/4 þótt brotin séu jafngild) n Teljari gefur til kynna fjölda partanna sem um ræðir, nefnari tilgreinir heildarfjölda þeirra. (Dæmi: 3 er teljarinn og 4 nefnarinn í brotinu 3/4) n Tvö jafngild brot er tvær ólíkar framsetningar til að tákna sama magn (hluta) af heild. Heildarfjöldi hlutanna er ólíkur. (Dæmi: 3/4 = 18/24)

2. dæmi n Ritaðu tvö brot sem eru jafngild (equivalent) brotinu 18/24. Hafðu nefnarann (heildarfjölda parta) stærri í öðru og minni í hinu.

Líkön til að tákna brot n Tvívíð líkön, t. d. pizza, brotaspjöld, pinnabretti, rétthyrnd svæði o. s. frv. n Lengdarlíkön, t. d. Kubbalengjur, talnalínur, pappírsrenningar, tímaásar o. fl. T. d. 2/5 0 1 n Mengi (hlutmengi í heildarmengi), t. d. fjöldi nemenda í bekknum sem er í hvítum sokkum. Einnig má nota ýmsa hluti eða teikningar, t. d. 3/10: ●●●●●

Líkön til að tákna brot n n Mikilvægt er að kynna fyrir nemendum skiptingu heildar fyrst og svo skiptingu umfram heildina. Vinna til dæmis með 5 eða 10 fjórðu hluta o. s. frv. Sjá mynd 12. 6 í bókinni.

3. dæmi n Áætlaðu fyrir hvaða brot bókstafirnir A, B og F standa (námundun).

Aftur til fortíðar n Fyrir um 2500 árum pældu grískir heimspekingar og stærðfræðingar mikið í “heilum” og “brotnum” tölum og sambandi milli þeirra. n Pýþagóras og lærisveinar hans horfðu á “brotnar tölur” í ljósi rúmfræði enda var hún nærtækasta leiðin þeirra til að lýsa veruleikanum. n Þeir sögðu: Tvö línustrik, AB og CD, eru “sammælanleg” ef til er minna línustrik EF sem gengur upp í hin tvö. Hvað þýðir þetta?

4. dæmi Þetta mætti t. d. orða svo: n Hugsum okkur að AB sé samsett úr 3 strikum sem öll eru jafnlöng EF. Teiknaðu strikið AB hér og skiptu því í þrjá jafna parta, köllum hvern þeirra EF: n Hugsum okkur svo að CD sé samsett úr 12 strikum sem öll eru jafnlöng EF. Teiknaðu strikið CD hér og skiptu því í tólf jafna parta, sem við köllum líka EF:

Aftur til fortíðar n Línustrikið AB er jafnt og 3 sinnum strikið EF og línustrikið CD er jafnt og 12 sinnum strikið EF. Er þá ekki eftirfarandi satt: n AB/CD = 3(EF)/12(EF) = 3/12 eða 1/4? Og gildir þá ekki að strikið AB sé 3/12 af strikinu CD, þ. e. hluti af heild? Og það sé meira að segja 1/4 = 2/8 = 18/72 líka? n n n Með hjálp algebru getum við alhæft þannig: Sé strikið AB samsett úr p strikum sem öll eru jafnlöng EF og CD samsett úr q strikum sem öll eru jafnlöng EF. Þá höfum við: AB/CD = p(EF)/q(EF) = p/q , gildir sumsé fyrir allar tölur. Eða hvað?

Aftur til fortíðar n Einn lærisveina Pýþagórasar, Hippasus, komst um síðir að þeirri óþægilegu staðreynd að til væru línustrik sem gegndu ekki þessari reglu. n Taki maður fjögur jafnlöng línustrik og geri úr þeim ferning kemur í ljós að hornalínan verður ævinlega ósammælanleg hliðinni; ekki finnist minna línustrik, EF, sem gangi upp í hliðarlengdina annars vegar og hornalínulengdina hins vegar. n Grikkir höfðu þar með uppgötvað ferningsrót sem var stundum óræð tala (ekki hægt að rita sem ræða tölu p/q!

Aftur til fortíðar n n Önnur slík tala sem Forngrikkir rannsökuðu var talan , þ. e. talan sem fæst þegar skoðað er hlutfallið milli ummáls og þvermáls hrings. Arkimedes frá Alexandríu auðveldaði sér útreikninga með því að nota 22/7 eða 223/71 sem námundagildi fyrir hlutfallið milli ummáls og þvermáls hrings. Hann sem sagt hélt sig við ræðar tölur eða almenn brot, en hlutföll hans voru námundanir. Töluna er ekki hægt að rita sem hlutfall tveggja heilla talna p/q.

Heimadæmi fyrir 27. apríl n Finndu 2 sívala (hringlaga hluti) og mældu ummál og þvermál í cm með nákvæmni upp á einn aukastaf og komdu með niðurstöður í bekkjartíma! n Skrá þarf nafnið á hlutnum og málin.

Til nútíðar n n Hugmyndir um brotnar tölur (ræðar tölur) eru meðal margs sem við hlutum í arf frá Grikkjum og fleiri fornþjóðum. Starfsemi nútímaþjóðfélags væri óhugsandi án brotahugtaksins. Við notum brot og hlutföll til að mæla, staðsetja, hanna, rannsaka, telja, setja fram upplýsingar, útskýra o. s. frv. Athugið t. d. hæfileika sem nefndur er “proportional reasoning”, t. d. “að blanda í hlutföllunum 2: 5”.

„Proportional reasoning“ í upplýsingaþjóðfélagi nútímans Dæmi úr nútímasamfélagi: n Samanburður, t. d. Hlutfall sólardaga í júní var stærra en hlutfall rigningardaga. . . n Prósentuhlutfall: Samfylkingin mælist með 41% fylgi. n Verð: Tvö kg af kartöflum kosta 260 kr. Hvað kosta 8 kg? n Mælikvarði: Teikningin er í hlutföllunum 1: 100. Landakort í hlutföllunum 1: 1000 000. n Halli á þökum, brautum eða vegum: Halli þaksins er 1/8. Framundan er 8% halli á þjóðveginum. n Skipting afla: Enn tíðkast það hjá sjómönnum að afli (eða laun fyrir hann) skiptist eftir ákveðnum hlutföllum.

„Proportional reasoning“ í upplýsingaþjóðfélagi nútímans Fleiri dæmi: n Tónlist: Hálfnóta, áttundapartsnóta n Hönnun tækja og véla: Hlutfall tannhjóla í vél. n Hönnun listaverka, húsa: Arkitektúr og myndlist: Fjarvídd. Notkun hins gullna hlutfalls, “gullinsniðs”. n Hvað er gullinsnið?

5. dæmi Hlutum brot í sundur: n Prófaðu með tvennum hætti að rita brotið 1 1/5 sundrað í tvo hluta aðra en 1 og 1/5.

Brot og reikniaðgerðir - Lísa í Undralandi n n Undrun barna þegar þau kynnast áhrifum reikniaðgerða á brot í fyrsta skipti er álíka og undrun Lísu þegar hún stækkaði og minnkaði á víxl. Hvernig í veröldinni getur talan 2 ¼ breyst í 3 við það að deila í hana með ¾ ? Hér er mikilvægt að íhuga vel annars vegar um “conceptual knowledge” og hins vegar “procedural knowledge”. Dæmi: Hugsum okkur t. d. 2 ¼ lítra af vatni. Hellum vatninu í minni ílát sem hvert tekur ¾ lítra af vatni. Hve mörg ílát þurfum við?

6. dæmi n Sólveig kaupir 6 ¾ metra af efni. Hún skiptir því niður í 25 cm búta. Hve margir verða bútarnir?

Brot og reikniaðgerðir – “Big ideas” n Þegar við skipuleggjum nám þar sem börn eiga að reikna með brotum er heppilegast að beita sömu aðferðum og við heiltölureikning (sjá kafla 7 og 10). n Námundun brota er gagnleg og reyndar mikilvæg til að skilja eiginleika brota og stærðir þeirra. Ósjaldan hjálpar hún til að reikna í huganum án þess að þurfa að treysta á reiknirit sem börn skilja jafnvel ekki. Ath. vel “Number sense approach” bls. 228 -229. n

7. dæmi n Ef tölurnar C og D á þessari talnalínu væru margfaldaðar saman, hvaða punktur á línunni væri þá líklegasta niðurstaðan, A, B, C, D, E eða F?

Tugabrot og prósentur “Big ideas”: n Tugabrot og prósentur er önnur leið til að skrifa almenn brot og hlutföll (Ath. 0, 25 = 25% = 25/100 = 1/4) n Mikilvægt er að efla skilning á þessu sambandi í sem fjölbreytilegustu samhengi n Ath. útvíkkun á sætiskerfi með grunntölu 10 gerist út í það óendanlega í báðar áttir (tíundu hlutar, hundraðshlutar o. s. frv. ) n Komman (deciamal point) tilgreinir hvar einingin stendur n Ath. “base-ten fraction models” til að skilja samhengið. n Ath. tengsl við metrakerfið og talnahúsið.

Lokaþrautin Hrafnhildur var að glíma við eftirfarandi þraut: 2/5 < ? < 4/7. n n n Hún komst að því að 3/6 lægju milli 2/5 og 4/7. Kennarinn bað hana að útskýra hvernig hún fengi þetta svar og af hverju þessi aðferð virkaði. Hún sagðist velja teljara sem lægi á milli 2 og 4 (2<3<4) og nefnara á milli 5 og 7 (5<6<7). Hún gaf fleiri dæmi máli sínu til stuðnings: a)Brotið 2/4 liggur á milli 1/3 og 3/5. b) Brotið 4/9 liggur á milli 2/5 og 4/7. Er þetta rétt hjá henni? Virkar þessi aðferð alltaf? Rökstyddu svar þitt.