SISTEMAS DE ECUACIONES E INECUACIONES U D 5

SISTEMAS DE ECUACIONES E INECUACIONES U. D. 5 * 1º BCT @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 1

MÉTODO DE GAUSS EN SISTEMAS LINEALES U. D. 5. 4 * 1º BCS @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 2

SISTEMAS LINEALES • SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES • Un sistema de ecuaciones lineales es aquel en que todas sus ecuaciones características son de primer grado. • SOLUCIÓN DE UN SISTEMA • Resolver un sistema es hallar los valores de las incógnitas que cumplen con todas y cada una de las ecuaciones. • CLASIFICACIÓN SEGÚN SOLUCIONES • Si un sistema tiene una o más soluciones se llama COMPATIBLE; de lo contrario es INCOMPATIBLE. • Si tiene una única solución el sistema de ecuaciones lineales es DETERMINADO; y si tiene infinitas soluciones es INDETERMINADO. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT 3

REGLAS QUE PERMITEN RESOLVER SISTEMAS • 1. - Si a los dos miembros de una ecuación de un sistema se les suma o resta un mismo número o expresión algebraica, resulta otro sistema equivalente al dado. • • • Ejemplo: x+y=y+2 (1) x =2 (1) x–y=0 (2) 2. - Si se multiplican o dividen los dos miembros de una ecuación de un sistema por un mismo número o expresión algebraica distinto de cero, resulta otro sistema equivalente al dado. 2. x + 6 y = 8 (1) x + 3 y = 4 (1) x–y=0 (2) 3. - Si en un sistema a una ecuación la sumamos o restamos otra multiplicada por un número, el nuevo sistema resultante es EQUIVALENTE al primero, o sea tiene la misma solución. @ Angel Prieto Benito 2 x – 3 y = x + 2 2 x + 3 y = 3 (1) (2) 2 x – 3 y = x + 2 4 x =x+5 Matemáticas 1º Bachillerato CT (1) (2) 4

MÉTODOS DE RESOLUCIÓN • • Método de Sustitución Si en una ecuación de un sistema se sustituye una incógnita por la expresión que se obtiene al despejarla de la otra ecuación, resulta otro sistema equivalente. • • Método de Igualación Es una variante del método anterior. Este método se emplea cuando es muy fácil despejar una incógnita determinada en las dos ecuaciones. • • Método de Reducción Se suman o restan las ecuaciones del sistema para eliminar una incógnita, quedando otro sistema equivalente al dado. • • Método Gráfico Se representan gráficamente las dos rectas correspondientes y las coordenadas del punto de corte será la solución. • • Método de Gauss para tres o más ecuaciones. Se hallan sistemas equivalentes hasta conseguir que en cada ecuación haya sólo una incógnita; los términos independientes son los valores de la solución. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT 5

MÉTODO DE GAUSS • • • Sea: • • Aplico el método de reducción para obtener: a. x + b. y + c. z = d + e. y + f. z = g h. z = j • Si h =0 , j <> 0 S. INCOMPATIBLE • • La solución del sistema será: z= j/h y = ( g – f. z ) / e x = ( d – c. z – b. y ) / a @ Angel Prieto Benito a. x + b. y + c. z = d a´. x + b’. y + c’. z = d’ a”. x + b”. y + c”. z = d” , en ese orden. Matemáticas 1º Bachillerato CT 6

CLAVE PRÁCTICA • El método de Gauss se simplifica mucho si hacemos que el primer coeficiente de la primera ecuación valga la unidad ( a = 1). • Sea: • • a. x + b. y + c. z = d a´. x + b’. y + c’. z = d’ a”. x + b”. y + c”. z = d” • Divido toda la primera fila (ecuación) entre a. • Resto a la 3º fila la 1º fila multiplicada por a” • Resto a la 2º fila la 1º fila multiplicada por a’ • Resto a la 3º fila la 2º fila multiplicada por e’/e @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT 7

Ejemplos • EJEMPLO 1 • EJEMPLO 2 • Sea: 2. x + 4. y – 5 z = 1 • 3. x – 5. y + 2. z = 0 • 4. x + 7. y – 5. z = 6 • Sea: 7. x + 3. y – 3 z = 7 • 3. x – 5. y + 2. z = 0 • 4. x + 7. y – 5. z = 6 • Clave: • Divido la 1º entre 2: • Clave: • A la 3º ecuación quito la 2º y luego permuto la 1º con la 3º • • Queda: 1. x + 2. y – 2’ 5. z = 0’ 5 3. x – 5. y + 2. z = 0 4. x + 7. y – 5. z = 6 @ Angel Prieto Benito • • Queda: 1. x + 12. y – 7. z = 6 3. x – 5. y + 2. z = 0 7. x + 3. y – 3. z = 7 Matemáticas 1º Bachillerato CT 8

• EJEMPLO 1 • • • Sea: • • F 3 = F 3 - 3. F 1 y F 2 = F 2 + F 1 Queda: x - y + z = 1 y + 2. z = 3 y - 4. z = -3 • • F 3 = F 3 – F 2 Y obtengo finalmente: x - y + z = 1 -x+2 y +z = 2 3. x – 2. y - z = 0 x - y + z =1 y + 2. z = 3 - 6. z = -6 La solución del sistema será: z = -6 / -6 = 1 y = ( 3 – 2. 1 ) / 1 = 1 x = ( 1 – 1. 1 – (-1). 1 ) / 1 = 1 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT , en ese orden. 9

• EJEMPLO 2 • • • Sea: • • F 3 = F 3 - 3. F 1 y F 2 = F 2 + 2. F 1 Sea: x - y + 2. z = 4 5. z = 10 8. y - 7. z = - 10 • Permuto la 2º y 3º fila ; y obtengo finalmente: • • • x - y + 2. z = 4 - 2. x + 2 y + z = 2 3. x + 5. y - z = 2 x - y + 2. z = 4 8. y - 7. z = - 10 5. z = 10 La solución del sistema será: @ Angel Prieto Benito z = 10 / 5 = 2 y = ( - 10 + 7. 2 ) / 8 = 1 / 2 x = ( 4 – 2. 2 + (1 / 2 ) ) / 1 = 1 / 2 Matemáticas 1º Bachillerato CT 10

• EJEMPLO 3 • • • Sea: • • F 1 = F 1 : 3 Queda: • Muy importante: No olvidar dividir a TODOS los elementos de la fila • • • F 2 = F 2 – F 1 , , F 3 = F 3 – F 1 ; y obtengo: x - 2 y + 2/3. z = 4/3 y - 7/6. z = - 7/3 3 y - 13/15 z = - 14 /15 F 3 = F 3 – 3 x. F 2 x - 2 y + 2/3. z = 4/3 y - 7/6. z = - 7/3 79/30 z = 91 /15 • • @ Angel Prieto Benito 3 x - 6 y + 2. z = 4 - 2. x + 2 y + z = 2 5. x + 5. y - z = 2 , , F 2 = F 2 : (-2) , , F 3 = F 3 : 5 x - 2 y + 2/3. z = 4/3 x - y - ½ z = -1 x + y - 1/5 z = 2 /5 Matemáticas 1º Bachillerato CT 11