SISTEMAS DE ECUACIONES E INECUACIONES U D 5

SISTEMAS DE ECUACIONES E INECUACIONES U. D. 5 * 1º BCT @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT 1

GRÁFICAS EN LAS INECUACIONES U. D. 5. 11 * 1º BCS @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT 2

INECUACIÓN LINEAL CON DOS INCÓGNITAS • • • Inecuación lineal con dos incógnitas es la que suele expresarse mediante cualquiera de las desigualdades siguientes: a. x + b. y ≤ c a. x + b. y ≥ c a. x + b. y < c a. x + b. y > c También y ≤ m. x + n y ≥ m. x + n y < m. x + n y > m. x + n • La solución es el conjunto de pares (x, y) que satisface la desigualdad. • La solución siempre va a ser un SEMIPLANO. • Para hallar la solución de una inecuación lineal con dos incógnitas debemos recurrir al método gráfico. La frontera del semiplano puede o no formar parte de la solución si la inecuación contiene o no el signo de la igualdad (=). @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT 3

• Ejemplo 1 El punto ( 1, 3 ) no pertenece a la solución • -x+2 y– 2≤ 0 • Despejada “y”: • 2 y ≤ x + 2 • y ≤ (x + 2) / 2 • y ≤ 0, 5. x + 1 • Dos puntos de la recta frontera: • Tabla: • x y • • 1 0 0 -2 El punto ( 0, -3 ) pertenece a la solución • Como y ≤ … la solución es el semiplano inferior. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT 4

• Ejemplo 2 • x+y– 4>0 • Despejada “y”: • y>4 -x El punto ( 7, 7 ) pertenece a la solución • Dos puntos de la recta frontera: • Tabla: • x y • 0 4 • 4 0 • Como y > … la solución es el semiplano superior El punto ( 0, 0 ) no pertenece a la solución • Como no contiene el signo igual (=), la recta frontera no forma parte de la solución. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT 5

• Ejemplo 3 • y+4>0 • Despejada “y”: El punto ( - 1, 5 ) pertenece a la solución • y>-4 • Dos puntos de la recta frontera • Tabla: • x y • 0 -4 • 4 -4 • Como y > … la solución es el semiplano superior • Como no contiene el signo igual (=), la recta frontera no forma parte de la solución. @ Angel Prieto Benito El punto ( 0, - 4 ) no pertenece a la solución Matemáticas 1º Bachillerato CT 6

• Ejemplo 4 El punto ( 5, 3 ) pertenece a la solución • x-3≥ 0 • Despejada “y”: • x≥ 3 • Dos puntos de la recta frontera: Tabla: x y 3 0 3 3 Como x > … la solución es el semiplano derecho • • • Como contiene el signo igual (=), la recta frontera forma parte de la solución. @ Angel Prieto Benito El punto ( 0, - 2 ) no pertenece a la solución Matemáticas 1º Bachillerato CT 7

• Ejemplo 5 • 2. x – y > 0 • Despejada “y”: • y < 2. x El punto ( 0, 4 ) NO pertenece a la solución • Dos puntos de la recta frontera: • Tabla: • x y • 0 0 • 2 4 • Como y < … la solución es el semiplano inferior • Como no contiene el signo igual (=), la recta frontera no forma parte de la solución. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT El punto ( 4, 0 ) pertenece a la solución 8

SISTEMAS DE INECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS • En un sistema de inecuaciones lineales ( de primer grado) con dos incógnitas (x e y ) la solución de cada inecuación es un semiplano. La solución del sistema será la intersección de los dos semiplanos soluciones de las inecuaciones del sistema. • La solución es el conjunto de pares (x, y) que satisface todas las desigualdades. • Para hallar la solución de un sistema de inecuaciones lineales con dos incógnitas debemos recurrir al método gráfico. La frontera de cada semiplano puede o no formar parte de la solución si la inecuación contiene o no el signo de la igualdad (=). @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT 9

• EJEMPLO 1 • • • Sea el sistema y– 4 ≤ 0 (1) -x+y >0 (2) • • • Despejamos las “y”: y ≤ 4 (1) y > x (2) • Representamos las rectas fronteras de la solución: Tabla (1) Tabla (2) x y 0 4 0 0 4 4 • • El punto ( 0, 4 ) pertenece a la solución ZONA SOLUCIÓN • Señalamos los semiplanos según el signo de las desigualdades. • La solución es la zona rayada común. @ Angel Prieto Benito El punto ( 3, 0 ) no pertenece a la solución Matemáticas 1º Bachillerato CT 10

• EJEMPLO 2 • • • Sea el sistema -x+y > 0 (1) x + y – 4 ≥ 0 (2) • • • Despejamos las “y”: y >x (1) y ≥ 4 - x (2) • Representamos las rectas fronteras de la solución: Tabla (1) Tabla (2) x y 0 0 0 4 4 0 • • • ZONA SOLUCIÓN C Señalamos los semiplanos según el signo de las desigualdades. La solución es la zona rayada común El punto ( 2, 4 ) pertenece a la solución El punto ( 2, 0 ) no pertenece a la solución @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT 11

• EJEMPLO 3 • • • Sea el sistema: 5. x + 2. y ≤ 1200 x + 2. y ≤ 400 • Despejamos las “y”: • • y ≤ 600 – 2, 5. x y ≤ 200 – 0, 5. x • Representamos las rectas fronteras de la solución: Tabla (1) Tabla (2) x y 0 600 0 200 100 400 0 • • • Y El punto ( 100, 300 ) no pertenece a la solución (1) (2) El punto ( -100, 0 ) pertenece a la solución Señalamos los semiplanos ZONA según el signo de las desigualdades. La solución es la zona rayada común @ Angel Prieto Benito SOLUCIÓN Matemáticas 1º Bachillerato CT X 12

• EJEMPLO 4 • Sea el sistema: • • 5. x + 2. y ≤ 120 x + 2. y ≥ 40 y < 40 x>0 • Despejamos las “y”: • • y ≤ 60 – 2, 5. x y ≥ 20 – 0, 5. x • • Tabla (1) x y 0 60 20 10 • Y 60 El cuadrilátero ABCD (1) (2) B Tabla (2) x y 0 20 40 C A D Señalamos los semiplanos. @ Angel Prieto Benito ZONA SOLUCIÓN: Matemáticas 1º Bachillerato CT X 13