Sistemas de ecuaciones Matemticas II Ana Pola IES

Sistemas de ecuaciones Matemáticas II Ana Pola IES Avempace

Ecuaciones lineales n Una ecuación lineal con n incógnitas x 1, x 2, x 3, . . , xn es una ecuación de la forma: a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 +. . + anxn = b donde n a 1, a 2, a 3, . . . , an y b son números reales fijos. n x 1, x 2, x 3, . . . , xn son las incógnitas n Las ai son los coeficientes de las incógnitas y b el término independiente. n Se llama solución de la ecuación lineal a los números x 1=k 1, x 2=k 2, . . . , que sustituidos en la ecuación satisfacen la igualdad

Sistemas de ecuaciones lineales n Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas, es un conjunto formado por m ecuaciones lineales, cada una de ellas con las mismas n incógnitas. n Los valores x 1, x 2, x 3, . . , xn solución del sistema si son solución de todas las ecuaciones que lo forman.

Sistemas homogéneos n n Si los términos independientes b 1, b 2, …, bm son todos nulos, el sistema se llama homogéneo. Un sistema homogéneo tiene siempre solución, ya que, al menos, tendrá la solución trivial (0, 0, …, 0)

Clasificación de sistemas

Sistemas equivalentes n Dos sistemas son equivalentes cuando tienen el mismo conjunto solución n Ambos sistemas tienen como solución x = 1 y = -1

Criterios de equivalencia 1 n Si sumamos a los dos miembros de alguna de las ecuaciones de un sistema, un número o una expresión algebraica, el sistema resultante es equivalente x + 3 y - z = 4 es equivalente a x + 3 y - z - 4 = 4 - 4 oa x + 3 y - z - 3 y = 4 - 3 y

Criterios de equivalencia 2 n Si multiplicamos o dividimos los dos miembros de alguna de las ecuaciones de un sistema por un número distinto de cero, el sistema resultante es equivalente x + 3 y - z = 4 es equivalente a 2 x + 6 y - 2 z = 8

Criterios de equivalencia 3 n Si sumamos o restamos a una ecuación de un sistema otra ecuación del mismo sistema, el resultado es otro sistema equivalente es equivalente a

Criterios de equivalencia 4 n Si en un sistema se sustituye una ecuación por otra que resulte de sumar dos ecuaciones del sistema previamente multiplicadas o divididas por números distintos de cero, resulta otro sistema equivalente al primero y se obtiene el sistema

Criterios de equivalencia 5 n Si en un sistema de ecuaciones lineales una ecuación es proporcional a otra o es combinación lineal de otras, se puede suprimir y el sistema obtenido es equivalente al inicial puesto que la tercera ecuación es igual a la segunda multiplicada por 2

Y, por supuesto, … n Si en un sistema se cambia el orden de las ecuaciones o el orden de las incógnitas, resulta otro sistema equivalente

Resolución de sistemas n El Método de Gauss n n Consiste en aplicar el método de reducción para conseguir un sistema equivalente al original en el que en cada ecuación eliminamos, al menos, una incógnita, de manera que al final tengamos un sistema escalonado o triangular. Obtendremos la solución hallando el valor de las incógnitas de abajo a arriba, “subiendo la escalera” hasta llegar a la primera ecuación.

Las matrices n ¿Para qué se usan? n n Las matrices son una herramienta muy importante para expresar y discutir problemas que surgen en la vida real De momento las usaremos como herramienta para resolver sistemas de ecuaciones lineales

Un ejemplo n Datos de consumo de una empresa productora de cerveza: n Tabla: n Matriz:

Definición de matriz n Una matriz de dimensión m x n es una tabla ordenada de m·n números dispuestos en m filas por n columnas

Matriz asociada a un sistema n El sistema n La matriz de coeficientes A matriz ampliada A*

Discusión de sistemas n Sea un sistema de m ecuaciones con n incógnitas. Se escalona el sistema por el método de Gauss n n Si hay alguna fila (ecuación) absurda (0, 0, …, 0 | b) el sistema es incompatible Si quedan r filas (ecuaciones) no absurdas: • Si r = n el sistema es compatible determinado • Si r < n el sistema es compatible indeterminado