U D 7 3 ESO E Ap SISTEMAS

U. D. 7 * 3º ESO E. Ap. SISTEMAS DE ECUACIONES @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 1

U. D. 7. 2 * 3º ESO E. Ap. MÉTODO GRÁFICO DE RESOLUCIÓN @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 2

TIPOS DE SISTEMAS • • • Si un sistema de ecuaciones lineales tiene solución se llama COMPATIBLE. Si un sistema de ecuaciones lineales no tiene ninguna solución es INCOMPATIBLE. SISTEMAS COMPATIBLES Si un sistema compatible tiene una única solución el sistema es DETERMINADO. Si un sistema compatible tiene infinitas soluciones es INDETERMINADO. • • • Ejemplos Sistema Incompatible • • Sistema Compatible y Determinado: @ Angel Prieto Benito x+y=2 x+y=0 x+y=2 x–y=0 Sistema Compatible e Indeterminado: x–y=0 3. x = 3. y Sistema Compatible e Indeterminado: 2. x = 0 3. y = 3. y Apuntes de Matemáticas 3º ESO 3

RESOLUCIÓN DE SISTEMAS • • Para resolver un sistema de ecuaciones lineales tenemos cinco métodos o manera de resolverlo: Por Tablas, por Gráficas, por Sustitución, por Igualación y por Reducción. • • TABLAS Este método, ya visto en cursos anteriores, es el menos empleado por la dificultad de encontrar la solución del sistema cuando los pares de valores no son enteros. • • GRÁFICOS Como son sistemas lineales, al despejar en las ecuaciones la “y” nos quedan de la forma y=m. x+n, que son funciones lineales. Cada ecuación se representa como una línea recta. Representamos las dos rectas y las coordenadas del punto de corte serán la solución del sistema. • • @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 4

RESOLUCIÓN POR TABLAS • • Sea el sistema: • • Se despeja “y” en ambas ecuaciones: y = (4 – x) / 3 (1) y = 3. x – 2 (2) Queda como dos funciones lineales. • Tablas de valores: • • Tabla (1) x y -2 2 -1 5/3 0 4/3 1 1 2 2/3 • • Tabla (2) x y -2 -8 -1 -5 0 -2 1 1 2 4 • Vemos que la solución es x = 1 , y = 1 @ Angel Prieto Benito x + 3. y = 4 (1) 3. x - y = 2 (2) Apuntes de Matemáticas 3º ESO 5

RESOLUCIÓN GRÁFICA • • Sea el sistema: • • Se despeja “y” en ambas ecuaciones: y = (4 – x) / 3 = – x / 3 + 4 / 3 (1) y = 3. x – 2 (2) Queda como dos funciones lineales de la forma y = m. x + n. • • • Tablas de valores: Damos tres o cuatro valores a x y calculamos los valores de y: Tabla (1) x -2 0 2 y 2 4/3 2/3 Tabla (2) x 0 1 2 y -2 1 4 • • Y llevamos los puntos a la gráfica para formar las dos rectas. Donde se corten ambas rectas será la solución. @ Angel Prieto Benito x + 3. y = 4 (1) 3. x - y = 2 (2) Apuntes de Matemáticas 3º ESO 6

Solución gráfica y = (4 – x) / 3 y = 3. x – 2 Solución Sistema = Pc(1, 1) x=1, y=1 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 7

Interpretación gráfica • • Si un sistema de ecuaciones lineales tiene solución, es compatible, las rectas son SECANTES. Si un sistema de ecuaciones lineales tiene infinitas soluciones, es compatible e indeterminado, las rectas son COINCIDENTES. Si un sistema de ecuaciones lineales no tiene ninguna solución, es incompatible, las dos rectas son PARALELAS. Ejemplos Compatible: x+y=2 x–y=0 @ Angel Prieto Benito Indeterminado: x–y=0 x=y Apuntes de Matemáticas 3º ESO Incompatible: x+y=2 x+y=4 8

@ Angel Prieto Benito 12 Sea x un número. Sea y el otro número. Podemos poner las ecuaciones: x + y = 12 – x y = 2. x Hacemos las tablas: x 0 81 12 y 12 4 0 x 0 2 4 y 0 4 8 Donde se corten las dos rectas tenemos la solución del sistema. Solución: x=4, y=8 8 • • • 4 La suma de dos números es 12, y uno de ellos es doble que el otro. ¿cuáles son dichos números? . 0 • 16 Ejemplo 1 Gráfico -4 Apuntes de Matemáticas 3º ESO 0 4 8 12 9

• • • y 0 1 2 x - 10 - 7 - 4 Donde se corten las dos rectas tenemos la solución del sistema. @ Angel Prieto Benito 24 Sea x la edad de Ana. Sea y la edad de Pedro. Podemos poner las ecuaciones: x = y + 12 x – 5 = 3. (y – 5) x = 3. y – 10 Hacemos las tablas: y 0 1 2 x 12 13 14 Solución: 16 • • x=23, y=11 8 • Ana tiene 12 años más que Pedro y hace 5 años tenía el triple de edad que Pedro. ¿Qué edad tiene cada uno? . 0 • 32 Ejemplo 2 Gráfico -8 Apuntes de Matemáticas 3º ESO 0 8 16 24 10

@ Angel Prieto Benito 12 Sea x lo que tiene Juan. Sea y lo que tiene Pedro. Podemos poner las ecuaciones: x=y– 3 y=x+3 x – 3 = ½. y y = 2. x – 6 Hacemos las tablas: x 0 1 2 y 3 4 5 x 4 6 8 y 2 6 10 Donde se corten las dos rectas tenemos la solución del sistema. Solución: x=9, y=12 8 • • • 4 Juan tiene 3 € menos que Pedro, pero si gasta 5 € tendrá la mitad que Pedro. ¿Cuánto tiene cada uno? . 0 • 16 Ejemplo 3 Gráfico -4 Apuntes de Matemáticas 3º ESO 0 4 8 12 11

@ Angel Prieto Benito NO hay. 4 Sea x lo que vale un cuaderno. Sea y lo que vale un bolígrafo. Podemos poner las ecuaciones: 2. x + y = 5 y = – 2. x + 5 4. x + 2. y = 12 y = – 2. x + 6 Hacemos las tablas: x 0 1 2 y 5 3 1 -2 x 0 2 4 y 6 2 – 2 Donde se corten las dos rectas tenemos la solución del sistema. Solución: 2 • • • Juan pagó 5 € por dos cuadernos y un bolígrafo. Ana pagó 12 € por cuatro cuadernos y dos bolígrafos. ¿Cuánto vale cada cuaderno y cada bolígrafo? . 0 2 4 6 – 2 • 6 Ejemplo 4 Gráfico Apuntes de Matemáticas 3º ESO 12