Prirodni brojevi Peanovi aksiomi Matematika indukcija Skup svih

Prirodni brojevi. Peanovi aksiomi. Matematička indukcija - Skup svih prirodnih brojeva označavamo s N (naturalis, lat. prirodan). N = {1, 2, 3, 4, . . . } - Skup N je beskonačan, maksimalni element ? - Ali je prebrojiv tj. mogu se elementi skupa poredati u niz (ima ih prebrojivo puno)

- Aksiom (grč. aksios - bez) je "temeljna istina" koja se ne dokazuje i služi kao osnova neke matematičke teorije - Za razliku od dogme uglavnom se ne tvrdi njena nužna istinitost jer je to logički nemoguće utvrditi, nego se uzima kao pretpostavka na kojoj se gradi teorija. - Indukcija kao vrsta posrednog zaključka kod kojeg polazimo od pojedinačnog ka općem - Dedukcija kao vrsta posrednog zaključka kod kojeg polazimo od općeg ka pojedinačnom

Peanovi aksiomi Skup N čije elemente zovemo prirodnim brojevima ova svojstva: 1. 1 je prirodan broj, tj. 1 ∈N. 2. Svaki prirodan broj n ima točno jednog sljedbenika n+ 3. Uvijek je n+≠ 1, tj. 1 nije sljedbenik nijednog prirodnog broja. 4. Ako je m+= n+, tada je m = n, tj. ako su sljedbenici dvaju prirodnih brojeva jednaki, tada su i sami ti brojevi jednaki. 5. (Aksiom indukcije) Svaki podskup M skupa N, koji sadrži broj 1 i sljedbenika svakog svog elementa, sadrži sve prirodne brojeve, tj. M = N. (princip indukcije) Ako je S⊆N (S je podskup od N), koji ima ova dva svojstva 1∈S, (∀n∈N) n∈S ⇒ n+∈S onda je S = N.

- Pretpostavka ili hipoteza. - način zaključivanja u kojem promatranjem pojedinačnih slučajeva postavljamo opće zakonitosti zovemo nepotpunom indukcijom. - Za neke tvrdnje do kojih se došlo nepotpunom indukcijom pronađen je kontraprimjer - polinom je uvijek prost broj ? ne, jer x = 41 je kontraprimjer!

- Da bi dokazali da neki zaključak vrijedi za sve prirodne brojeve koristimo se metodom dokazivanja koju zovemo matematička indukcija. - Princip matematičke indukcije zasniva se na 5. Peanovom aksiomu. - Matematička indukcija je metoda matematičkog dokazivanja. Provodi se kroz 3 koraka: 1. Prvi korak ili baza indukcije – provjeravamo vrijedi li tvrdnja za n=1; 2. Drugi korak je pretpostavka indukcije – pretpostavljamo da tvrdnja vrijedi za neki prirodni broj k pa je n = k; 3. Treći korak je korak indukcije - pomoću 2 k pretpostavke dokazujemo da vrijedi za n = k + 1.

- Primjer 1. Dokažimo da za svaki n∈N vrijedi tvrdnja P(n): 1 + 2 + 3 +. . . + n = - Dokaz izvodimo prateći korake matematičke indukcije