Partiell derivasjon Partiell derivasjon Innledning Ordinr derivasjon y

Partiell derivasjon

Partiell derivasjon Innledning Ordinær derivasjon y Partiell derivasjon z y x u x x+ x Derivasjon mht en enkelt variabel (x) x Derivasjon mht flere variabler (x, y, z, …) Derivasjon i en vilkårlig retning

Partiell derivasjon Anv - Høydekurver / Gradientvektor / Tangentplan Gradientvektor står normalt på nivåkurver (n=2) og nivåflater (n=3) og kan benyttes til bestemmelse av tangenter og tangentplan, f

Partiell derivasjon Anv - Flystøy / Sjokkbølge Direkte sjokkbølge-område fra Concorde T = Luft-temperatur ved bakkevivå (Kelvin) h = Flyets høyde (kilometer) a = Vertikal temperatur drop (Kelvin pr km) Thomas Calculus

Partiell derivasjon Anv - Temperaturvariasjoner under jordoverflaten w = Temperatur (modellert til [-1, 1] ved jordoverflaten) x = Dybde (fot) t = Tiden fra den høyeste årlige temperatur (dager) Art Norton Starr Ved 30 fot er det mindre enn 0. 25% årlig temperaturvariasjon. Ved 15 fot er det ca 5% årlig temperaturvariasjon. Ved 15 fot er temperaturvariasjonene ca et halvt år ute av fase i forhold til overflaten.

Partiell derivasjon Anv - Variasjon i elektrisk resistans Variasjoner i elektrisk resistans

Ordinær derivasjon Def y = f(x) y x x x+ x

Partiell derivasjon Def z = f(x, y) y z

Partiell derivasjon Eks 1 Gitt funksjonen f(x, y) = x 2 + 3 xy – 1. Bestem de partiell-deriverte i punktet (x, y) = (4, -5).

Partiell derivasjon Eks 2 Gitt funksjonen f(x, y) = ysin(xy). Bestem de partiell-deriverte.

Partiell derivasjon Eks 3 - Implisitt derivasjon Gitt implisitt funksjonen z(x, y) ved yz – lnz = x + y. Bestem den partiell-deriverte av z mht x.

Partiell derivasjon Eks 4 - Paraboloide Planet x = 1 skjærer paraboloiden z = x 2 + y 2 i en parabel. Finn stigningstallet til parabelen i punktet (1, 2, 5). Løsning 1: Løsning 2:

Partiell derivasjon Eks 5 - Elektrisk krets Tre motstander med resistans R 1, R 2 og R 3 er koblet i parallell. Bestem hvordan kretsen (resultantresistansen) endres ved små endringer i R 2 for R 1 = 30 , R 2 = 45 , R 3 = 90. R 1 R 2 R 3

Differential - Kjerneregel Def y = f(x) df x dx y x Differential Kjerneregel

Kjerneregel Eks y x y(x) = f(x) = x 2 y x t x(t)= g(t) = sin(t) t y(t) = f(g(t)) = f(x(t)) = sin 2(t)

Totalt differential Innledning z 2 z y z 1 x y x z

Totalt differential Def y = f(x) df x dx x Differential Kjerneregel y Totalt differential Kjerneregel

Kjerneregel Eks 1 Finn deriverte av z = xy langs veien x = cost y = sin t

Kjerneregel Eks 2 [1/2] Finn dy / dx for y 2 = x 2 + sin(xy)

Kjerneregel Eks 2 [2/2] Finn dy / dx for y 2 = x 2 + sin(xy) Vi setter F(x, y) = y 2 – x 2 – sin(x, y) Da har vi F(x, y) = 0. Vi tar totalt fifferential på begge sider.

Gradientvektor - Retningsderivert Def y u x Den deriverte av f i P 0(x 0, y 0) i retning av enhetsvektoren u = [u 1, u 2] x = x 0 + su 1 y = y 0 + su 2 Del-operator Gradientvektor Retningsderivert

Gradientvektor - Retningsderivert Egenskaper Gradientvektor Retningsderivert y f u x f øker mest i retning av f og den deriverte er | f avtar mest i motsatt retning av f f endres ikke i retning normalt på f Regler for gradientvektorer Nivåkurver f Gradientvektorene står normalt på nivåkurvene

Gradientvektor - Retningsderivert Eks 1 Gitt planet x + y + z = 5. Bestem i hvilken retning det er brattest å bevege seg i dette planet. f Nivå-kurver f x y Det er brattest å bevege seg i retning [-1, -1]. Stigningen er 2.

Gradientvektor - Retningsderivert Eks 2 Finn deriverte av f(x, y) = x 2 + xy i punktet P 0(1, 2) i retning v = [1, 1].

Gradientvektor og tangent til nivå-kurver Def Nivåkurve z f y x r(t)

Gradientvektor og tangent til nivå-kurver Eks 3 Finn ligningen for tangenten til ellipsen ¼ x 2 + y 2 = 2 i punktet (-2, 1). f

Tangentplan - Nivåflate Def Nivåflate f(x, y, z) = c f z r(t) y x

Tangentplan - Nivåflate Eks 4 Finn tangentplan til flaten z = xcosy - ye x i punktet (0, 0, 0).

END