Det matematisknaturvitenskapelige fakultet Numeriske metoder Pro Fag Kompetansesenter

Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Numeriske metoder Pro. Fag Kompetansesenter for Undervisning i Realfag og Teknologi www. mn. uio. no/kurt

Innhold • Numerisk løsning av likninger ved hjelp av halveringsmetoden • Numerisk derivasjon • Numerisk integrasjon • Modellering og løsing av differensiallikninger

Derivasjon Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet

Analytisk og numerisk derivasjon • Når vi skal derivere en funksjon numerisk må vi velge oss et punkt å derivere i. Hvorfor?

Numerisk derivasjon def derivert(f, x, delta_x): fder = (f(x+delta_x)-f(x))/delta_x return fder def f(x): return 2*x**2 print(derivert(f, 1, 1 E-8)) Forklar for deg selv eller noen andre hva som skjer. Lag kommentarer til programmet. Gjett hva som blir skrevet ut… Kjør programmet!

Oppgave La og velg punktet x = 1 • Bestem f ’(1) analytisk. • Bestem f ’(1) numerisk ved å velge ulike verdier for Δx (se forrige lysbilde). • Lag en løkke som løper gjennom ulike Δx-verdier, regner ut den deriverte og skriver ut en liste med Δx -verdier og tilhørende resultat for den deriverte. På neste lysbilde ser du en mulig løsning. Men som vi sier til elevene: «Ikke se etter før du virkelig har prøvd selv. Det er det du lærer av. » • Forklar hvorfor det blir feil for små Δx –verdier. • Bruk derivasjonsprogrammet ditt til å derivere din favorittfunksjon.

Refleksjon 1. Elevene har lært flere teknikker for derivasjon der alle er generelle. De deriverer med hensyn på den variable. I numerisk derivasjon deriverer de i et gitt punkt. Dette er en vanskelig overgang for mange. 2. Ved numerisk derivasjon bør man tenke gjennom og teste for ulike verdier av Δx. Selve algoritmen er generell og enkel, men feilanalysen er ny og kanskje en ukjent måte å tenke på.

Numerisk derivasjon av bilder I skolematikken deriverer vi funksjoner, men derivasjon handler om å bestemme en endring. Med numerisk derivasjon kan vi derivere mer enn funksjoner. Vi kan for eksempel derivere lydfiler eller bilder. Til høyre ser du et bilde fra Forskningsparken ved Blindern. Under ser du resultatet av loddrett (bilde 1) og vannrett (bilde 2) derivasjon av bildepunktene (pikslene i bildet). Endringer i farge kommer godt frem. Når vi setter sammen bildene (bilde 3) ser vi tydelig både skilt og lyktestolper. Denne teknologien blir blant annet brukt i selvkjørende biler.

Integrasjon Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet

Numerisk integrasjon Integrasjon er et annet område av skolematikken med enkelt prinsipp (finn arealet under grafen) og kompliserte metoder (substitusjon, delvis integrasjon osv. ). Definisjonen av et integral er via Riemannsummer, men dette er kun en formalisering av utregningen av et areal. Den enkleste numeriske metoden er rektangelmetoden: Rektangelmetoden Det bestemte integralet til en funksjon f(x) fra x = a til x = b kan tilnærmes ved arealet til n rektangler med bredden h = (b–a)/n. Det er lett å få et bedre resultat med flere rektangler. Da er datamaskinen god å ha!

Oppgave •