Eksponentialfunksjon Def En eksponentialfunksjon er en funksjon der

Eksponentialfunksjon Def En eksponentialfunksjon er en funksjon der funksjonsuttrykket er en potens hvor grunntallet er en konstant og eksponenten inneholder den variable.

Eksponentialfunksjon Definisjonsmengde / Verdimengde Hvis a er et positivt tall, er eksponentialfunksjonen en kontinuerlig funksjon med definisjonsmengde og verdimengde a > 1 : Voksende 0 < a < 1 : Avtagende

Eksponentialfunksjon Likninger / Ulikheter - Eks Funksjonen f er gitt ved Løs følgende likninger og ulikheter a) f(x) = 100 b) f(x) < 100 c) f(x) = 0. 1 d) f(x) > 0. 1 a) f(x) = 100 Siden 102 = 100 og f er voksende, er x = 2 eneste løsning b) f(x) < 100 Siden f er voksende, er løsningen x < 2 100 -1 1 2 c) f(x) = 0. 1 Siden 10 -1 = 1/10 = 0. 1 og f er voksende, er x = -1 eneste løsning d) f(x) > 0. 1 Siden f er voksende, er løsningen x > -1

Logaritmefunksjon Def Logaritmen med grunntall b til tallet a er det tallet x som vi må opphøye b i for å få a. Merk:

Eksponential- og Logaritme-funksjon Inverse funksjoner

Logaritmefunksjon Def av briggske logaritme og naturlige logaritme Når grunntallet b = 10, kalles logaritmen den briggske logaritme lg Når grunntallet b = e, kalles logaritmen den naturlige logaritme ln

Logaritmefunksjon Eks 1 Eller:

Logaritmefunksjon Eks 2

Logaritmefunksjon Teoremer

Eksponentiallikninger Eks 1, 2

Eksponentiallikninger Eks 3 En dyrekoloni består av 500 dyr og fordobles hver dag. Hvor mange dager går det før kolonien består av 1 million dyr? Etter 15 dager består kolonien av mer enn 1 million dyr

Vekstfunksjoner Def En størrelse øker/avtar med p % pr tidsenhet (f. eks. pr år). Størrelsen kalles for vekstfaktoren (+ benyttes ved økning, - benyttes ved avtaking). Hvis en størrelse i utgangspunktet er B 0, så vil størrelsen når vekstfaktoren er k, etter x tidsenheter ha vokst/avtatt til: Merk: Det kan enkelt vises at formelen gjelder for alle reelle tall x, ikke kun naturlige tall.

Vekstfunksjoner Eks 1 Verdien på en bil som i utgangspunktet koster 550 tusen kroner avtar med 8 prosent hvert år. Hvilken verdi har bilen etter 5 år?

Vekstfunksjoner Eks 2 Folketallet i et land øker fra 22. 5 millioner til 28. 7 millioner i løpet av 8 år. Hvor mange prosent årlig økning svarer dette til? Årlig økning er på 3. 1 %

Eksponential- og logaritme-funksjoner Derivasjon

Desibel skala [1] Logaritmer 1/10 10 -1 100 101 102 -1 0 1 10000 103 104 2 3 log 1000 = 3 4

Desibel skala [2] Logaritmer Intensitet I I 0 = 10 -12 I 1 = 100 Intensitets-nivå Lyd-nivå 0 120

Desibel skala [3] Siden øret er følsomt over et så stort område av intensiteter, benyttes ofte en logaritmisk skala. Intensitets-nivå (enhet desibel) av en lydbølge (kalt lydnivå) er definert ved: I 0 er en referanse-intensitet = 10 -12 W/m 2 = nedre høregrense ved 1 k. Hz. Intensitets-nivåene uttrykkes i desibel (d. B = 1/10 bel).

Lyd-intensitets-nivåer Kilde Intensitets-nivå (d. B) Intensitet (W/m 2) ---------------------------------------------Smertegrense 120 1 Trafikkert by-gate 70 10 -5 Samtale 65 3. 2 x 10 -6 Rolig bil 50 10 -7 Rolig radio 40 10 -8 Hvisking 20 10 -10 Risling i løv-blader 10 10 -11 Nedre høre-grense 0 10 -12 ----------------------------------------------

Høring Det normale menneskelige øre er følsomt for lyder med frekvens fra 20 Hz til 20000 Hz. Høyere frekvenser kalles ultrasoniske. Innen det hørbare frekvensområde er ørets følsomhet avhengig av frekvensen. En lyd med en frekvens kan synes høyere enn en lyd med samme intensitet ved en annen frekvens. Frekvens Nedre høregrense -----------------------1000 Hz 0 d. B 200 Hz 20 d. B 15000 Hz 20 d. B -----------------------Intensitets-nivå > 120 d. B (uavhengig av frekvens) gir smerte. Følsomhet for høye frekvenser avtar med alderen. Noen lyd-miksere tar hensyn til frekvens-følsomheten ved å vektlegge frekvensene ulikt. Lave og høye frekvenser økes i intensitet i forhold til midt-frekvensene.

Eksempel 16 -5 Ved 10 minutters påvirkning av en 120 d. B lyd vil nedre høregrense midlertidig endres fra 0 d. B til 28 d. B. 10 års påvirkning av en 92 d. B lyd vil permanent endre nedre høregrense til 28 d. B. Hvilken intensitet svarer til 28 d. B og 92 d. B ?

Eksempel 16 -6 Vi tenker oss et idealisert tilfelle hvor en fugl betraktes som en punkt-kilde med konstant plystre-effekt. Med hvor mange d. B vil lyd-nivået (intensitets-nivået) synke når vi dobler avstanden til fuglen?

Eksponential- og logaritme-funksjoner Derivasjon – Bevis for (ex)’ = ex

Eksponential- og logaritme-funksjoner Derivasjon – Bevis for (lnx)’ = 1/x

Eksponential- og logaritme-funksjoner Derivasjon – Bevis for (ax)’ = ax lna

Eksponential- og logaritme-funksjoner Derivasjon – Bevis for (logbx)’ = 1/(xlnb)

Eksponential- og logaritme-funksjoner Integrasjon av 1/x Rimelig å forvente dette siden (lnx)’ = 1/x Problemet er at venstresiden er definert for x 0 mens høyresiden er definert for x > 1 ln|x| er altså derivert lik 1/x overalt for x 0

Eksponential- og logaritme-funksjoner Integrasjon av f’(x) / f(x) Generelt: fordi:

END