Organisatorisches n n Di Ma fr Master of

Organisatorisches n n Di. Ma für Master of Science Mathe anrechenbar Korrigierte Version von Aufgabe 6. 4 im Netz q n 1234*x = 110 (mod 654321) Klausurtermin q 9/8/2021 Bekanntgabe im Dezember 1

Wiederholung n Laufzeit Euklidischer Algorithmus q q n Erweiterter Euklidischer Algorithmus (EEA) q n wc Laufzeit bei Fibonaccizahlen O(log 2(max{a, b})) Berechnet x, y mit gg. T(a, b) = ax + by Abelsche Gruppen q q 9/8/2021 (Zm, +) (Zn*, *) 2

Bsp. : nicht-abelsche Gruppe Symmetrische Gruppe Gn : = {¼n | ¼n ist Permutation auf [n]} Satz: (GN, ±) mit ±: ¼ ± ¼‘ = ¼(¼‘) ist eine (nicht-kommutative) Gruppe. n Abgeschlossenheit: q ¼(¼‘) ist eine Permutation n Assoziativität: q ¼±(¼‘±¼‘‘) = ¼±(¼‘(¼‘‘)) = ¼(¼‘)±¼‘‘ = (¼±¼‘)±¼‘‘ n Neutrales Element: Identität id: [n] ! [n] n Inverses Element: n Nicht kommutativ (d. h. nicht-abelsch): 9/8/2021 3

Lösbarkeit von linearen Gleichungen Satz: Sei n 2 N und a 2 Z teilerfremd zu n. Dann besitzt die lineare Gleichung ax = b mod n für jedes b 2 Zn genau eine Lösung x 2 Zn. Existenz: n Berechne EEA Koeffizienten x‘, y‘ mit ax‘+ny‘ = 1. n Setze a-1 = x‘ mod n 2 Zn*. ) x = a-1 b mod n Eindeutigkeit: n Abbildung f: Zn Zn, b a-1 b mod n ist bijektiv. q Inverse Abbildung f-1: f: Zn Zn, x ax mod n Gleichheitsregel: Für jedes a 2 Zn*: {a-1 b=f(b) | b 2 Zn} = Zn 9/8/2021 4

Ordnung einer Gruppe Def: Sei G eine multiplikative endliche Gruppe mit neutralem Element 1. n Ordnung der Gruppe: ord(G) : = |G| n Ordnung eines Elements a 2 G: ord. G(a) : = min{i 2 N | ai = 1} n H µ G ist Untergruppe , H erfüllt Gruppeneigenschaften n <a> = {a, a 2, a 3, …, aord. G(a)} ist die von a erzeugte Untergruppe. q q Von einem Element a erzeugte Untergruppen heißen zyklisch. a heisst Generator (oder primitives Element) der Untergruppe. Bsp: Betrachten die multiplikative Gruppe G=Z 7*. n ord(Z 7*) = ord({1, 2, …, 6}) = 6 n ord. G(4) = 3, denn 41=4, 42=2, 43=1 n H={1, 2, 4} ist Untergruppe: 2*4=1, d. h. 2 -1=4 und 4 -1=2. n H=<4> ist zyklische Untergruppe der Ordnung 3 mit Generatoren 2, 4. n G=<3> ist ebenfalls zyklisch 9/8/2021 5

Satz von Euler: Sei G eine multiplikative Gruppe mit neutralem Element 1. Dann gilt für alle a 2 G: a|G| = 1. n n n Sei G={g 1, …, gn}. Betrachten bijektive Abbildung f: G ! G, g ag. Gleichheitsregel: {g 1, …, gn} = {ag 1, …, agn} ) ni=1 gi = ni=1 agi = an ni=1 gi ) an = a|G| = 1 9/8/2021 6

Elementordnung in endlichen Gruppen Satz: Sei G eine endliche Gruppe. Dann gilt für alle a 2 G: ord. G(a) · ord(G). n n Ann. : Sei a ein Element mit k = ord. G(a) ¸ |G|+1 Betrachten Abb. : [k] ! G, i ai Schubfachprinzip: q 9 1 · i < j · k: ai = aj 2 G. Multiplikation mit (a-1)i liefert: q 1 = aj-i mit 0 < j-i < k. ) ord. G(a) < k (Widerspruch) 9/8/2021 7

Elementordnung teilt Gruppenordnung Satz: Sei G eine Gruppe. Dann gilt für alle a 2 G: ord. G(a) | ord(G). Ann: ord. G(a) - ord(G) n Division mit Rest: q n ord(G) = q*ord. G(a) + r mit 0 < r < ord. G(a) Es gilt q ar = aord(G)-q*ord. G(a) = (aord(G))*(aord. G(a))-q = 1*(1 q)-1 = 1. (Widerspruch zur Minimalität von ord. G(a)) 9/8/2021 8

Nebenklassen von Untergruppen Def: Sei G abelsch, H Untergruppe von G. Für jedes b 2 G ist b±H = {b±h | h 2 H} eine Nebenklasse von b. Bsp. : G = (Z 8, +) n H = {0, 4} n 1+H = {1, 5}, 2+H={2, 6}, 3+H={3, 7}, 4+H=H G = (Z 7*, *) n H = {1, 2, 4} ist Untergruppe. n 3 H = {3, 6, 5}, 2 H={2, 4, 1}=H 9/8/2021 9

Eigenschaften von Nebenklassen Satz: Sei G endlich, abelsch und H Untergruppe von G. 1. h±H = H für alle h 2 H 2. Für a, b 2 G: a±H = b±H oder a±H Å b±H = ; 3. |a±H| = |H| für alle a 2 G 4. Die Nebenklassen a±H, a 2 G von H partitionieren G. zu 1. : n n zu 2. : n zu 3. : n Abgeschlossenheit von H: h ± H µ H Sei g 2 H: g = e ± g = h ± (h-1 ± g) 2 h ± H Seien a, b 2 G mit a±H Å b±H ; , d. h. 9 h 1, h 2: a ± h 1 = b ± h 2 ) a ± H = (b ± h 1 -1 ± h 2) H = b ± (h 1 -1± h 2 ± H) = b ± H Abb. : H ! a ± H, h a ± h ist Bijektion in G. ) |H| = |a ± H| (Gleichheitsregel) zu 4. : n n Wegen e 2 H gilt a 2 a ± H für alle a 2 G. Daher: G µ [a 2 G a ± H µ G. Wegen 3. bilden die Nebenklassen a ± H eine Partition von H. 9/8/2021 10

Untergruppenordnung teilt Gruppenordnung Def. : Sei G endlich, abelsch, H Untergruppe von G. n G/H = Menge der verschiedenen Nebenklassen von H in G n ind. G(H) = |G/H| (alternative Notation [G: H]) Satz von Lagrange: Sei G endlich, abelsch und H eine Untergruppe von G. Dann gilt: |G| = |H|*ind. G(H), insbesondere gilt ord. G(H) | ord(G). n n n Alle Nebenklassen besitzen gleiche Kardinalität |H|. Es gibt ind. G(H) viele verschiedene Nebenklassen H von G. Alle Nebenklassen bilden eine Partition von G. 9/8/2021 11

Die Faktorgruppe G/H Satz: Sei G eine (multiplikative) Gruppe. Dann ist (G/H, *) eine Gruppe, die sogenannte Faktorgruppe. n Abgeschlossenheit: *: G/H £ G/H ! G/H, (a. H, b. H) ab. H q q n n Repräsentanten-Unabhängigkeit: z. z. : a. H=a‘H und b. H=b‘H ) ab. H = a‘b‘H Es gilt a 2 a. H=a‘H ) 9 h 1 2 H: a=a‘h 1, analog 9 h 2 2 H: b=b‘h 2 ) ab. H = (a‘h 1 b‘h 2) H = a‘b‘ (h 1 h 2 H) = a‘b‘H Neutrales Element: H Inverses zu a. H: a-1 H, wobei a-1 Inverses von a in G. Bsp: Z 7* mit H 1=H=2 H=4 H={1, 2, 4}, H 2=3 H=5 H=6 H={3, 5, 6} n H 1 ist neutrales Element: H 1*H 1=H 1 und H 1*H 2=H 2 q n h 1*h 12 H 1, h 1*h 22 H 2 für alle h 12 H 1, h 22 H 2 (H 2)-1 = H 2: H 2*H 2 = H 1 q 9/8/2021 h 2*h 2‘ 2 H 1 für alle h 2, h 2‘ 2 H 2 12

Isomorphismus Def: Seien (G, +), (G‘, *) Gruppen. Man nennt f: G ! G‘ einen Isomorphismus falls f ist bijektiv f(u+v) = f(u) * f(v) für alle u, v 2 G (f ist Homomorphismus) 1. 2. n n G und G‘ sind isomorph , 9 Isomorphismus f: G ! G‘ Notation: G G‘ 9/8/2021 13

Jede zykl. Gruppe ist isomorph zu (Zm, +) Satz: Sei G eine zyklische Gruppe mit Ordnung m. Dann ist G (Zm, +). n n n Es gibt Generator a mit G={ai | i 2 [m]}. Betrachten f: Zm!G, i ai. Bijektivität von f: q n f surjektiv wegen G={ai | i 2 [m]} und |G|=|Zm|. f Homomorphismus: q 9/8/2021 f(i+j) = ai+j = ai * aj = f(i) * f(j) für alle i, j 2 Zm 14

Diskreter Logarithmus Problem DLP (Diskreter Logarithmus Problem) n Gegeben: G, a Generator in g, b = <a> n Gesucht: i 2 Z|G| mit ai = b n n Betrachten Isomorphismus f: i ai von letzter Folie f-1: ai i, d. h. f-1(b) = i löst das DLP in einigen Gruppen schwer: n Berechnen von f in beide Richtungen nicht immer effizient. 9/8/2021 15