n solution general solution ODE p 5 example

n 解(solution): 通解 (general solution ) 包含未定常數 滿足該ODE之任何函數 p. 5 example 3 特解(particular solution ) 特定常數 p. 4 example 1 初始條件 ( initial condition) 由 通解 特解 邊界條件 (boundary condition) Math 1 -ch 1 4

n 初始值問題(Initial-Value Problem ) y' = f(x, y) y(x 0) = y 0 Initial condition 由特解之 family of curves 給予通過一特殊點(x 0 , y 0) 即可求得其中一特解。 n 微分方程式求解之步驟 Example 4 (p 6) Math 1 -ch 1 8

n 方向場(direction field) isocline(等傾線) Example 1 (p 11) curves of equal inclination Math 1 -ch 1 9

n 可分離變數微分方程式(Separable Differential Eq ) 簡化一階ODE g(y)g´ = f(x) g, f必定為 g(y)dy = f(x)dx 連續方程 x函數 y函數 ∫g(y)dy = ∫f(x)dx + c ◎並非所有ODE均可化簡為 Separable，但如能這樣 做求解更容易。 Example 1 (p 14) Example 2~5 (p 15) Math 1 -ch 1 10

n 建立分離變數的技巧 let u = y / x y′= g (y / x) 型式 y=ux ∴ y′= u′x +u = g(u) y′= u′x + u x du/dy = g(u) – u du /g(u) – u =dx / x Example 6 (p 16) Math 1 -ch 1 11

n n υ= ay + bx +h 型式 Example 7 (p 17) Example 3~4 (p 21~22) 正合微分方程式 (Exact Differential Eq) du = (∂u / ∂x) dx +( ∂u / ∂y) dy = Mdx+Ndy = 0 M N ∴u = c 其中 ∂u / ∂x = M , ∂u / ∂y = N Math 1 -ch 1 12

條件→ ∴ u = ∫Mdx + k(y) or u=∫Ndy + l(x) Example 1、Example 2 (P 27) n 積分因子(Integrating Factors) P(x, y)dx + Q(x, y)dy =0 如為非恰當(nonexact) 但 FPdx + FQdy = 0 可為恰當(exact) 則 F→積分因子 Example 4(P 29) Math 1 -ch 1 13

→ (exp (∫pdx) y)‘ = r exp(∫pdx) → exp(∫pdx) y = ∫r exp(∫pdx) dx + C Let ∫pdx = h → exp(h) y = ∫r exp(h) dx + C ∴ y = 1/exp(h) 〔∫r exp(h) dx + C〕 Example 1. A 1 (P 34~35) , Example 3, 4 (P 36) Math 1 -ch 1 18

n Bernoulli Eq y' + p(x) y = g(x) y a a=0 a =1 不同於r(x)， 乃存在y之函 數 Non-homogenous (1 th ODE) Homogenous (1 th ODE) Linear 線性微分方程式 a>1 Nonlinear 非線性微分方程式 Math 1 -ch 1 19

假設 u(x) = 〔y(x)〕 1 -a y' = gya – py u' = (1 -a)y-ay' = (1 -a)y-a(gya - py) = (1 -a)(g – py 1 -a) = (1 -a)(g-pu) ∴u‘ + (1 -a)pu = (1 -a)g 求解 y= e lnu / 1 -a Example 5 (p 37) linear 線性函數 Math 1 -ch 1 20