MODELES ASYMPTOTIQUES ET CARACTERISATION ELECTROMAGNETIQUE DUNE COLLECTION DINCLUSIONS

MODELES ASYMPTOTIQUES ET CARACTERISATION ELECTROMAGNETIQUE D’UNE COLLECTION D’INCLUSIONS ENFOUIE EN ESPACE STRATIFIE H. Ammari 1, E. Iakovleva 1, 2, D. Lesselier 2 1 CMAP 2 DRE/L 2 S (CNRS-X), Ecole Polytechnique, 91128 Palaiseau cedex (SUPELEC-CNRS-UPS), 3 rue Joliot-Curie, 91192 Gif-sur-Yvette cedex

INTRODUCTION Ø Motivations: formation d’images de petits objets enfouis dans un milieu stratifié à partir de données électromagnétiques Ø Méthodes: Ø formulation asymptotique des champs électromagnétiques résultant du phénomène de diffraction Ø algorithme d’identification non itératif : Multiple-Signal Classification (MUSIC) (A. Devaney, 2000) Ø Un point clé: milieu contenant la collection est non borné –tandis que la plupart des études se font pour les milieux bornés (A. Freidman, M. Vogelius, 1989; H. Ammari, H. Kang, 2004)

PROBLEME INVERSE 2 -D émetteur (aq) récepteur x 2 (ap) Problème inverse de diffraction 2 -D: Déterminer les positions à partir de mesures α x 1 d’Amplitudes de Diffraction: à fréquence fixée pour un nombre fini de Directions d’incidence: et de Directions d’observation: numéro d’antennes: n

FORMULATION DIFFERENTIELLE émetteur x 2 récepteur ücondition de rayonnement à l’infini x 1 ücondition de transmission aux frontières des inclusions et sur l’interface x 2=0:

TENSEUR DE POLARISATION Le tenseur de polarisation associé au domaine perméabilité magnétique est donné par où est la solution unique du b Si a est elliptique alors: de

AMPLITUDE DE DIFFRACTION Pour x assez loin des inclusions, où est indépendant de

AMPLITUDE DE DIFFRACTION Pour x assez loin des inclusions, où est indépendant de Définissons l’Amplitude de Diffraction Pour tout : :

AMPLITUDE DE DIFFRACTION Pour x assez loin des inclusions, où x 2 est indépendant de x 1 Pour tout :

Décomposition de la Matrice de Diffraction 2 où la matrice , est définie comme:

Décomposition de la Matrice de Diffraction 2 où la matrice , est définie comme: : Inclusions Diélectriques : Inclusions Magnétiques : Inclusions Diélectriques et Magnétiques

Décomposition de la Matrice de Diffraction où la matrice , est définie comme: : Inclusions Diélectriques

MUltiple SIgnal Classification (MUSIC) Proposition: Pour tout SVD de A la carte de ,

Inclusions diélectriques ou magnétiques ( k+ < k- ) Image de Wc(x) pour tout x dans Ω Ø c = e 3 ε 1=2 ε 2=4 ε 3=3 Ø c = e 1 + 5 e 2 μ 1=2 μ 2=4 μ 3=3

Inclusions diélectriques et magnétiques ( k+ < k- ) Image de Wc(x) pour tout x dans Ω Ø c = e 3 Ø c = e 1 + e 2 + 5 e 3 ε 1 = μ 1 =2 ε 2 = μ 2 =4 ε 3= μ 3 =3 ε

Inclusions diélectriques ( k+ = k- ou k+ < k- ) Ø k+ = k - : Ø k+ < k - : Images des amplitudes de produits scalaires des vecteurs singuliers u 1, u 2, u 3 (ordonnés de gauche à droite) avec gz pour tout z dans Ω.

PERSPECTIVES Ø Maxwell 3 -D Ø Inclusions proches entre elles Tenseurs de Polarisation et/ou d’interface d l