MODEL DAN SIMULASI Pemodelan Governing Equation Dimas Firmanda

MODEL DAN SIMULASI Pemodelan, Governing Equation Dimas Firmanda Al Riza (DFA)

SILABUS � Pengertian Model dan Simulasi (M&S) (1) � Contoh fenomena alami dan pemodelannya (2) � Model konseptual (3) � Persamaan Pengatur (4) � Syarat batas (5) UTS � Pemecahan Numerik (6 -7) � Verifikasi dan Validasi model (8) � Visualisasi (9) � Simulasi dengan komputer(10) � Model Ekosistem/Lingkungan (11) � Integrasi model matematis dan GIS (12) UAS � Model DAS (13)

REVIEW � Pengertian …models are approximations of the real world. In turn, The model can then be modified in which simulation allows for the repeated observation of the model. (J. A. Sokolowski and C. M. Banks, 2010) Model dan Simulasi (M&S)? � Contoh fenomena alami dan pemodelannya? � Model konseptual? � Pemodelan ◦ ◦ matematis Pembuatan model Persamaan pengatur Syarat batas Penyelesaian/Solusi

MENU HARI INI � Pemodelan konduksi panas � Pemodelan air tanah, ground water aquifer

PEMODELAN KONDUKSI PANAS Hukum kekekalan energi: Hukum Fourier untuk perpindahan panas konduksi: Model konseptual konduksi

PEMODELAN KONDUKSI PANAS Energi out Model konseptual konduksi

PEMODELAN KONDUKSI PANAS Pembangkitan energi dalam kontrol volume tersebut: Perubahan energi dalam kontrol volume terhadap waktu: Model konseptual konduksi

PEMODELAN KONDUKSI PANAS Dengan substitusi ke hukum kekekalan energi maka didapatkan persamaan umum konduksi panas (Governing Equation) sebagai berikut:

PEMODELAN AKIFER AIR TANAH � � Akifer (Aquifer) Adalah suatu stratum (lapisan) geologi yang mempunyai porositas dan konduktivitas hidrolik yang cukup untuk menyimpan dan melalukan air dalam jumlah yang signifikan. Akuitard (Aquitard) Apabila konduktivitas hidroliknya sangat kecil, sehingga memperlambat aliran air tanah. Akiklude (Aquiclude) Apabila material memiliki porositas cukup untuk menyimpan air, akan tetapi kapasitas melalukan air sangat kecil sehingga tidak dapat membentuk sumur atau mata air. Akifuge (Aquifuge) Apabila porositas dan konduktivitasnya tidak signifikan untuk menyimpan dan melalukan air

PEMODELAN AKIFER AIR TANAH � Jenis Aquifer � Tak tertekan/terkurung atau paras air (Unconfined aquifer) � Setengah tertekan/terkurung (Semi-confined aquifer) � Tertekan/terkurung (Confined Aquifer)

CONTOH MODEL KONSEPTUAL Model konseptual penampang akifer dan aliran tanah untuk akifer merapi (Sleman dan Jogjakarta)

Pemodelan matematis: Hukum-hukum dasar air tanah � Gerakan/aliran air tanah Biasa dinyatakan dengan fluks volume atau debit spesifik, yaitu besarnya volume air yang mengalir per satuan luasan per satuan waktu. q Q A = Fluks volume/debit spesifik (LT-1) = Volume per satuan waktu/debit (L 3 T-1) = Luas penampang (L-2)

Pemodelan matematis: Hukum-hukum dasar air tanah � Darcy’s Law Besarnya air yang mengalir melalui sampel tanah berbanding lurus dengan beda paras air pada kedua ujung sampel itu. k = konduktivitas hidrolik = beda tinggi tekan air pada kedua ujung sampel = panjang sampel A = luas penampang

Pemodelan matematis: Hukum-hukum dasar air tanah � Darcy’s Law Dengan memasukkan darcy’s law pada persamaan aliran air tanah dan dengan pendekatan limit maka dapat ditulis: Dalam koordinat kartesian:

Pemodelan matematis: Beberapa sifat akifer � Kelulusan (Konduktivitas hidrolik) Disebut juga koefisien permeabilitas yang besarnya bergantung dari sifat air dan medium porus yang dilaluinya, dinyatakan dengan: k K ρ g μ = = = kelulusan atau konduktivitas hidrolik (LT-1) permeabilitas (L 2) massa jenis (ML-3) percepatan gravitasi (LT-2) viskositas dinamik (ML-1 T-1)

Pemodelan matematis: Beberapa sifat akifer � Permeabilitas (K) merupakan sifat yang fundamental yang hanya bergantung pada sifat pori, tidak bergantung pada sifat air yang mengalir, dapat ditentukan salahsatunya dengan persamaan Kozeny-Carman: K c d n = = permeabilitas (L 2) koefisien tak berdimensi rata-rata ukuran partikel porositas

Pemodelan matematis: Beberapa sifat akifer � Keterusan (Transmisivitas) Merupakan fungsi dari kelulusan dan ketebalan akifer: T k b = keterusan/transmisivitas (L 2 T-1) = kelulusan (LT-1) = tebal akifer (L) � Koefisien tampungan (S) adalah suatu ukuran yang menunjukkan besarnya air yang masuk atau keluar akifer per satuan luas areal akifer per satuhan perubahan tinggi tekan (Charalambous, 1984). Tidak berdimensi, untuk akifer tertekan besarnya berkisar antara 0. 005 – 0. 00005.

Pemodelan matematis: Persamaan umum aliran tanah � Persamaan aliran tanah Didapatkan dari hukum darcy dan persamaan kontinuitas (hukum kesetimbangan massa yang meliputi aliran masuk (inflow), keluar (outflow) dan perubahan penampungan air tanah:

Pemodelan matematis: Persamaan umum aliran tanah Dimana: ρ qx, qy, qz n = massa jenis = debit spesifik masing 2 arah = porositas Jika persamaan diatas dibagi dengan Δx, Δy, Δz dan dilimitkan dengan Δx 0, Δy 0 dan Δz 0 maka akan didapatkan persamaan differensial berikut:

Pemodelan matematis: Persamaan umum aliran tanah Dengan: Dimana: = laju massa air yang dihasilkan karena perubahan massa jenis (ρ), (dikontrol oleh kompresibilitas fluida β) = laju massa air yang dihasilkan karena kompaksitas medium porus sebagai akibat perubahan porositas (dikontrol oleh kompresibilitas akifer α)

Pemodelan matematis: Persamaan umum aliran tanah Perubahan ρ dan perubahan n keduanya dihasilkan oleh perubahan tinggi tekan hidrolik dan volume air yang dihasilkan dari dua mekanisme persatuan penurunan tinggi tekan dinyatakan dengan penampungan spesifik Sa = ρg(α+nβ), persamaan diatas menjadi:

Pemodelan matematis: Persamaan umum aliran tanah Persamaan diatas merupakan persamaan aliran transient atau tak tunak melalui medium porus anisotropik. Untuk kasus akifer tertekan horizontal bertebal b, S=Sa. b; T=k. b. Dengan menggunakan parameter-parameter ini maka dapat diperoleh:

Pemodelan matematis: Persamaan umum aliran tanah Bila hanya memperhatikan aliran arah x dan y (dua dimensi) dan memungkinkan adanya kebocoran (leakage) untuk akifer setengah tertekan dan pemompaan dari akifer itu maka persamaan diatas dapat dirubah menjadi: Dimana: W = (+) untuk pemompaan, (-) untuk resapan, atau karena kebocoran (leakage)

Pemodelan matematis: Persamaan umum aliran tanah Besarnya kebocoran (leakage) dapat dinyatakan dengan: Dimana: k' = konduktivitas hidrolik lapisan bocoran b' = tebal lapisan bocoran λ = faktor bocoran = Dalam aliran isotropik hasil penyederhanaan persamaan sebelumnya dapat dinyatakan dalam koordinat radial sebagai berikut:

Pemodelan matematis: Persamaan umum aliran tanah � Persamaan pendekatan Kuasi 3 D

Pemodelan matematis: Hukum-hukum dasar air tanah Model konseptual penampang akifer dan aliran tanah untuk akifer merapi (Sleman dan Jogjakarta)

PR 1 � Jika ada sepetak sawah 1000 m 2 dipupuk dengan 100 kg urea. Pada waktu pemupukan air sawah sedalam 10 cm. Masukan air dari saluran irigasi dimatikan. Perkolasi = hujan – penguapan = 5 mm/hari. Konsentrasi mula dianggap segera homogen/seragam secara spasial dan kedalaman. Berapa lama urea efektif masuk ke dalam sebesar 60%?

Jawab Asumsi, hanya terjadi perubahan secara vertikal (saluran irigasi dimatikan). Konsentrasi awal urea pada air sawah = Co Co = 100 kg/1000 m 2 x 0. 1 m= 1 kg/m 3 Q 1 C 1 Q 2 C 2 = = hujan – penguapan 5 mm/hari x 1000 m 2 5 m 3/hari 0 kg/m 3 = perkolasi = 5 m 3/hari = konsentrasi urea yang masuk ke tanah

Jawab Perubahan volume air sawah: Perubahan konsentrasi air sawah: Hukum kesetimbangan massa:

Jawab Karena perubahan volume air sawah adalah nol (0) maka: Karena Q 1=Q 2=Q=5 m 3/hari dan V=1000 m 3 maka:

Jawab Maka penyelesaian persamaan differensial diatas adalah: Dimana C adalah konstanta integrasi.

Jawab Kemudian didapatkan: Dan akhirnya dapat ditulis solusi persamaan differensialnya: Dimana C merupakan keadaan awal (konsentrasi urea sawah awal

Jawab Dari persamaan solusinya maka dapat dibuat grafik: 1 0. 9 0. 8 0. 7 0. 6 0. 5 0. 4 0. 3 0. 2 0. 1 0 1 20 39 58 77 96 115 134 153 172 191 210 229 248

Jawab Berapa lama urea efektif masuk ke dalam sebesar 60%? Ketika yang sudah masuk ke tanah adalah sebesar 60% maka C 2 akan bernilai 40% (sama dengan konsentrasi air sawah pada saat itu, 40%x 1 kg/m 3=0. 4 kg/m 3). C 1=1. Sehingga: Jadi waktu yang diperlukan agar urea efektif yang masuk ke dalam tanah adalah 183. 25 hari.

Thank’s

PEMODELAN NUMERIK