Metody numeryczne SOWIG Wydzia Inynierii rodowiska III rok

Metody numeryczne SOWIG Wydział Inżynierii Środowiska III rok dr inż. Jerzy Kotowski Instytut Informatyki, Automatyki i Robotyki

Metody numeryczne Interpolacja dr inż. Jerzy Kotowski Instytut Informatyki, Automatyki i Robotyki

Interpolacja Definicje • Interpolacja jest to wstawienie do cudzego tekstu wyrazów, zwrotów, zdań, których pierwotnie zawierał; (przybliżone) oblicze, oszacowanie wartości (zwł. funkcji mat. ) znajdujących się między dwiema znanymi wartościami. • http: //www. slownik-online. pl /kopalinski/D 6 DC 7462 CB 749143 C 12565 E 30055 DDD 5. php • Ekstrapolacja jest to wnioskowanie o tendencjach rozwojowych, stosunkach, wartościach (zwł. funkcji mat. ) na zewnątrz jakiegoś przedziału na podstawie znanych, zaobserwowanych tendencji, wartości itp. wewnątrz niego. • Załóżmy że dane są wartości funkcji f(x) na zbiorze punktów x 0, x 1, …, xn zwanych węzłami interpolacji. Zadaniem interpolacji jest wyznaczenie przybliżonych wartości funkcji f(x) zwanej funkcją interpolowaną w punktach nie będących węzłami interpolacji. • Przybliżoną wartość funkcji f(x) obliczamy za pomocą funkcji F(x) zwanej funkcją interpolującą, która w węzłach ma te same wartości co funkcja interpolowana.

Interpolacja Definicje • Funkcja interpolująca – przybliżenie zadanej funkcji musi przechodzić przez zadane punkty, inaczej niż w aproksymacji. • Interpolację stosuje się najczęściej gdy nie znamy analitycznej postaci funkcji (jest ona tylko stablicowana) lub gdy jej postać analityczna jest zbyt skomplikowana. • Funkcja interpolująca F(x) jest funkcją z pewnej klasy. Najczęściej będzie to wielomian algebraiczny, wielomian trygonometryczny, funkcja wymierna lub funkcja sklejana. • W dalszej części wykładu ograniczymy się do przypadku gdy funkcja aproksymująca jest uogólnionym wielomianem. • Przypomnienie: wielomian uogólniony jest kombinacją liniową pewnych funkcji bazowych qi(x), i=0, 1, 2, …, n. • Szczególnym przypadkiem wielomianu uogólnionego jest klasyczny wielomian: qi(x)=xi, i=0, 1, 2, …, n.

Interpolacja Sformułowanie problemu • Węzły interpolacji: (x 0, y 0) x x 0 x 1 … xn y y 0 y 1 … xn (xn, yn) (x 1, y 1) • To jest układ n+1 równań liniowych z n+1 niewiadomymi a 0, a 1, …, an

Interpolacja Zapis macierzowy • Układ równań: • Oznaczenie: vij=qj(xi)

Interpolacja Własności wielomianu interpolującego • Wektor funkcji bazowych: • Funkcja aproksymująca: • Po podstawieniu rozwiązania z poprzedniego slajdu otrzymujemy: • q(x) jest wektorem wierszowym zawierającym funkcje bazowe. Wartości tych funkcji zależą tylko od zmiennej niezależnej x. • V jest macierzą kwadratową, której elementy zależą wyłącznie od wartości funkcji bazowych w węzłach interpolacji (x-ach) • Wektor kolumnowy Y zależy od składowych y-kowych węzłów interpolacji

Interpolacja Własności uogólnionego wielomianu • • • Mnożenie macierzy jest łączne: A(BC)=(AB)C Dlatego można napisać: Qn(x)=q(x)(V-1 Y)=(q(x)V-1)Y Wprowadzamy oznaczenie: Rn(x)=q(x)V-1 Rn(x) jest wektorem wierszowym o n+1 składowych: Rn(x)=[l 0, l 1, …, ln] Wszystkie te składowe są funkcjami zmiennej niezależnej x i zależą od składowych x-owych węzłów interpolacji: li=li(x, x 0, x 1, …, xn), i=0, 1, 2, …, n. • Ostatecznie: Qn(x)= Rn(x)Y. • Oznacza to, że poszukiwany uogólniony wielomian interpolujący jest liniową kombinacją składowych y-kowych węzłów interpolacji. Współczynnikami w tej liniowej kombinacji są funkcje l 0, l 1, …, ln.

Interpolacja Klasyczny wielomian interpolacyjny • Pytanie: czy można wyznaczyć analitycznie funkcje li, i=0, 1, 2, …, n? • Jeżeli się to uda, to wtedy wyznaczanie wartości wielomianu interpolującego sprowadzi się do podstawiania do wzoru. • Z tym (tzn. z obliczaniem wartości wyrażenia) komputery radzą sobie najlepiej. • Jest to możliwe dla wybranych wektorów funkcji bazowych. • W tym zbiorze ważnym przypadkiem jest klasyczny wielomian interpolacyjny qi(x)=xi, i=0, 1, 2, …, n:

Interpolacja Wyznacznik Vandermonde’a • Macierz V przypomina macierz X z wykładu o aproksymacji. • Istotna różnica: V jest zawsze macierzą kwadratową. • Można obliczyć jej wyznacznik. Jest to znany z algebry wyznacznik Vandermonde’a. • Jak widać z wzoru |V| 0 wtedy i tylko wtedy, gdy współrzędne xowe węzłów interpolacji są różne. • Jest to warunek istnienia i jednoznaczności rozwiązania

Interpolacja Wzór Lagrange’a • Twierdzenie 1 Jeżeli |V| 0 to wtedy zadanie interpolacji wielomianowej posiada jednoznaczne rozwiązanie, czyli istnieje tylko jeden wielomian Ln(x) stopnia nie większego niż n spełniający warunek Ln(xi)=yi, i=0, 1, 2, …, n • Szukany wielomian ma postać: • Powyższy wzór nosi nazwę wzoru Lagrange’a • Funkcje Lagrange’a:

Interpolacja Przykład 1: n=1 x x 0 x 1 y y 0 y 1 • Jest to znany ze szkoły wzór na równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty. • Zarys dowodu: – Jest to prosta niewątpliwie równanie linii prostej – y(x 0)=y 0, y(x 1)=y 1

Interpolacja Przykład 2: n=2 x x 0 x 1 x 2 y y 0 y 1 y 2 • Jest to na pewno parabola • y(x 0)=y 0, y(x 1)=y 1, y(x 2)=y 2 • Jest to zatem to, czego szukaliśmy.

Interpolacja Przykład 3: n=2 (historyczny) x -1 0 1 y 0 0 a • Wniosek: poprawianie kartkówek przedświątecznych nie musi być zajęciem bardzo wyczerpującym.