Matematik och musik En frelsning i kursen Matematiken

Matematik och musik En föreläsning i kursen Matematiken i vår omvärld Jesper RYDÉN Tekn dr i matematisk statistik Matematiska institutionen Uppsala universitet jesper. ryden@math. uu. se

Föreläsningens innehåll: • Matematik för att beskriva ”ljud” (och i förlängningen, musik). • Musikinstrument: hur kan matematik beskriva dessa? • Kompositioner: Hur har tonsättare utnyttjat matematiska strukturer i sitt konstnärsskap?

Matematiska begrepp Exempel på begrepp som kommer användas/beröras: • logaritmer • bråk • sinusfunktioner • exponentialfunktioner • differentialekvationer

Citat av Helmholtz: Mathematics and Music, the most sharply contrasted fields of intellectual activity which one can discover, and yet bound together … Hermann von Helmholtz (1821 -1894)

Kvantitativ analys? Tonsättare Lyssnare Noter Musiker Ljudförlopp

Vad menas med LJUD? Ljud motsvaras fysikaliskt av lufttrycksvariationer. • Trumhinnevibrationer • En TON: regelbundna variationer, periodiska förlopp • Buller, brus: operiodiska förlopp

Periodiska förlopp Amplitud Frekvens Period Sinusformad kurva

Ljudutbredning LONGITUDINELL vågutbredning: Luftpartiklar knuffas fram och åter i utbredningsriktningen. • SFÄRISK utbredning: punktformig, lika bra åt alla håll (jfr. glödlampa) • PLAN utbredning: på tillräckligt stort avstånd från ljudalstraren (ex. trånga rör, blåsinstrument)

Ljudstyrkor i praktiken

”Ljudstyrka”? Ljudtryck mäts i Pa (N/m²) • Ljudtrycksnivå mäts i d. B relativt referensen 20 µPa • Ljudintensitet mäts i Watt per kvadratmeter, W/m² • Ljudintensitetsnivå mäts i d. B relativt referensen 1 p. W/m² Värdena för ljudtrycksnivå och ljudintensitetsnivå sammanfaller under normala förhållanden (tryck, temperatur, plan eller sfärisk våg etc). Man talar därför bara ofta om ljudnivå. Ännu allmännare: ljudstyrka (ljudnivå, ljudintensitet och ljudtryck).

Ljudtryck och d. B

Spektrum m. m. • Varje periodisk vågform kan betraktas som uppbyggd av en serie enkla sinusfunktioner med givna frekvenser, amplituder och faser • Matematisk disciplin: Fourieranalys • Olika musikinstrument genererar olika spektra JBJ Fourier (1768 -1850)

Fourierutveckling

Superposition

Deltoner • Deltoner bidrar till klangfärg • De flesta musikinstrument: heltalsmultiplar av lägsta frekvensen • Harmoniskt spektrum • Oharmoniskt spektrum (vissa slaginstrument)

Samma ton, olika instrument Stämgaffel Violin Oboe Tid

Spektrum Klarinett, låg ton:

Spektrum Klarinett, hög ton:

Svävningar • Två toner ljuder med nästan samma frekvens • Medfas och motfas • Matematiskt begrepp: Superposition

Svävningar Fenomenet används i orgelstämmorna ”Voix céleste” (himmelsk röst) och ”Unda maris” (havsvåg)

Intervaller och frekvenser Ett intervall motsvaras av ett frekvensförhållande! Naturtonserien till tonen A

Resonans Mekaniska system som fungerar som resonatorer: massa, fjädring, dämpning Differentialekvation Exempel: bil, lokal, flöjt, violin, … Resonator svänger helst på vissa frekvenser, resonansfrekvenserna.

Resonans och dämpning • Dämpning beror på förluster • Reflektioner • Läckage (ex. rörändar) • Exempel, små förluster: pianosträng; större förluster: fiolsträng (pizz. ) Pizzicatospel

Hur klassificera dämpning? • Hur hastigt dör en ton vid resonansfrekvens ut? • Hur stor frekvensändring behövs på ömse sidor om resonansfrekvensen för att ljudnivån i resonatorn ska sjunka 3 d. B?

Resonanskurvor

Ansats och avklingning

Ansats och avklingning B betecknar bandbredden e är Eulers tal: 2, 71828…

Efterklangstid Den tid det tar för ljudet att avta 60 d. B.

Begrepp från rumsakustik • Reflektioner ger upphov till resonanser • Eko: det reflekterade ljudet uppfattas som i tiden skilt ifrån det ursprungliga (100 ms isär i tiden) • Efterklang: reflekterande ljudet når lyssnaren hastigare än efter 100 ms • Absorption: ljudenergi förloras vid reflektionerna (materialberoende) • Luftabsorption: liten, men tilltar med stigande frekvens

Efterklang: rumsvolym och frekvens Sabines formel:

Efterklangsradie • På långt avstånd från ljudkällan dominerar efterklangsljudet • Nära ljudkällan dominerar direktljudet • Vid ett visst avstånd – efterklangsradien – är direktljud och efterklangsljud lika starka. Rumsvolym Efterklangsradie Efterklangstid

Stränginstrument • System med flera resonatorer (strängen själv samt resonans- eller klanglåda) • Anslagna strängar (piano) • Knäppta strängar (gitarr, harpa) • Stråkinstrument (violin, viola, cello, kontrabas)

Svängande sträng Resonansfrekvenser: (Första grunderna, Marin Mersenne (1588 -1648))

Bakgrund: Partiella differentialekvationer ”Vågekvationen”: Allmän lösning: Randvillkor, fasta ändpunkter:

Vibrerande sträng

Totalt sluten pipa Snarare modell för ett rum än ett musikinstrument

Pipa, öppen i ena änden

Öppen pipa

Pukor, trummor Vågekvationen Polär form (cirkulärt membran) Allmän lösning: Besselfunktion

Kombinationstoner • Frekvenser som uppfattas av hörseln • Ligger lägre än de reella tonerna som alstrar dem • Tillämpning: Stora orgelpipor. Spara plats, material, luftåtgång (och pengar). • 32 -fotsstämma: djupaste frekvens ca 16 Hz

Täckt 32 -fotspipa First Presbyterian Church, Ithaca NY, USA

Bourdon 32’ Katarina kyrka, Stockholm

Fibonaccital Leonardo av Pisa (Fibonacci), 1200 -talet. 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 43, 55, 89, 144, . . . Talserien erhålls ur

Gyllene snittet Relaterat till Fibonaccital via ett gränsvärde:

Gyllene snittet Geometriskt förhållande:

Béla Bartók Ungersk tonsättare (1881 -1945) Utnyttjar gyllene snittet (GS) och Fibonaccital (FT) som kompositionstekniker

Kompositionsteknik • Harmonik • Intervallstruktur • Formbyggnad

GS: Intervall

GS: Form Huvudtema (43, 5 takter långt) Sats III ur Sonat för två pianon och slagverk

FS: Form Musik för stråkar, slagverk och celesta Sats 1 Musik för stråkar, slagverk och celesta Sats 3

Mozart och GS • GS återfinns i flera av Mozarts pianosonater • Medvetet? Konsekvens av den s. k. sonatformens konstruktion?

Litteratur jag använt Sundberg, Johan (1989): Musikens ljudlära. Proprius. Ulin, Bengt (2003): Matematik och musik. Ekelunds förlag. Benson, Dave (2004): Mathematics and Music. Bokmanus. Lendvai, Ernö (1971): Béla Bartók. An analysis of his music. Kahn and Averill. Putz, John F (1995): The golden section and the piano sonatas of Mozart. Mathematics Magazine 68: 275 -282. Rydén, Jesper (2007): Statistical analysis of the golden-ratio form in piano sonatas by Mozart and Haydn. The Mathematical Scientist 32 (to appear). Alm, Jeremy F och Walker, James S (2002): Time-frequency analysis of musical instruments. SIAM Review 44: 457 -476. Archibald, R. C. (1924): Mathematicians and music. The American Mathematical Monthly 31: 1 -25. INTERNET: http: //www. ithaca. edu/hs/physics/PH 160/lectures. htm