MAK 212 SAYISAL YNTEMLER Yrd Do Dr Nurdan

MAK 212 -SAYISAL YÖNTEMLER Yrd. Doç. Dr. Nurdan Bilgin

Ders Politikası • Ders Kitabı ve Referans Kitaplar ▫ Ders Kitabı Mühendislikte Sayısal Metotlar, Erdem Koç ▫ Referans Kitaplar "Numerical Methods for Engineers" by S. C. Chapra and R. P. Canale, 4 th ed. , Mc. Graw Hill. "Applied Numerical Analysis" by C. F. Gerald and P. O Wheatley "Elementary Numerical Analysis ‑ An Algorithmic Approach" by S. D. Conte and C. de Boor "Numerical Methods" by R. W. Hornbeck "A First Course in Numerical Analysis" by A. Ralston and P. Rabonowitz • Nasıl Çalışmalıyız. ▫ Ödevleri kendi başımıza yapacağız, takıldığımız yerlerde, arkadaşlara, asistanımıza ve hocamıza danışacağız. Kopya çekmeyeceğiz; kopya çekenlere ‘ 0’ verilecektir. Telafi ödevi olmayacaktır. ▫ Derse devam edeceğiz, ara sınav harici 3 adet kısa sınav ders içinde bir hafta önce haber verilmek suretiyle yapılacaktır. • Notlama Sistemi ▫ Ödevlerin ağırlığı %7, Kısa Sınavlar %10, Devam %3 ve Ara Sınav %20 olarak yıl içi ortalamayı etkiyecektir. Yıl sonu sınavı tüm dönemi kapsayan sorulardan oluşacak ve ağırlığı %60 olacaktır.

Giriş • Makine Mühendisi Ne İş Yapar, Nasıl Yapar. ▫ Makine mühendisliği alanında karşılan problemleri çözer. ▫ Önce problemi anlar, basitleştirir, çözülebilir bir denklem sistemine indirger ▫ Sonra, herhangi bir yöntemle problemi çözer. Analitik olarak Grafiksel olarak Hesap makinası kullanarak veya Bilgisayar kullanarak ▫ Karmaşık problemlerin çözümünde bilgisayar kullanımı kaçınılmazdır. Doğrusal olmayan problemler Çok parametreli problemler Diferansiyel Denklemler • Neden Sayısal Yöntemler Dersi Var. ▫ Karmaşık mühendislik problemlerini sayısal yöntemler kullanarak çözebilmememiz için. Bilgisayar programlama Yeni matematiksel araçları kullanmak Sayısal analiz yöntemlerini öğrenmek ve kullanmak Dijital hesaplamalara bağlı hataları analiz edebilmek

Bu dersi neden çok iyi öğrenmeliyiz. • • • Problem Çözme Konusunda Güçlenmek Çok bilinmeyenli denklem sistemlerini çözebilmek Doğrusal olmayan denklemleri çözebilmek Karmaşık geometrileri hesaplayabilmek Parametre değişimi ile tekrarlı çözümler geliştirebilmek (Eğer öyle olursa ne olur, böyle olursa ne olur) Bilgisayar programlama ve bilgisayar mantığını kavramak için etkili bir yol Matemetiğin mühendislikte kullanımını öğrenmek için etkili bir yol Paket programların arkasında yatan mantığı anlamak için etkili bir yol Paket programların çözemediği problemler için program geliştirmek.

Dersin Özeti • Tanım ve amaç, sayısal metotlarda yaklaşım problemi, sayısal hesaplardaki yanlışlar • Matrisler, matrislerde aritmetik işlemler, bir kare matrisin determinantının ve tersinin hesabı • Lineer cebirsel denklem takımları, denklem takımlarının çözümündeki metotlar, ters matris metodu, yok etme metodu, iterasyon metotları • Öz değer ve öz vektörler • Lineer olmayan denklemlerin çözümü • Lineer olmayan denklem takımlarının çözümü, basit iterasyon yöntemi, newton yöntemi • Sonlu farklar, çeşitleri ve ilgili operatörler, ileri, geri, merkezi farklar, kesirli farklar • Sonlu farklar interpolasyonu • Nümerik integrasyon • Sonlu farklar ile integrasyon, belirsiz katsayılar metodu ile integrasyon, Lagrange interpolasyon formülü • Adi diferansiyel denklemlerin nümerik çözümü, başlangıç değer problemi • Diferansiyel denklem sistemleri, yüksek mertebeli diferansiyel denklemler • Sınır değer problemleri, regrasyon analizi, korelasyon

Ders 1. 1: TANIM ve AMAÇ • Sayısal çözümlemenin amacı, matematiksel modellerle ifade edilmiş olan problemlerin çözümünde belli sayı ve sırada belirlenmiş işlemleri, bilgisayar yardımıyla yaparak belirli hassaslığa sahip sonuçlar elde etmek için kullanılabilecek ▫ metodların geliştirilmesi ▫ var olanların irdelenmesi ve ▫ en uygun olanın belirlenmesidir. • Bu problemlerin çözümü için gerekli olan sonlu sayıdaki işlemleri adım tanımlayan düzene veya hesap yoluna algoritma denir. • Sayısal Metotlar ile yapılan işlem, verilen sayısal bilgileri (input) belli bir algoritma ile işleyerek sonunda sayısal bilgiler (output) elde etmek olarak özetlenebilir.

Ders 1. 1: TANIM ve AMAÇ • Kullanılacak algoritmanın seçimi bir çok faktöre bağlıdır. En önemli üç faktör ▫ Problemin Niteliği ▫ İşlemin Hızı ▫ Çözümün Hassasiyeti • Farklı tipte problemler için geliştirilmiş farklı araçlar mevcuttur. Problem tipine göre bu araçlardan en uygun olanı seçilir. • İşlemin Hızı, seçilen yöntemin ne kadar sürede sonuçlandığı anlamına gelmektedir. Çok karmaşık problemlerde günlerce süren analizler olabilmektedir. • Çözümün Hassasiyeti, yanlış (error) birikmesine bağlıdır. Yönteme karar verirken etkilenilecek en önemli faktördür.

Ders 1. 1: TANIM ve AMAÇ • Bir problemin çözümü için kullanılan bilgilerin çoğunluğu ▫ Deney sonuçlarından ▫ Ölçüm sonuçlarından ▫ İstatistik veriler içeren tablolardan veya ▫ Oluşturulan model ve fonksiyonun hesaplanmasından Elde edildikleri için az veya çok yanlış barındırmaktadırlar. • Çözüm için kullanılacak olan algoritmanın, kendi doğasında var olan kesme hatası (truncation error) ortaya çıkmaktadır ve • Bilgisayarda yapılan aritmetik işlemlerden doğan yuvarlatma hatası (roundoff error) var olacaktır. Dolayısıyla Giriş, algoritma ve bilgisayar kaynaklı yanlışlar sonuç üzerinde hata birikimi olarak ortaya çıkacaktır

Ders 1. 1: TANIM ve AMAÇ • Doğruluk (Accuracy): gerçek değer ile ölçülen değer arasındaki fark • Kesinlik (Precision): tekrar eden ölçüm yada hesaplamaların dağılımı

Ders 1. 2: HATA ve HATA BİRİKİMİ Algoritma Yönteminden ve Yuvarlatmalardan kaynaklı hatalar Çıkış Hata Birikimi 2+2=? Giriş Hataları Bilim İnsanı Cevabı 4 Sosyal Bilimci Cevabı Toplumsal şartlara, tanıma göre değişir p=? 1/3=? 3, 14 1, 41 0, 33 3, 142 1, 414 0, 333 3, 14159 1, 41421 0, 33333 3, 1415926536 1, 4142135624 0, 33333 3, 141592653589790 1, 414213562373100 0, 33333333

Ders 1. 2: HATA ve HATA BİRİKİMİ •

Ders 1. 2: HATA ve HATA BİRİKİMİ • Yuvarlatma Hatası (Round-off Error) bilgisayarda kullanılacak virgülden sonraki sayı kısıtlamasına bağlı olarak ortaya çıkan hatadır. Daha önce de belirttiğimiz gibi bazı sayıların kesin değeri yoktur. Yakınsak Değer Hata Gerçek Değer Gerçek Yakınsak Değer

Ders 1. 2: HATA ve HATA BİRİKİMİ Hata • Gerçek Yakınsak Değer

Ders 1. 2: HATA ve HATA BİRİKİMİ •

Ders 1. 2: HATA ve HATA BİRİKİMİ • Kesme Hatalarını Tahmin Edebilir miyiz?

Kesme Hataları ve Taylor Serileri •

Taylor Serileri •

Taylor Serileri •

Taylor Serileri •

Taylor Serileri •

Taylor Serileri Taylor Serisi Açılımında Kalıntı Terimi •

Taylor Serileri Kesme Hatasını Tahmin Etmek için Taylor Serisinin Kullanımı •

Taylor Serileri Hata Yayılımı •

Taylor Serileri Toplam Sayısal Hata • Toplam sayısal hata, kesme ve yuvarlama hatalarının toplamıdır. • Yuvarlama hataları, virgülden sonraki anlamlı sayı basamakları artırılarak azaltılabilir. • Kesme hataları, adım büyüklüğü küçültülerek azaltılabilir. • Ancak, adım büyüklüğünün küçültülmesi, yakın değerlerin birbirinden çıkarılması ve/veya hesaplama sayısının artmasına neden olacağından, yuvarlama hatalarını artırabilir.

Örnek Problemler 1. •

Örnek Problemler 1. Çözüm • # 0 1 2 3 Hesaplamalar

Örnek Problemler 1. Çözüm Devam # 0 1 2 3 Yakınsak Değer

Örnek Problemler 2. •

Örnek Problemler 2. Çözüm •

Özet ve Ev Ödevi Ders politikası konuşuldu Dersin içeriği hakkında bilgi verildi Dersin bir mühendis açısından önemi tartışıldı Dersin tanımı ve amacı konuşuldu Temel kavram ve tanımlar açıklandı Hata kavramı tanıtıldı Taylor Serileri ve Taylor serileri kullanılarak hata analizi yapılması tartışıldı. Ev Ödevi: Yapılan Örnekleri Excelde veya bildiğiniz herhangi bir programda yeniden yapınız. • Gelecek hafta, matrisler ve lineer denklem takımlarının çözümünde kullanılan direkt (dolaysız) ve indirekt (dolaylı) yöntemler tartışılacaktır. (Bölüm 2 ve 3). Hazırlıklı geliniz…. • •