MHENDSLKTE SAYISAL YNTEMLER Dr r yesi Nurdan Bilgin

MÜHENDİSLİKTE SAYISAL YÖNTEMLER Dr. Öğr. Üyesi Nurdan Bilgin

Fonksiyon Tipleri •

Köklerin Bulunması Köklerin bulunması iki grup altında sınıflandırılabilir • Fonksiyonu gerçekleyen tek bir gerçek kökü bulmayı hedefleyen çözüm arayışları. Bu çözümler kökün yaklaşık yeri hakkında ön bilgiye dayanarak tek bir reel kökün bulunması esasına dayalıdır. ▫ Kapalı Yöntemler Grafik Yöntemler İkiye Bölme Yöntemi Yer Değiştirme Yöntemi ▫ Açık Yöntemler Sabit Noktalı İterasyon Newton-Raphson Yöntemi Sekant Yöntemi • Fonksiyonun bütün gerçek ve karmaşık köklerini bulmayı hedefleyen çözüm arayışları: Genellikle polinomlar için kullanılır ve polinomun reel ve kompleks tüm köklerin bulunmasını sağlar. ▫ Polinomların köklerinin bulunması ▫ Köklerin bulunmasında, excel ve matlab kütüphanelerinin kullanılması

KAPALI YÖNTEMLER Grafik Yöntemler İkiye Bölme Yöntemi Yer Değiştirme Yöntemi

Grafik Yöntem • m(kütle) g (yer çekimi ivmesi) v (hız) t (zaman) 68, 1 9, 8 40 10 c 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 f(c) 44, 92053 34, 11484 25, 14245 17, 65343 11, 3691 6, 066936 1, 568699 -2, 26876 -5, 56079 -8, 40063

İkiye Bölme Yöntemi (Bisection Method) •

• xa xü 10 20 10 15 12, 5 15 13, 75 15 14, 375 15 14, 688 14, 84375 14, 766 14, 8046875 14, 766 14, 78515625 14, 775 14, 78515625 xr f(xa) f(xü) f(xr) %ey 15 11, 4 -8, 4 -0, 4212, 5 11, 4 -0, 42 4, 87 16, 7 13, 75 4, 87 -0, 42 2, 09 10 14, 375 2, 09 -0, 42 0, 8 4, 55 14, 6875 0, 8 -0, 42 0, 18 2, 17 14, 84375 0, 18 -0, 42 -0, 12 1, 06 14, 765625 0, 18 -0, 12 0, 03 0, 53 14, 8046875 0, 03 -0, 12 -0, 05 0, 26 14, 78515625 0, 03 -0, 05 -0, 01 0, 13 14, 77539063 0, 03 -0, 01 0, 07 14, 78027344 0, 01 -0 0, 03

Yer Değiştirme Yöntemi (False-Position Method) •

Yer değiştirme Yönteminde Kök Formülünün Çıkarımı •

Yer Değiştirme Yöntemi (False-Position Method) •

• xa xü 10 10 f(xa) f(xü) xr f(xr) %ey 20 11, 4 -8, 4 15, 75076263 -1, 82241915, 75076263 11, 4 -1, 82 14, 95629047 -0, 340936 5, 04 14, 95629047 11, 4 -0, 34 14, 81198904 -0, 06189 0, 96 14, 81198904 11, 4 -0, 06 14, 78593595 -0, 011173 0, 18 14, 78593595 11, 4 -0, 01 14, 78123738 -0, 002015 0, 03 14, 78123738 11, 4 -0 14, 78039018 -0, 000363 0, 01 14, 78039018 11, 4 -0 14, 78023743 -6, 55 E-05 0

Örnek Problem 1: • Grafik Yöntem 20 -1 -0. 5 0 0 0. 5 -20 f(x) -40 -60 -80 -100 -120 x 1 1. 5 2

AÇIK YÖNTEMLER Sabit Noktalı İterasyon Newton-Raphson Yöntemi Sekant Yöntemi

AÇIK YÖNTEMLER • Kapalı yöntemler, kök, tahmin edilen alt ve üst değerler arasında bulunduğu için yakınsaktırlar. • Ancak, açık yöntemlerin tek bir başlangıç noktasına veya kökü arasına almak zorunda olmayan iki farklı başlangıç noktasına ihtiyaçları vardır. Bu nedenle, açık yöntemler bazen ıraksayabilir yada doğru kökten uzaklaşır. • Ancak, eğer yakınsarlar ise genellikle kapalı yöntemlere göre çok daha hızlıdırlar.

Basit Sabit Noktalı İterasyon (Simple Fixed-Point Iteration) •

Örnek: • i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 xi 0 1 0, 37 0, 69 0, 5 0, 61 0, 55 0, 58 0, 56 0, 57 xi+1 1 0, 37 0, 69 0, 5 0, 61 0, 55 0, 58 0, 56 0, 57 0, 56 |ey|% 100 171, 83 46, 854 38, 309 17, 447 11, 157 5, 9034 3, 4809 1, 9308 1, 1089

İki Eğrili Grafik Yöntem • x 0 0, 1 0, 2 0, 3 0, 4 0, 5 0, 6 0, 7 0, 8 0, 9 1 f 2 0 0, 1 0, 2 0, 3 0, 4 0, 5 0, 6 0, 7 0, 8 0, 9 1 f 1 1 0, 904837418 0, 818730753 0, 740818221 0, 670320046 0, 60653066 0, 548811636 0, 496585304 0, 449328964 0, 40656966 0, 367879441 İki Eğrili Grafik Yöntem 1. 2 1 0. 8 f 2=x 0. 6 f 1=e^-x 0. 4 0. 2 0 0 0. 1 0. 2 0. 3 0. 4 0. 5 0. 6 0. 7 0. 8 0. 9 1 1. 1

Iraksama • Gerçek Kök: 4, 302775 x x 5 5 5, 6 4, 69041576 6, 872 4, 522397461 10, 0448768 4, 428542346 20, 77990999 4, 375238477 86, 9609318 4, 344674025 Iraksıyor Yakınsıyor xi+1=(x^2+3)/5 xi+1=sqrt(5 x-3) 5, 6 4, 69041576 6, 872 4, 522397461 10, 0448768 4, 428542346 20, 77990999 4, 375238477 86, 9609318 4, 344674025 1513, 040732 4, 327050973

Newton-Raphson Yöntemi •

Örnek • xi 5 4, 4 4, 30526 4, 30278 f'(xi) xi+1 |ey|% 3 5 4, 4 13, 6 0, 36 3, 8 4, 31 2, 2 0, 01 3, 611 4, 3 0, 06 0 3, 606 4, 3 0 f(xi)

Sekant Yöntemi •

Örnek • xi-1 5, 5 5 4, 45 4, 33 4, 3 xi f(xi-1) f(xi) xi+1 |ey|% 5 5, 75 3 4, 4545 12, 2 4, 45455 3 0, 57 4, 3265 2, 96 4, 32653 0, 57 0, 086 4, 3037 0, 53 4, 30373 0, 09 0, 003 4, 3028 0, 02 4, 30278 0 2 E-05 4, 3028 0

Sekant ve Yer Değiştirme Yöntemi Arasındaki Benzerlik ve Farklar Sekant Yer Değiştirme • İki başlangıç değerine ihtiyaç var ancak fonksiyonun işareti farklı olmak zorunda değil • Türevin tanımından yararlanarak geliştirilmiş • Hep bir sonraki değeri bulur. • Bazen ıraksayabilir. • Hızlıdır • İki başlangıç değerine ihtiyaç var; fonksiyon bu değerlerdeki değerinin işareti farklı olmak zorunda • Türevin tanımından yararlanarak geliştirilmiş • Aralığı daraltacak şekilde değer bulur. • Daima yakınsar • Daha yavaştır

Düzeltilmiş Sekant Yöntemi •

Katlı Kökler •

Değiştirilmiş Newton-Raphson Yöntemi •

Örnek • xi 0 0, 4286 0, 6857 0, 8329 0, 9133 0, 9558 0, 9777 0, 9888 0, 9944 0, 9972 0, 9986 0, 9993 f'(xi) xi+1 |ey|% xi f(xi) f''(xi) xi+1 |ey|% -3 7 0, 42857 100 0 -3 7 -10 1, 105 100 -0, 84 3, 27 0, 68571 37, 5 1, 1052632 -0, 02 -0, 39 -3, 37 1, 003 10, 2 -0, 23 1, 55 0, 83287 17, 7 1, 0030817 -0 -0, 01 -3, 98 1 0, 31 -0, 06 0, 75 0, 91333 8, 81 1, 0000024 -0 -0 -4 1 0 -0, 02 0, 37 0, 95578 4, 44 -0 0, 18 0, 97766 2, 24 Katlı kökü bulma açısından Düzeltilmiş -0 0, 09 0, 98877 1, 12 -0 0, 05 0, 99437 0, 56 Newton-Raphson yöntemi daha hızlı. -0 0, 02 0, 99718 0, 28 Katlı olmayan kök açısından durum nedir -0 0, 01 0, 99859 0, 14 acaba? ? ? -0 0, 01 0, 99929 0, 07 -0 0 0, 99965 0, 04 f(xi)

Örneğin Devamı • Katlı olmayan kökü bulma konusunda neredeyse aynılar. Newton-Raphson yöntemi çok küçük bir farkla önde. xi 4 3, 1 3, 0087 3, 00007 f'(xi) xi+1 |ey|% 9 15 3, 4 17, 647 2, 3 7, 68 3, 1 9, 6774 0, 44 4, 83 3, 0087 3, 0347 0, 04 4, 07 3, 0001 0, 2874 0 4, 001 3 0, 0025 f(xi) xi 4 2, 6363636 2, 8202247 2, 9617282 2, 9984787 2, 9999977 f'(xi) f''(xi) xi+1 |ey|% 9 15 14 2, 636 51, 72414 -0, 97 1, 49 5, 82 2, 82 6, 519377 -0, 6 2, 66 6, 92 2, 962 4, 777734 -0, 15 3, 7 7, 77 2, 998 1, 225638 -0, 01 3, 99 7, 99 3 0, 050632 -0 4 8 3 7, 73 E-05 f(xi)

Doğrusal Olmayan Denklem Sistemlerin Çözümü •

Doğrusal Olmayan Denklem Sistemler • xi 1, 5 2, 18 1, 94 2, 02 1, 99 yi 3, 5 2, 86 3, 05 2, 98 3, 01 xi+1 2, 1794 1, 9405 2, 0205 1, 993 2, 0024 yi+1 2, 860506 3, 049551 2, 983405 3, 005704

Doğrusal Olmayan Denklem Sistemler •

POLİNOMLARIN KÖKLERİ Yöntemlerin Tanıtılması Kütüphane ve Paketlerle Köklerin Belirlenmesi (Excel ve Matlab)

Polinomların Kökleri •

Excel- Hedef Ara-Goal Seek

Excel- Çözücü-Solver

Matlab-fzero x 0=[0 1]; x = fzero(inline('x-cos(x)'), x 0)

Matlab-roots •