LOS NMEROS COMPLEJOS 1 LOS NMEROS COMPLEJOS INTRODUCCIN

LOS NÚMEROS COMPLEJOS 1

LOS NÚMEROS COMPLEJOS. INTRODUCCIÓN X 2 = -1 X= -1 = i (número imaginario) -a = i a Resolver: 1. i 2 = 2. i 3 = 3. i 4 = 4. i 5 = 5. i 6 = 6. i 7 = 7. i 8 = 8. i 9 = 9. i 10 = 10. i 11 = 11. (2 i)(3 i) = 12. (-3 i)(4 i) = 13. (5 i)(3 i)(-2 i) = 14. (6 i)(3 i)(2 i)(i) = 15. (-3 i)(-2 i)(4 i)(2) = 16. (2 i)(3/2)(-3 i) + 2 i = 17. (3 i)(-2/5)(5 i)(-2 i) + 3 i = 18. (2/3 i)(3/5 i)(5/2 i) + i = 19. (2 i)(3 i) + (4 i)(-2 i) = 20. (-6 i)(-3 i) – (3 i)(6 i) = 21. (4 i)(-3 i) – (2 i)(5 i) + (3 i)(-5 i) = 2

LOS NÚMEROS COMPLEJOS. INTRODUCCIÓN - Usaremos z para designar a un número complejo. - Los números complejos están compuesto por un número real y un número imaginario a+bi - a y b son números reales Dos números complejos son iguales si lo son cada una de sus partes: a + b i = c + d i a = c y b = d - Dos complejos son conjugados cuando tienen la misma parte real y partes imaginarias opuestas. El conjugado se representa por a+bi - a-bi Dos complejos son opuestos cuando lo son tanto la parte real como la imaginaria. z=a+bi -z = -a - b i 3

LOS NÚMEROS COMPLEJOS. REPRESENTACIÓN GRÁFICA. El punto que representa a un número complejo se llama “afijo”. Si unimos el origen con el afijo, tenemos el vector representante de un número complejo. 4

LOS NÚMEROS COMPLEJOS. Módulo y Argumento Módulo de un número complejo es la longitud del segmento que une el origen y el punto afijo. m = a 2 + b 2 Argumento es el ángulo formado por la dirección positiva del eje horizontal con el segmento. = Tg-1 b/a 5

LOS NÚMEROS COMPLEJOS. Módulo Argumento 6

LOS NÚMEROS COMPLEJOS. Calcula el módulo y el argumento de los siguientes números complejos: 1. z = (-3, -4) 2. z = ( 4, -6) 3. z = 3 – 4 i 4. z = -3 + 8 i 5. z = 7 – 9 i 6. z = -1 + 3 i 7. z = 2 + 4 i 8. z = (-2, 4) 7

LOS NÚMEROS COMPLEJOS. SUMA Ø FÓRMULAS: (a Ø EJEMPLO: / RESTA + b i) + (c + d i)= (a + c) + (b + d) i (a – b i) – (c – d i) = (a – c) – (b – d) i 3 (-2 – 4 i) + 5 (3/2 – i) = -6 -12 i + 15/2 – 5 i =-12/2 – 12 i + 15/2 – 5 i = 3/2 - 17 i 8

LOS NÚMEROS COMPLEJOS. Calcula la suma de los siguientes números complejos: 1. z = (-3, -4) + (3, -4) = 2. z = ( 4, -6) + (-3, -2) = 3. z = (3 – 4 i) – (2 – 5 i) = 4. z = (-3 + 8 i) – (-1 – 2 i) = 5. z = (7 – 9 i) + (4 – i) = 6. z = (-1 + 3 i) – (5 – 4 i) = 7. z = (2 + 4 i) – (3 – 2 i) = 8. z = (-2, 4) + (-6, -2) = 9

LOS NÚMEROS COMPLEJOS. MULTIPLICACION Ø EJEMPLO: / DIVISIÓN 2(1+2 i)·(3 -5 i)= = (2+4 i)·(3 -5 i) = 6 -10 i+12 i-20 i² =6 -10 i+12 i+20 =26+2 i 10

LOS NÚMEROS COMPLEJOS. Ø FORMA ü POLAR Introducción: Z = a + bi es un conjunto representado en forma binómica, y que podemos verlo representado en el plano en el punto (a, b). También podemos verlo asociado a un módulo z y a un ángulo que llamaremos argumento quedando z = r 11

LOS NÚMEROS COMPLEJOS. ü Multiplicación en forma polar Para multiplicar en forma polar, multiplicamos los números y sumamos sus grados. ü EJEMPLO: 12

LOS NÚMEROS COMPLEJOS. ü División en forma polar Dividimos los números y restamos sus grados ü EJEMPLO: 13

LOS NÚMEROS COMPLEJOS. ü Paso de forma polar a binómica Para pasar de forma polar a forma binómica utilizamos la forma trigonométrica z = r · cosx + 2 senx i = r (cox + i senx). ü EJEMPLO: z= z= 2(cos 14°+ i sen 14°) z= 1, 94+0, 48 i 14

LOS NÚMEROS COMPLEJOS. ü Paso de forma binómica a polar: Tenemos z = a + bi y para asarlo a forma polar hacemos su módulo. Luego sacamos su cotg tgx = ü EJEMPLO: x = arctg b/a z=3+4 i r= tgx= x= =53, 13° 15