NMEROS COMPLEJOS U D 2 1 BCT Angel

NÚMEROS COMPLEJOS U. D. 2 * 1º BCT @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 1

OPERACIONES CON Nºs COMPLEJOS U. D. 2. 6 * 1º BCT @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 2

SUMAS Y RESTAS • • • SUMA El resultado de la suma de dos o más nºs complejos es otro nº complejo, cuya parte real es la suma de las partes reales, y cuya parte imaginaria es la suma de las partes imaginarias. Sean los nºs complejos: z 1 = a+bi , z 2 = c+di z 1+z 2 = (a+bi)+(c+di) = (a+c)+(b+d)i Ejemplo: (3 – 2 i)+(2 + 3 i) = (3+2)+(– 2+3)i = 5 + i Ejemplo: (4 – 5 i)+(– 3 + 5 i) = (4+(– 3))+(– 5+5)i = 1 + 0 i = 1 RESTA Idem de la suma, con la salvedad de que ahora no existe la propiedad commutativa; o sea que no es lo mismo z 1 – z 2 que z 2 – z 1. Ejemplo: (3 – 2 i) – (2 + 3 i) = (3 – 2)+(– 2 – 3)i = 1 – 5 i Ejemplo: (2 + 3 i) – (3 – 2 i) = (2 – 3)+(3 – ( – 2))i = – 1 + 5 i @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 3

PRODUCTOS • • • PRODUCTO La unidad de los números imaginarios se ha dicho ya que es i =√-1 Según eso observar la siguiente tabla con atención: i=i i 2 = i. i = √-1 = - 1 i 3 = i. i. i = √-1 i = - 1. i = - i i 4 = i. i = √-1 √-1 = (- 1) = 1 Pues bien: z 1. z 2 = (a+bi). (c+di) = a. c+a. d. i+b. i. c+b. i. d. i = = a. c + b. d. (i. i)+(a. d+bc)i = ( a. c - b. d )+(a. d+bc)i • Ejemplos: • • • (3+4 i). (2+5 i) = 3. 2+3. 5 i+4 i. 2+4 i. 5 i = 6 + 15 i + 8 i +20 i 2 = – 14 + 23 i (– 2+3 i). (1+i) = – 2. 1+(– 2)i+3 i. 1+3 i. i = – 2 i + 3 i 2 = – 5 + i (– 2 i). (– 1 – i ) = (– 2 i). (– 1) + (– 2 i). (– i) = 2 i + 2 i 2 = 2 i – 1 = – 1 + 2 i @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 4

DIVISIÓN • • • Cociente de números complejos: se racionaliza el denominador. Para ello se multiplica numerador y denominador por el complejo conjugado del denominador. Con lo cual se consigue eliminar la parte imaginaria del denominador • • Ejemplo 3 – 2 i (3 – 2 i). (4 – 3 i) 12 – 9 i – 8 i + 6 i 2 6 – 17 i 6 17 ---------- = ------------------ = ---- – ---- i 4 + 3 i (4 + 3 i). (4 – 3 i) 16 – 9 i 2 16 + 9 25 25 • • • – 2 i (– 2 i). (1 + i) – 2 i 2 2 ---------- = ------------- = ---- – ---- i = 1 – i 1–i (1 – i). (1 + i) 1 – i 2 1+1 2 2 @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 5

PROPIEDADES DE LOS CONJUGADOS • • • Primera propiedad El conjugado de un complejo z es el propio z. si z = a + bi se tiene que Conj z = a - bi , de donde, Conj (Conj z ) = a + bi = z • • Segunda propiedad Dados números complejos cualesquiera z y z' , el conjugado de su suma es igual a la suma de sus conjugados. Tomando : z = a + bi y z' = c + di Se obtiene: z + z’ = (a+c)+(b+d)i Conj (z+z’) = (a+c) – (b+d)i (a – bi)+(c – di) = (a+c) – (b+d)i • • • Tercera propiedad El conjugado del producto de dos números complejos es igual al producto de los conjugados de dichos números: Si z = a + bi y z = c + di Se tiene que z · z = (ac - bd ) + (ad + bc)i Cuyo conjugado es (ac - bd) - (ad + bc)i. Calculando por otro lado el producto de los conjugados, resulta que (a - bi )( c - di ) = ( ac - bd ) + ( -ad - bc) i @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 7

PROPIEDADES DE LOS CONJUGADOS • • • Cuarta propiedad Los complejos que coinciden con sus conjugados son los números reales. Sea un complejo a + bi que coincida con su conjugado. Esto equivale a que: a + bi = a - bi Pero esto sólo ocurre si b = 0, es decir si a + bi es un número real. • • Quinta propiedad La suma y el producto de un complejo y su conjugado son, ambos, números reales. (a + bi ) + (a - bi ) = 2 a (a + bi ) (a - bi ) = 2 a - 2(bi) = 2 a + 2 b Ejemplos (3 + 7 i ) + (3 - 7 i ) = (3+3)+(7 – 7)i = 6 + 0 i = 6 (2 + 3 i ) (2 - 3 i ) = 4 – 6 i + 6 i – 9 i 2 = 4 + 9 = 13 (– 1 + i) (– 1 – i) = 1 + i – i 2 = 1 – (– 1) = 1 + 1 = 2 • • • @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 8

POTENCIAS DE COMPLEJOS • BINOMIO DE NEWTON • • m 0 m 1 m-1 2 m-2 2 m m (a+b) = C. a + C. a. b +. . . + C. b m m Las potencias de números complejos se hacen desarrollando la potencia del binomio (Newton) y teniendo en cuenta las potencias de i. • • m 0 m 1 m-1 2 m-2 2 2 m m m (a+bi) = C. a + C. a. b. i +. . . + C. b. i m m @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 9

Ejercicios de POTENCIAS • • 1. - (2 – 3 i)3 = C 3, 0. 23 – C 3, 1. 22. 3 i + C 3, 2. 2. (3 i)2 – C 3, 3. (3 i)3 = = 8 – 3. 4. 3 i + 3. 2. 9 i 2 – 27. i 3 = 8 – 36 i – 54 + 27 i = – 46 – 9 i • • 2. - (1 + 2 i)4 = C 4, 0 + C 4, 1. 2 i + C 4, 2. (2 i)2 + C 4, 3. (2 i)3 + C 4, 4. (2 i)4 = = 1 + 4. 2 i + 6. 4 i 2 + 4. 8 i 3 + 16 i 4 =1+ 8 i – 24 – 32 i + 16 = – 7 – 24 i • • 3. - (– 1 + i)3 = C 3, 0. (-1)3 + C 3, 1. (-1)2. i + C 3, 2. (-1). i 2 + C 3, 3. i 3 = = – 1 + 3. 1. i + 3. (-1). i 2 + i 3 = – 1 + 3 i + 3 – i = 2 + 2 i • • 4. - (1 – i)5 = C 5, 0 – C 5, 1. i + C 5, 2. i 2 – C 5, 3. i 3 + C 5, 4. i 4 – C 5, 5. i 5 = = 1 – 5. i + 10. i 2 – 10. i 3 + 5. i 4 – i 5 = 1 – 5 i – 10 + 10 i + 5 – i = – 4 i • • 5. - (3 – 2 i)7 = C 7, 0 37 – C 7, 1. 36. i + C 7, 2. 35 i 2 – C 7, 3. 34 i 3 + C 7, 4. 33 i 4 – – C 7, 5. 32 i 5 + C 7, 6. 3. i 6 – C 7, 7. i 7 = 2347 – 7. 739. 2. i + 21. 243. 4. i 2 – – 35. 81. 8. i 3 + 35. 27. 16. i 4 – 21. 9. 32. i 5 + 7. 3. 64. i 6 – 128. i 7 = = 2347 – 10346 i – 20412 + 22680 i + 144720 – 6048 i – 1344 + 128 i @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 10

Ejercicios propuestos @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 11