Limite e Continuidade Noo Intuitiva Sucesses numricas 1

Limite e Continuidade

Noção Intuitiva Sucessões numéricas 1, 2, 3, 4, 5, . . 1, 0, -1, -2, -3, . . . Dizemos que: Os termos torna-se cada vez maior sem atingir um limite x + Os números aproximam-se cada vez mais de 1, sem nunca atingir esse valor x 1 Os termos torna-se cada vez menor sem atingir um limite x - Os termos oscilam sem tender a um limite

Limites Intuitivos < < = >

Definição de Limites • Seja f(x) definida em um intervalo aberto em torno de a (um número real), exceto talvez em a. c a d • Dizemos que f(x) tem limite L quando x tende a a e escrevemos

Figures 1: Um intervalo aberto de raio 3 em torno de x 0 = 5 estará dentro do intervalo aberto (2, 10). Figures 1. 13: Um

se para todo > 0, existe um número correspondente > 0 , tal que |x-a|< |f(x)-L|< , para todos os valores de x.

Figura 1. 11: Relação entre e na definição de limite.

Propriedades dos Limites • Se L, M, a, c são números reais e n inteiro e

• Regra da soma(subtração): • Regra do Produto: • Regra da multiplicação por escalar: • Regra do quociente:

• Regra da potencia: • Regra da raíz se é impar.

• Regra do logaritmo: • Regra do seno(o mesmo vale para o cosseno) • Regra da exponencial:

Limites de Funções Polinomiais Teorema 2 – Os Limites de Funções Polinomiais podem ser obtidos por Substituição: Se então

Exemplo – Limite de Uma Função Polinomial

Limites de Funções Racionais Teorema 3 – Os Limites de Funções Racionais podem ser obtidos por Substituição, caso o limite do denominador não seja zero: Se então e são polinômios e ,

Exemplo – Limite de Uma Função Racional

Exemplo 3 – Cancelando um Fator Comum Solução: Não podemos substituir x = 1 porque isso resulta em um denominador zero. Testamos o numerador para ver se este também é zero em x = 1. Também é, portanto apresenta o fator (x – 1) em comum com o denominador. Cancelar o (x – 1) resulta em uma fração mais simples, com os mesmos valores da original para x 1: Se x 1

Usando a fração simplificada, obtemos o limite desses valores quando x 1 por substituição:

Fator comum de h. Cancelar h para h Então, 0.