Les quations du premier degr une inconnue I
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Les équations du premier degré à une inconnue
I Activité 1 Soit x la masse du ballon. Traduisons mathématiquement l’équilibre de cette balance:
Soit x la masse du ballon. Traduisons mathématiquement l’équilibre de cette balance: x + 50 = 100 + 50
Soit x la masse du ballon. Traduisons mathématiquement l’équilibre de cette balance: x + 50 = 100 + 100 + 50
Soit x la masse du ballon. Traduisons mathématiquement l’équilibre de cette balance: x + 50 = 100 + 100 + 50 x + 50 = 350
x + 50 = 350 Nous obtenons une égalité particulière qui comporte des nombres, des opérations et des lettres : c’est une équation
II Activité 2 Pour pouvoir trouver la masse du ballon, nous avons enlevé la masse de 50 g qui était sur le plateau de gauche. Comment peut-on rétablir l’équilibre de la balance? Il faut enlever une masse de 50 g sur le plateau de droite.
Nous obtenons ainsi un nouvel équilibre.
Nous obtenons ainsi un nouvel équilibre. Comparons l’équilibre obtenu et l’équilibre de départ.
x + 50 = 350 x = 300
x + 50 – 50 = 350 – 50 x = 300
x + 50 – 50 = 350 – 50 x = 300 = ON TROUVE LA MEME EQUATION
x + 50 = 350 x = 300
x + 50 = 350 x + 50 = 300 + 50
x + 50 = 350 x + 50 = ON TROUVE LA MEME EQUATION 300 + 50 350
Conclusion: On ne change pas une équation: - en ajoutant ou en retranchant un même nombre aux deux membres de l’égalité; - en multipliant ou en divisant les deux membres de l’égalité par un même nombre non nul.
III METHODE DE RESOLUTION Nous allons résoudre l’équation suivante: 3(x + 6) + x = – 2(4 x + 11)
- Développer, si nécessaire, les produits dans les deux membres. 3(x + 6) + x = - 2(4 x + 11) 3 x + 18 + x = - 8 x - 22
- Développer, si nécessaire, les produits dans les deux membres. - Regrouper les termes inconnus dans un membre et les termes connus dans l’autre: on transpose un terme d’un membre à un autre en changeant son signe. 3(x + 6) + x = - 2(4 x + 11) 3 x + 18 +x = - 8 x - 22 3 x + 18 + x = - 8 x - 22 + 8 x + 3 x + 18 + x = - 22 8 x + 3 x + 18 + x = 8 x + 3 x + x = - 18 - 22
- Développer, si nécessaire, les produits dans les deux membres. - Regrouper les termes inconnus dans un membre et les termes connus dans l’autre: on transpose un terme d’un membre à un autre en changeant son signe. - Réduire les termes semblables afin d’obtenir une équation de la forme ax = b (a et b sont des réels). 3(x + 6) + x = - 2(4 x + 11) 3 x + 18 + x = - 8 x - 22 3 x + 18 +x = - 8 x - 22 + 8 x + 3 x + 18 + x = - 22 8 x + 3 x + 18 + x = 8 x + 3 x + x = - 18 - 22 8 x + 3 x +x -x= 10 x = - 18 - 22 - 40
- Développer, si nécessaire, les produits dans les deux membres. - Regrouper les termes inconnus dans un membre et les termes connus dans l’autre: on transpose un terme d’un membre à un autre en changeant son signe. - Réduire les termes semblables afin d’obtenir une équation de la forme ax = b (a et b sont des réels). - Ecrire la solution: 3(x + 6) + x = - 2(4 x + 11) 3 x + 18 + x = - 8 x - 22 + 8 x + 3 x + 18 + x = - 22 8 x + 3 x + 18 + x = 8 x + 3 x + x = - 18 - 22 8 x + 3 x - xx== - 18 -- 22 + 22 12 x = - 40 x = -40/12
- Développer, si nécessaire, les produits dans les deux membres - Regrouper les termes inconnus dans un membre et les termes connus dans l’autre: on transpose un terme d’un membre à un autre en changeant son signe. - Réduire les termes semblables afin d’obtenir une équation de la forme ax = b (a et b sont des réels). - Ecrire la solution: - Faire une phrase: la solution de l’équation est 3(x + 6) - x = - 2(4 x + 11) 3 x + 18 - x = - 8 x - 22 3 x 3 x + 8 x + 3 x 8 x + 3 x - x = - 8 x - 22 -x= - 22 + 18 - x = - 18 - 22 + + 18 18 10 x = - 18 -- 22 22 - 40 10 x = - 40 -x= x= -4 La solution de l’équation est x = - 4
APPLICATION 1 Nous allons résoudre l’équation trouvée dans l‘activité 1: x + 50 = 350
APPLICATION 1 Nous allons résoudre l’équation trouvée dans l‘activité 1: x + 50 = 350 x = 350 - 50
APPLICATION 1 Nous allons résoudre l’équation trouvée dans l‘activité 1: x + 50 = 350 x = 350 - 50 x = 300
APPLICATION 1 Nous allons résoudre l’équation trouvée dans l‘activité 1: x + 50 = 350 x = 350 - 50 x = 300 La masse du ballon est de 300 g.
APPLICATION 2: Equations avec dénominateurs numériques Méthode: - il faut mettre toute l’équation au même dénominateur 4 2 2 4 - on supprime le dénominateur commun - on applique la méthode de résolution vue précédemment La solution de l’équation est x = 1
APPLICATION 3: Equations produits Méthode: Pour qu’un produit de facteurs soit nul, il faut et il suffit que l’un au moins de ses facteurs soit nul. L’équation: équivaut à L’équation admet deux solutions x = 2 et x = 6
EXERCICE 1 Résoudre l’équation suivante: 2(x - 5) - 4(2 x - 6) = 7 x - 3(x + 8)
EXERCICE 1 Résoudre l’équation suivante: 2(x - 5) - 4(2 x - 6) = 7 x - 3(x + 8) a) Je développe: 2 x - 10 - 8 x + 24 = 7 x - 3 x - 24
EXERCICE 1 Résoudre l’équation suivante: 2(x - 5) - 4(2 x - 6) = 7 x - 3(x + 8) a) Je développe: 2 x - 10 - 8 x + 24 = 7 x - 3 x - 24 b) Je regroupe les termes: 2 x - 8 x - 7 x + 3 x = - 24 + 10 - 24
EXERCICE 1 Résoudre l’équation suivante: 2(x - 5) - 4(2 x - 6) = 7 x - 3(x + 8) a) Je développe: 2 x - 10 - 8 x + 24 = 7 x - 3 x - 24 b) Je regroupe les termes: 2 x - 8 x - 7 x + 3 x = - 24 + 10 - 24 c) Je réduis: 2 x - 8 x - 7 x + 3 x = - 24 + 10 -- 24 - 10 x = - 38
EXERCICE 1 Résoudre l’équation suivante: 2(x - 5) - 4(2 x - 6) = 7 x - 3(x + 8) a) Je développe: 2 x - 10 - 8 x + 24 = 7 x - 3 x - 24 b) Je regroupe les termes: 2 x - 8 x - 7 x + 3 x = - 24 + 10 - 24 c) Je réduis: d) J’écris la solution: - 10 x = - 38
EXERCICE 1 Résoudre l’équation suivante: 2(x - 5) - 4(2 x - 6) = 7 x - 3(x + 8) a) Je développe: 2 x - 10 - 8 x + 24 = 7 x - 3 x - 24 b) Je regroupe les termes: 2 x - 8 x - 7 x + 3 x = - 24 + 10 - 24 c) Je réduis: - 10 x = - 38 d) J’écris la solution: e) Je conclus: La solution de l’équation est x =
EXERCICE 2 Résoudre l’équation suivante: a) Je réduis au même dénominateur: b) Je supprime le dénominateur commun: c) Je développe et je réduis: d) Je conclus: La solution est x = - 15
EXERCICE 3 Résoudre l’équation suivante: L’équation admet deux solutions x = 3 et x = 4
FIN