Lenergia potenziale della forza di gravitazione universale la

L’energia potenziale della forza di gravitazione universale - la velocità di fuga • La forza di gravitazione universale è conservativa • La velocità di fuga dalla terra: • Per la fuga dalla terra, E>=0: G. M. - Informatica B-Automazione 2002/03

Sistemi di particelle • Abbiamo mostrato come è possibile determinare il moto di un punto materiale – Si determinano le forze che agiscono sul punto materiale – Si applica la seconda legge di Newton – Si risolvono le tre equazioni differenziali per trovare il moto dei punti proiezione sugli assi (se le equazioni sono indipendenti) – Altrimenti si risolve il sistema di tre equazioni derivanti alla seconda legge di Newton. – Si determina così la legge oraria. • • Vediamo ora come si può descrivere il moto di sistemi più complessi che non possono essere rappresentati con un punto materiale. Studiamo cioè i Sistemi di punti materiali! Proviamo ad operare come abbiamo imparato a fare. G. M. - Informatica B-Automazione 2002/03

Sistemi di particelle Si può scrivere n volte la seconda legge della dinamica, • una volta per ciascun punto facente parte del sistema • poi si può risolvere il sistema di 3 n equazioni differenziali che viene fuori. Molto difficile!! È possibile, rinunciando ad una descrizione dettagliata del moto delle singole particelle, ottenere almeno una descrizione del moto dell’insieme delle particelle? G. M. - Informatica B-Automazione 2002/03

Il centro di massa di un sistema di punti materiali G. M. - Informatica B-Automazione 2002/03

Il centro di massa del sistema terra-sole • • Il centro di massa si trova sul segmento che congiunge i due punti materiali È più vicino al punto materiale di massa maggiore G. M. - Informatica B-Automazione 2002/03

• Tre masse uguali sono ai vertici di un triangolo equilatero di lato L. Determinare la posizione del centro di massa y 3 Applic azione L 1 2 x Posso determinare prima il centro di massa delle particelle 1 e 2. 1 y 2 x Calcoliamo ora la posizione del CM della particella 3 e di una particella di massa 2 m posta nella posizione del CM delle particelle 1 e 2. Il centro di massa si troverà sulla congiungente: 3 1 CM 12 x G. M. - Informatica B-Automazione 2002/03

Il centro di massa di corpi simmetrici x 1 • x 2 x Centro di massa di una sbarra omogenea Asse di simmetria Centro di massa di una disco omogeneo G. M. - Informatica B-Automazione 2002/03

• L’elemento oscillante di un pendolo è costituito da una sbarretta di massa ms=0. 5 kg e lunga 50 cm a cui è attaccata un disco di massa md=1 kg di 20 cm di diametro. Determinare la posizione del CM. y y • • x Applic azione CM della sbarra (0, 0. 45 m) ms=0. 5 kg CM del Disco (0, 0. 1 m) md=1 kg x G. M. - Informatica B-Automazione 2002/03

• Nella figura si vede una piastra quadrata di lamiera uniforme con lato di 6 m, dalla quale è stato ritagliato un pezzo quadrato di 2 m di lato con centro nel punto x=2 m, y=0 m L’origine delle coordinate coincide con il centro della piastra quadrata. Trovare le coordinate x e y del CM. y • Applic azione Per ragioni di simmetria CM CM 1 • • • CM 2 x CM Intera piastra (0, 0 m) M CM 1 incognito (? , 0) m 1=(36 -4)/36 M=8/9 M CM 2 (2, 0) m 2=1/9 M G. M. - Informatica B-Automazione 2002/03

Il centro di massa di corpi continui y dm r x z G. M. - Informatica B-Automazione 2002/03

• Determinare la posizione del centro di massa di un semidisco omogeneo di massa M e raggio R. per ragioni di simmetria y • y+dy y q x • • Applic azione Dividiamo il semicerchio in strisce molte sottili Sostituiamo ciascuna striscia con il suo centro di massa (0, y) Associamo a ciascun CM parziale la massa dell’intera striscia. G. M. - Informatica B-Automazione 2002/03

La velocità del centro di massa • • • Se i vari punti materiali si muovono Anche il centro di massa si muoverà Calcoliamo la sua velocità G. M. - Informatica B-Automazione 2002/03

L’accelerazione del centro di massa • Possiamo anche calcolarci l’accelerazione del centro di massa G. M. - Informatica B-Automazione 2002/03

• Un’auto di massa 1000 kg è ferma ad un semaforo. Quando viene il verde (t=0 s) parte con una accelerazione costante di 4 m/s 2. Nello stesso istante sopraggiunge con velocità costante di 8 m/s un camion di massa 2000 kg che sorpassa l’auto. A che distanza dal semaforo si troverà il centro di massa del sistema auto camion per t=3. 0 s? Quale sarà la sua velocità? Applic azione t=0 x O t=3 s O x G. M. - Informatica B-Automazione 2002/03

• Un’auto di massa 1000 kg è ferma ad un semaforo. Quando viene il verde (t=0 s) parte con una accelerazione costante di 4 m/s 2. Nello stesso istante sopraggiunge con velocità costante di 8 m/s un camion di massa 2000 kg che sorpassa l’auto. A che distanza dal semaforo si troverà il centro di massa del sistema auto camion per t=3. 0 s? Quale sarà la sua velocità? Applic azione t=0 O x G. M. - Informatica B-Automazione 2002/03

Ricapitoliamo G. M. - Informatica B-Automazione 2002/03

Il teorema del centro di massa dalla definizione di accelerazione del CM • Forze interne – Le forze dovute alle altre particelle che fanno parte del sistema di punti materiali • Forze esterne – Le forze dovute alle altre particelle che non fanno parte del sistema di punti materiali G. M. - Informatica B-Automazione 2002/03

Il teorema del centro di massa Risultante delle forze esterne Risultante delle forze interne • La risultante delle forze interne è nulla – Le forze interne sono a coppia – Ogni coppia ha risultante nulla – La risultante è la somma di tanti termini tutti nulli – Il caso di n=3 G. M. - Informatica B-Automazione 2002/03

Il teorema del centro di massa • L’accelerazione del centro di massa è dovuta alle sole forze esterne. • il centro di massa si muove come un punto materiale, avente una massa pari alla massa totale del sistema, sottoposto all'azione della risultante delle sole forze esterne agenti sul sistema. • I singoli punti possono avere un moto complicato Il moto del centro di massa è influenzato dalle sole forze esterne Il moto del centro di massa rappresenta il moto di insieme del sistema • • • Il moto dell’automobile è determinato dalle forze esterne: la forza peso, la normale esercitata dall’asfalto, la forza di attrito G. M. -passiva Informatica B-Automazione esercitata dall’asfalto, la resistenza offerta dall’aria 2002/03