Korrelcis kapcsolatok elemzse 1 elads Kt vltoz kztti

Korrelációs kapcsolatok elemzése 1. előadás

Két változó közötti kapcsolat q Független: Az X ismérv szerinti hovatartozás ismerete nem ad semmilyen többletinformációt az Y szerinti hovatartozásról. q Sztochasztikus: Az egyik ismérv hatással van a másikra, de nem határozza meg egyértelműen annak értékeit/változatait. q Függvényszerű (determinisztikus): A vizsgált egységek X szerinti hovatartozásának ismeretében egyértelműen megmondható azok Y szerinti hovatartozása is.

A kapcsolat mérőszámai q Két nominális változó közötti kapcsolatot az asszociációs mérőszámokkal jellemezzük. q Ordinális típusú változók összefüggését a rangkorrelációs mutatók mérik. Arány skála típusú változók összefüggését korreláció- és regresszió-analízissel elemezzük. q Intervallum/arány és nominális skálán mért változók közötti összefüggést H; q

Sztochasztikus kapcsolatok fajtái q Asszociáció (mindkét ismérv minőségi/területi ismérv, nominális skálán mérve). q Vegyes (egyik ismérv mennyiségi, másik területi/minőségi, intervallum/arány és nominális skálán mérve. q Korreláció (mindkét ismérv mennyiségi, intervallum/arány skálán mérve). q Rangkorreláció (mindkét változó sorrendi skálán mérhető).

Korrelációs kapcsolat elemzése n Van-e összefüggés az ismérvek között? n Milyen irányú az összefüggés? n Mennyire szoros a kapcsolat? n Az egyik ismérv változása milyen hatással van a másik ismérv változására?

Alapfogalmak I. q. A mennyiségi ismérvek közötti kapcsolatot korrelációnak nevezzük. q. A korrelációszámítás: a mennyiségi ismérvek közötti kapcsolat szorosságának mérése. q. A regressziószámítás: a mennyiségi ismérvek egymásra gyakorolt hatásának számszerűsítésével, e hatások irányának és mértékének megállapításával foglalkozik.

Alapfogalmak II. Ha a korreláció mögött egyirányú okozati összefüggés állapítható meg: q az ok szerepét betöltő ismérvet tényezőváltozónak, eredményváltozónak (X), q az okozat szerepét játszó ismérvet pedig eredményváltozónak (Y) nevezzük.

A korreláció fontosabb típusai

Korreláció hiánya A regresszió-függvény bármely X helyen azonos (közel azonos) értéket vesz fel. A függvény képe vízszintes vonal. ( Y független X-től, X nem befolyásolja Y értékét. )

A korreláció hiánya Y = -7. 4 E -0 2 + R -S q = 3 3. 4 0. 2 0 8 3 4 8 X % 2 1 0 -1 -2 -3 -2 -1 0 1 N i n c s k o r r e lá c i ó 2

Függvényszerű kapcsolat A korreláció hiányának logikai ellentéte a függvényszerű kapcsolat. Egy adott X értékhez csupán egyetlen Y érték tartozhat. Ilyenkor a pontdiagram pontjai a regresszió -vonalhoz illeszkednek, azaz a regresszió-vonal körül nincs szóródás.

Pozitív korreláció Általában a regressziógörbe körül van szóródás. A regressziógörbe alakja a korreláció tartalmát fejezi ki. Ha nagyobb X értékekhez általában nagyobb Y értékek tartoznak, vagyis a tényezőváltozó növelése az eredményváltozó nagyságát növeli.

Pozitív korreláció Y = - 8. 6 E -0 2 + 0. 6 9 0 2 8 6 X 3 R -S q = 6 2. 5 % 2 1 0 -1 -2 -3 -3 -2 -1 0 1 2 P o z i t ív k o r r e l á c i ó 3

Negatív korreláció Az előbbi kapcsolat ellentéte természetesen a negatív korreláció, amelyet a regressziófüggvény ugyancsak szemléletesen jelez.

Negatív korreláció Y 3 = 5. 0 7 E -0 2 R -S q = - 0. 6 4 7 8 7 2 X 7 0. 9 % 2 1 0 -1 -2 -3 -3 -2 -1 0 1 N e g a t ív k o r r e l á c i ó 2 3

Görbevonalú kapcsolat A lineáristól eltérő típust görbevonalú (nemlineáris) kapcsolatnak nevezzük. A nemlineáris kapcsolatok egy részénél továbbra is van értelme pozitív, vagy negatív irányzatról beszélni, feltéve, hogy a görbe monoton növekvő, illetve csökkenő irányzatot mutat az értelmezési tartományon belül. Nem lehet azonban pozitív vagy negatív irányról beszélni, ha a regresszió irányt változtat.

Görbevonalú kapcsolat Y = 1 2. 0 9 5 8 + 6. 0 7 6 8 4 X + R -S q 4 0 = 8 8. 4 1. 1 6 6 8 6 X**2 % 3 0 2 0 1 0 0 -3 -2 -1 N e m 0 1 l i n e á r i s k o r r e lá c i ó 2 3

A kapcsolat szorosságának mérőszámai

A kovariancia Az X és Y mennyiségi változók közötti kapcsolat irányát mutatja meg. A megfelelő átlagtól vett ( ) és ( ) eltéréseken alapszik.

Kovariancia tulajdonságai q. A kovariancia nulla, ha a pozitív és a negatív előjelű eltérésszorzatok összege kiegyenlíti egymást. q Kovariancia előjele a kapcsolat irányát mutatja. q A kovariancia abszolút mértékének nincs határozott felső korlátja. q A kovariancia a két változóban szimmetrikus, X és Y szerepe a formulában felcserélhető.

Egy vállalat dolgozóinak keresete és havi megtakarítása Bér (Ft/fő) Havi megtakarítás (Ft/hó) dx dy dx 2 d y 2 1 120000 13000 -3010 39130000 169000000 9060100 2 90000 10000 -43000 -6010 258430000 1849000000 36120100 3 220000 35000 87000 18990 1652130000 7569000000 360620100 4 150000 18000 17000 1990 33830000 289000000 3960100 5 100000 12000 -33000 -4010 132330000 1089000000 16080100 6 115000 12500 -18000 -3510 63180000 324000000 12320100 7 160000 27000 3990 107730000 729000000 15920100 8 130000 13800 -3000 -2210 6630000 9000000 4884100 9 145000 14000 12000 -2010 -24120000 144000000 4040100 10 100000 11800 -33000 -4210 138930000 1089000000 17724100 Összesen 1330000 160100 0 0 2408200000 13260000000 480729000 Dolgozó

Kovariancia Értelmezés: a dolgozók keresete és a havi megtakarított összege közötti kapcsolat pozitív irányú.

A korrelációs együttható a lineáris korreláció szorosságának legfontosabb mérőszáma. q A kapcsolat hiányát (korrelálatlanság) az r = 0 érték jelzi. q Az r előjele a korreláció irányát mutatja. Tökéletes (függvényszerű) lineáris kapcsolatnak - az iránytól függően - az r = +1, illetve r = -1 értékek felelnek meg. q A szélsőséges helyzetek között az együttható abszolút értéke a kapcsolat szorosságáról tájékoztat. q

Korrelációs együttható

Korrelációs együttható dx dy dx 2 d y 2 Bér (Ft/fő) Havi megtakarítás (Ft/hó) 1330000 160100 0 0 2408200000 13260000000 480729000 Dolgozó Összesen Értelmezés: a dolgozók keresete és a havi megtakarított összege közötti kapcsolat pozitív irányú és erős.

Determinációs együttható q. A determinációs együttható megmutatja, hogy a magyarázóváltozó hány %-ban befolyásolja az eredményváltozó szóródását. q Jele: r 2 q A determinációs együttható jellemzi: q. A regressziós függvény illeszkedését, q A modell magyarázó erejét.

Determinációs együttható Értelmezés: a dolgozók keresete 90, 98%ban befolyásolja a havi megtakarított összeg szóródását.

A rangkorreláció Létezhetnek a statisztikai sokaság egységeinek olyan kvantitatív jellegű tulajdonságai, amelyek számszerűen egyáltalán nem, vagy csak nehezen mérhetők. A mutatószám értéke r-hez hasonlóan természetesen -1 és 1 között helyezkedik el. Ha a kétféle rangsorszám rendre megegyezik, akkor = 1, ha a sorszámok a két ismérv szerint következetesen ellentétesen alakulnak, akkor = -1.

Rangkorreláció Egy régió vállalatainak gazdálkodására vonatkozó adatok Régió 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Árbevétel (MFt) 34 30 25 22 21 10 12 8 31 20 Nyereség (MFt) 16 10, 5 10 12 7 4 2 1 9 11 x 10 8 7 6 5 2 3 1 9 4 y 10 7 6 9 4 3 2 1 5 8 d 0 1 -1 -3 1 -1 1 0 4 -4 d 2 0 1 1 9 1 1 1 0 16 15 Értelmezés: a vállalatok árbevétele és nyeresége között közepesnél szorosabb, pozitív irányú kapcsolat van.

A korrelációs hányados q. A görbevonalú kapcsolatok szorosságának mérőszáma. q A mutatószám kialakításának gondolatmenete: csoportosítjuk a megfigyelt értékeket a tényezőváltozó értékei vagy osztályközei szerint, és kiszámítjuk az eredményváltozó részátlagait az egyes csoportokban.

A korrelációs hányados q q q A korrelációs hányados négyzetét definiáltuk, mivel az csupán a kapcsolat intenzitását jelzi, irányát nem. Megoszlási viszonyszám jellegénél fogva a korrelációs hányados négyzete mindig nulla és egy közé esik. Előjelét nem értelmezzük, megállapodásszerűen pozitív számként kezeljük. A korrelációs hányadost nem szokták százalékos formában kifejezni. Általában y/x x/y tehát nem szimmetrikus az X és Y változókban. X csupán mint csoportképző ismérv szerepel.

Köszönöm a figyelmet