Integral dupla em coordenada polar Atravs de uma

Integral dupla em coordenada polar Através de uma mudança de variáveis x = x(u, v) e y = y(u, v) uma integral dupla sobre uma região D do plano xy pode ser transformada numa integral dupla sobre uma região D ’ do plano uv.

A correspondência entre as regiões D’ e D é BIJETORA, e podemos retornar de D para D’ através da transformação inversa u = u(x, y) (1) e v = v(x, y) (2). Considerando que as funções em (1) e (2) são contínuas, com derivadas parciais contínuas em D ’ e D, respectivamente, temos (3)

Onde é o determinante jacobiano de x e y em relação a u e v, dado por

Mudança de Variáveis em Integrais Duplas

Mudança de Variáveis em Integrais Duplas y r 2 = x 2 + y 2 = arctg y/x y P r cos = x/r sen = y/r retang. polares x polares retang. x = r cos y = r sen x

Mudança de Variáveis em Integrais Duplas A transformação que leva pontos (r, ) do plano r a pontos (x, y) do plano xy é dada por (4) e seu jacobiano é dado por Portanto, a fórmula (3) pode ser expressa por: (5)

Para que (4) seja bijetora, considera-se r para os quais r e satisfazem:

Área A’ do retângulo em D’ Área A do retângulo polar em D

Integrais duplas em coordenadas polares Se R for uma região polar então :

Determinação dos limites de integração de uma integral polar: � � Passo 1: Trace uma reta radial, com início na origem, através da região R. Essa reta cruza a fronteira de R no máximo duas vezes. O ponto de interseção mais interno será r 1 ( ) e o ponto mais externo será r 2 ( ), limitantes inferior e superior, respectivamente (figura a). Passo 2: Faça a reta radial girar no sentido anti-horário em torno da origem. O menor ângulo é e o maior é , limitantes inferior e superior, respectivamente (figura b).