FRAKTLOK Mi a fraktl Olyan ponthalmaz alakzat amelyet
- Slides: 23
FRAKTÁLOK
Mi a fraktál? Olyan ponthalmaz (alakzat), amelyet úgy lehet részekre bontani, hogy minden rész egy kisebb méretű másolata az egésznek (legalábbis megközelítőleg). önmagához hasonló Benoit Mandelbrot adta a fraktál nevet (frangere), jelentése: (szabálytalan) töredék
Önhasonlóság Az alakzat olyan kisebb részekből áll, amely részek hasonlóak az alakzathoz (ezeknél a példáknál ez nem egészen van így )
Konstrukció iterációval
Példák fraktálokra I. Sierpinski-féle háromszög: Koch-féle görbe (hópehely):
Példák fraktálokra II. Mandelbrot halmaz:
Mire alkalmazhatók a fraktálok? Alkalmasak bizonyos objektumok leírására, mint pl. felhők, hegyek, növények, amelyek egyszerű geometriai formáknak nem felelnek meg.
Példák természetes „fraktálokra”
Matematikai definíció Fraktál: olyan halmaz, aminek a fraktál dimenziója nagyobb a toplógiai dimenziójánál.
Topológiai dimenzió Pont – 0, egyenes szakasz – 1, felszín - 2 Egy H halmaz topológiai dimenziója k, ha minden pontjának van olyan tetsz. kicsi környezete, aminek a határa Hban egy k-1 dimenziós halmaz és k a legkisebb ilyen tulajdonságú nemnegatív egész.
Fraktál dimenzió Tegyük fel, hogy a H halmaz N darab hasonló részből áll, amelyek s-szeres (s<1) nagyításai H-nak.
Nem fraktálok Pl. : egyenes szakasz Pl. : négyzet
Fraktál Pl. : Koch-féle görbe N=4, s =3
Mandelbrot-halmaz Azon c komplex számok halmaza, amelyekre a z 0 = 0, zi+1 = zi 2+c iteráció eredménye nem a végtelenbe konvergál. (|c|=<2) majdnem önhasonló, egyszeresen összefüggő
Julia-halmazok Azon z komplex számok halmaza, amelyekre a z 0 = z, zi+1 = zi 2+c iteráció eredménye nem a végtelenbe konvergál (c itt paraméter, azaz minden c-hez tartozik egy Julia-halmaz). c = 0. 75
Julia-halmaz II.
Julia-halmazok Különféle c értékekre.
Fraktál hegyek Osszunk egy háromszöget három rész-háromszögre, mozdítsuk el a középpontokat. Ismételjük meg a folyamatot a rész-háromszögekre, stb. A sík pontjaihoz rendeljünk magassági értékeket annak megfelelően, hogy hány háromszög fedi azokat le / melyik a legkisebb lefedő háromszög.
Fraktál hegyek
Plazma felhők Hasonló a fraktál hegyeknél alkalmazott módszerhez, csak itt négyzeteket osztunk részekre és a végén nem magassági, hanem fényességi értékeket készítünk.
Fraktál növény
Animált fraktál
3 D
