Koordintageometria Vektorok a koordintarendszerben A derkszg koordintarendszerben a

Koordináta-geometria

Vektorok a koordináta-rendszerben § A derékszögű koordináta-rendszerben a P (x; y) pont helyvektora az origóból a pontba mutató vektor. § Ha az i az (1; 0), j pedig a (0; 1) pont helyvektora, akkor a sík bármely a vektora egyértelműen áll elő a= a 1 i + a 2 j alakban (az i és j vektorok lineáris kombinációjaként).

Két pont távolsága. Két vektor hajlásszöge Tétel: § Az A(a 1; a 2) és B (b 1; b 2) pontok távolsága √(b 1 -a 1)² + (b 2 -a 2)². § § Pl. : A(-2; 3) és B(1; 7) AB→= b-a, a = -2 i + 3 j, b = i + 7 j, AB→= (1 -(-2))i + (7 -3)j = 3 i + 4 j. |AB|→√ 3² + 4² = √ 25 = 5 ezért Így AB=

Szakasz osztópontjának koordinátái. A háromszög súlypontjának koordinátái A felezőpont koordinátái a végpontok megfelelő koordinátáinak számtani közepeként adódnak.

Az egyenest meghatározó adatok a koordináta-rendszerben § Egy egyenes irányvektora bármely, az egyenessel párhuzamos, nullvektortól különböző vektor. Jele: v→(v 1; v 2). § A síkban egyenes normálvektora bármely, az egyenesre merőleges, nullvektortól különböző vektor. Jele: n→ (A; B).

§ A síkbeli koordináta-rendszerben egyenes irányszöge az egyenes és az x tengely pozitív félegyenese (pozitív iránya) által bezárt előjeles szög. § Egy egyenes irányszögének tangensét (ha létezik) az egyenes iránytangensének vagy meredekségének nevezzük. m= tgα § Ha az e egyenes két különböző pontja P 1(x 1; y 1) és P 2 (x 2; y 2), ahol x 1≠x 2, iránytangense. akkor az e

§ Ha az e egyenes egy irányvektora v→ (v 1; v 2), egy normálvektora n→(A; B); és v 1≠ 0, illetve B≠ 0, akkor e iránytangense. § Ha az e egyenes iránytangense m, akkor a v→(1; m) egy irányvektora, az n→(m; -1) (vagy n→(-m; 1)) egy normálvektora e-nek. az

Az egyenes egyenlete I. § Egy, a síkbeli derékszögű koordinátarendszerben elhelyezkedő alakzat egyenlete egy olyan kétismeretlenes egyenlet, amelyet az alakzat P(x; y) pontjainak koordinátái kielégítenek, más pontok koordinátái viszont nem elégítenek ki.

§ Az egyenes vektoregyenlete: n→x (r→-r→ 0)=0 § Az egyenes egyenletének normálvektoros alakja: Ax + By = Ax 0 + By 0

Az egyenes egyenlete II. § Ez a v→(v 1; v 2) irányvektorával és P 0(x 0; y 0) pontjával adott egyenes egyenlete, vagy másképpen az egyenes egyenletének irányvektoros alakja: v 2 x - v 1 y = v 2 x 0 - v 1 y 0. § Ez az m iránytangensével és P 0(x 0; y 0) pontjával adott egyenes egyenlete, vagy másképpen az egyenes egyenletének iránytényezős alakja: y – y 0 = m(x-x 0).

§ Adott az e egyenes P 1 (x 1; y 1) és P 2(x 2; y 2) pontja. Az egyenes irányvektora: v→(x 2 - x 1; y 2 - y 1) normálvektora: n→(y 2 - y 1; x 1 - x 2) Ez a P 1(x 1; y 1) és P 2(x 2; y 2) pontokkal adott egyenes egyenlete, vagy másképpen az egyenes egyenletének két pontjával meghatározott alakja: (y 2 -y 1)x (x-x 1) = (x 2 -x 1)x (y-y 1).

§ A síkbeli derékszögű koordináta- rendszerben egyenes egyenlete olyan kétismeretlenes egyenlet, amelyet azoknak és csak azoknak a P(x; y) pontoknak a koordinátái elégítenek ki, amelyek illeszkednek az egyenesre. § A síkbeli derékszögű koordináta-rendszerben az egyenes egyenlete olyan Ax + By + C = 0 alakú kétismeretlenes lineáris egyenlet, amelyben A és B közül legalább az egyik 0 -tól különböző (A² + B² > 0).

Két egyenes metszéspontja, távolsága, hajlásszöge § Két síkbeli metsző egyenes metszéspontjának koordinátái a két egyenes egyenletéből álló egyenletrendszer megoldásai. §

A kör egyenlete § Kaptuk, hogy a P (x; y) pont akkor és csak akkor illeszkedik a K (u; v) középpontú, r sugarú körre (körvolnalra), ha (x - u)² + (y - v)² = r². Ez az összefüggés a K(u; v) középpontú, r sugarú kör egyenlete.

§ A háromszög köré írt kör középpontja az oldalfelező merőlegesek metsztéspontja, ezért a középpontot két oldalfelező merőleges metszéspontjaként kapjuk. A körülírt kör sugara a középpont és valamelyik csúcs távolsága.

§ A síkbeli derékszögű koodináta- rendszerben egy kö egyenlete olyan kétismeretlenes egyenlet, amelyet azoknak és csak azoknak a P(x; y) pontoknak a koordinátái elégítenek ki, amelyek illeszkednek a körre. § Egy kétismeretlenes másodfokú egyenlet akkor és csak akkor egyenlete egy körnek a síkbeli derékszögű koordináta- rendszerben, ha x² + y² + Ax + By + C = 0 alakra hozható, ahol A, B, C olyan valós számok, amelyekre teljesül az A² + B² - 4 C > 0 egyenlőtlenség.

A kör és az egyenes kölcsönös helyzete; két kör közös pontjai § Általánosítás: Az (x - u)² + (y - v)² = r² egyenletű kör és az y = mx + b egyenes közös pontjainak koordinátái az (x - u)² + (y - v)² = r² Egyenletrendszer megoldásai. A második egyenletnek az elsőbe történő helyettesítése (az egyik ismeretlen kiküszöbölése) után kapott egyismeretlenes másodfokú egyenlet diszkriminánsa határozza mg a közös pontok számát:

↓ - Ha s diszkrimináns pozitív, akkor az egyenes két pontban metszi a kört; - Ha a diszkrimináns 0, az egyenes érinti a kört; - Ha a diszkrimináns negatív, akkor az egyenesnek és a körnek sincs közös pontja.