EL RADIAN SISTEMA SEXAGESIMAL Cada una de las

EL RADIAN • • SISTEMA SEXAGESIMAL Cada una de las 360 partes iguales en queda dividida la circunferencia se llama grado sexagesimal. Cada grado se divide en 60 minutos y cada minuto a su vez se divide en 60 segundos. • • EL RADIAN En trigonometría se utiliza como unidad fundamental el Radian, que se define como aquel ángulo cuyos lados comprenden un arco cuya longitud es igual a la del radio. • Para deducir el valor de un radian partiremos de la fórmula para calcular el perímetro de una circunferencia. P = 2. π. r Sabemos que el giro completo de una circunferencia vale 360°: 2. π rad = 360º • • • @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT A Radio =r Arco AB = r B 1

Equivalencias • • Tenemos que π radianes es igual a 180°. Y gracias a estos quebrados podremos obtener las siguientes equivalencias Rad. 0 π/6 π/4 π/3 π/2 2π/3 3π/4 5π/6 Grados 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° Rad. 7π/6 5π/4 4π/3 3π/2 5π/3 7π/4 Grados 210° 225° 240° 270° 300° 315° @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT π 180° 11π/6 2π 330° 360° 2

Trigonometría • Trigonometría • La palabra trigonometría proviene del vocablo griego trígono –triángulo-, y metron –medida-, que se refiere a las medidas de los ángulos de un triangulo. • La trigonometría es la rama de las matemáticas que intenta establecer las relaciones entre los lados y los ángulos de un triangulo, para así poder resolverlos. • Así entonces resolver un triangulo significa encontrar el valor de sus tres lados, y el de sus tres ángulos, para esto nos valdremos del teorema de Pitágoras para encontrar el valor de un lado, si es que ya conocemos dos, y de las funciones trigonométricas para conocer el valor de los ángulos internos si es que ya conocemos mínimo un lado. • Y así posteriormente podremos combinar las funciones trigonométricas con el teorema de Pitágoras para poder resolver problemas de mayor dificultad. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT 3

Teorema de Pitágoras. • En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de cuadrados de los catetos. • a 2 = b 2 + c 2 Los triángulos sagrados de los agrimensores egipcios ya empleaban los triángulos de lados 3, 4 y 5 y de 5, 12 y 13 nudos para hallar ángulos rectos. Tres números enteros que verifiquen el Teorema de Pitágoras se dice que forman una terna pitagórica. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT a c b 4

Reconocimiento de triángulos • • Sea un triángulo de lados a, b y c, donde a es el lado mayor. Si a 2 = b 2 + c 2 El triángulo es RECTÁNGULO. Tiene un ángulo recto (90º) opuesto al lado a. Si a 2 < b 2 + c 2 El triángulo es ACUTÁNGULO. Los tres ángulos son menores de 90º. Si a 2 > b 2 + c 2 El triángulo es OBTUSÁNGULO. Tiene un ángulo obtuso, mayor de 90º, el opuesto al lado a. a c A=90º b @ Angel Prieto Benito a a c A<90º b Matemáticas 1º Bachillerato CT c A>90º b 5

Razones trigonométricas • • Razones Trigonométricas En todo triángulo rectángulo, con independencia de las medidas de sus lados (catetos e hipotenusa) hay unas relaciones entre sus lados que se cumplen siempre, y que sólo dependen del valor de los ángulos agudos del triángulo. B Hipotenusa B c a A=90º A @ Angel Prieto Benito C b Matemáticas 1º Bachillerato CT C 6

Razones en un triángulo • RAZONES DIRECTAS • El seno de un ángulo agudo, C, es la razón entre el cateto opuesto a dicho ángulo, c, y la hipotenusa, a. Se escribe sen C • • • El coseno de un ángulo agudo, C, es la razón entre el cateto adyacente a dicho ángulo, b, y la hipotenusa, a. Se escribe cos C La tangente de un ángulo agudo, C, es la razón entre el cateto opuesto a dicho ángulo, c, y el cateto adyacente, b. Se escribe tg C @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT 7

Razones en un triángulo • RAZONES INVERSAS • Se llaman así porque son inversas de las razones anteriores: • La cosecante de un ángulo agudo, B, es la inversa del seno. Se escribe cosec B = 1 / sen B • • • @ Angel Prieto Benito La secante de un ángulo agudo, B, es la inversa del coseno. Se escribe sec B = 1 / cos B La cotangente de un ángulo agudo, B, es la inversa de la tangente. Se escribe cotg B = 1 / tg B Matemáticas 1º Bachillerato CT 8

Ejemplo • Hallar las razones trigonométricas en el triángulo rectángulo cuyos lados miden: a=5, b=4, c=3 B Hipotenusa B c • sen C=c/a=3/5=0, 6 • cos C=b/a=4/5=0, 8 • tg C=c/b=3/4=0, 75 A=90º A • cosec C=1/sen C=1/0, 6=5/3 • sec C=1/cos C=1/0, 8=1, 25 • cotg C=1/0, 75=4/3 @ Angel Prieto Benito a C b C • IMPORTANTE • Como un cateto siempre es menor que la hipotenusa: • sen α ≤ 1 • cos α ≤ 1 Matemáticas 1º Bachillerato CT 9

Ejemplo • Hallar las razones trigonométricas en el triángulo rectángulo cuyos lados miden: a=5, b=4, c=3 B Hipotenusa B c • sen B=b/a=4/5=0, 8 • cos B=c/a=3/5=0, 6 • tg B=b/c=4/3 A=90º A • cosec B=1/sen B=1/0, 8=1, 25 • sec B=1/cos B=1/0, 6=5/3 • cotg B=1/(4/3)=0, 75 @ Angel Prieto Benito a C b C • IMPORTANTE • Cuando los ángulos son complementarios, B+C=90º: • sen B = cos C • cos B = sen C Matemáticas 1º Bachillerato CT 10

Algunas razones muy utilizadas • RAZONES MUY UTILIZADAS • Conviene saberse de memoria las siguientes razones trigonométricas, al objeto de conseguir rapidez y exactitud: • • • Sen 30º = 1 / 2 Cos 30º = √ 3 / 2 Tg 30º = √ 3 / 3 • • • Sen 45º = √ 2 / 2 Cos 45º = √ 2 / 2 Tg 45º = 1 √ 2 45º 30º √ 3/2 • • • Sen 60º = √ 3 / 2 Cos 60º = 1 / 2 Tg 60º = √ 3 @ Angel Prieto Benito ½ Matemáticas 1º Bachillerato CT 60º ½ 11

Ángulos y Cuadrantes Primer Cuadrante Segundo cuadrante 0º < α < 90º < α < 180º π/2 rad Cuad. II 0 < α < π/2 rad π/2 < α < π rad 180º Tercer Cuadrante Cuarto Cuadrante π rad 180º < α < 270º < α < 360º π/2 < α < 3π/2 rad 3π/2 < α < 2π rad 90º Cuad. I r=1 α 0 rad 0º 360º Cuad. III 270º Cuad. IV 2π rad 3π/2 rad Circunferencia goniométrica es la que tiene por radio la unidad. Es la empleada en trigonometría. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT 12

Líneas trigonométricas • LÍNEAS TRIGONOMÉTRICAS • El seno de un ángulo en el primer cuadrante es AB/r , pero al ser r=1, el valor del seno coincide con la ordenada del punto A, o sea con la línea o segmento AB sen α = AB • • • A Lo mismo pasa con el coseno de un ángulo en el primer cuadrante. cos α = OB r=1 De forma similar ocurre con la tangente de un ángulo del primer cuadrante. tg α = CD α O B C D En la circunferencia goniométrica las razones trigonométricas se transforman en líneas trigonométricas, lo que permite visualizar su valor. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT 13

Valor y signo en 1º Cuadrante • RAZONES EN EL PRIMER CUADRANTE • Se puede ver que al aumentar al ángulo, de 0º a 90º, el valor del seno (en color rojo) aumenta de 0 a 1. Asimismo vemos que siempre queda por encima del eje de abscisas, por lo que su valor es siempre positivo. 0 < sen α < 1 • • 90º β α 0º 180º • • • También se puede ver que al aumentar al ángulo, de 0º a 90º, el valor del coseno (en color verde) disminuye de 1 a 0. Asimismo vemos que siempre queda a la derecha del eje de ordenadas, por lo que su valor es siempre positivo. 1 > cos α > 0 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT 270º 14

Valor y signo en 2º Cuadrante • RAZONES EN EL SEGUNDO CUADRANTE • Se puede ver que al aumentar al ángulo, de 90º a 180º, el valor del seno (en color rojo) disminuye de 1 a 0. Asimismo vemos que siempre queda por encima del eje de abscisas, por lo que su valor es siempre positivo. 1 > sen α > 0 • • α 90º β 0º 180º • • • También se puede ver que al aumentar al ángulo, de 90º a 180º, el valor del coseno (en color verde) disminuye de 0 a – 1. Asimismo vemos que siempre queda a la izquierda del eje de ordenadas, por lo que su valor es siempre negativo. 0 > cos α > – 1 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT 270º 15

Valor y signo en 3º Cuadrante • RAZONES EN EL TERCER CUADRANTE • Se puede ver que al aumentar al ángulo, de 180º a 270º, el valor del seno (en color rojo) disminuye de 0 a – 1. Asimismo vemos que siempre queda por debajo del eje de abscisas, por lo que su valor es siempre negativo. 0 > sen α > – 1 • • • También se puede ver que al aumentar al ángulo, de 180º a 270º, el valor del coseno (en color verde) aumenta de – 1 a 0. Asimismo vemos que siempre queda a la izquierda del eje de ordenadas, por lo que su valor es siempre negativo. – 1 < cos α < 0 @ Angel Prieto Benito 90º 0º 180º α Matemáticas 1º Bachillerato CT β 270º 16

Valor y signo en 4º Cuadrante • RAZONES EN EL CUARTO CUADRANTE • Se puede ver que al aumentar al ángulo, de 270º a 360º, el valor del seno (en color rojo) aumenta de – 1 a 0. Asimismo vemos que siempre queda por debajo del eje de abscisas, por lo que su valor es siempre negativo. – 1 < sen α < 0 • • • 90º También se puede ver que al aumentar al ángulo, de 270º a 360º, el valor del coseno (en color verde) aumenta de 0 a 1. Asimismo vemos que siempre queda a la derecha del eje de ordenadas, por lo que su valor es siempre positivo. 0 < cos α < 1 @ Angel Prieto Benito 0º 180º Matemáticas 1º Bachillerato CT β 270º α 17

Valor y signo en los Vértices • RAZONES EN VÉRTICES • Como vemos los vértices son los límites geométricos del seno y coseno de un ángulo. Por lo tanto: • sen 90º=1 sen 180º=0 • • 0 ≤ |sen α| ≤ 1 0 ≤ |cos α| ≤ 1 • El valor de la tangente, sin embargo, no está limitada, pudiendo tomar valores entre –oo y +oo, dependiendo del cuadrante del ángulo. @ Angel Prieto Benito cos 90º=0 α cos 180º= -1 sen 0º=0 cos 0º=1 sen 270º= -1 Matemáticas 1º Bachillerato CT cos 270º= 0 18