Egyenletrendszer megoldsa helyettestsi mdszerrel 3 rsz az yt

Egyenletrendszer megoldása helyettesítési módszerrel 3. rész (az y-t fejezzük ki abból az egyenletből; melyben az y együtthatója 1) Metoda supstitucije 3. dio (izražavamo y iz bilo koje jednadžbe; barem jedan koeficijent jednak 1)

Készült Antonija Horvatek engedélyével, a Power Point prezentációja alapján. Matematika na dlanu http: //www. antonijahorvatek. from. hr/ Magyarra fordította és szerkesztette: Mezei-Belovai Irén Nagybecskerek, 2017. 03. 19. Közzétéve: 2020 márciusában Rađeno uz dozvolu i prema Power Point prezentaciji Antonije Horvatek Matematika na dlanu http: //www. antonijahorvatek. from. hr/ Prevela na mađarski i uredila: Irena Mezei-Belovai U Zrenjaninu, 19. 03. 2017. Objavljeno: ožujak 2020.

1. példa: a) -4 x + y = -10 3 x - 2 y = 0 y = -10 + 4 x Miben különbözik ez az egyenletrendszer az eddigiektől? Az eddigi rendszerekben legalább az egyik egyenletben az x együtthatója 1 volt, most pedig nem. Így nem olyan egyszerű kifejezni az x-et az y segítségével. Hogyan oldanád meg a feladatot? Vegyük észre, hogy az első egyenletben az y együtthatója 1. Ezért most az első egyenletből kifejezzük az y–t az x segítségével.

1. példa: a) ? -4 x + y = -10 3 x - 2 y = 0 3 x - 2 · (-10 + 4 x) = 0 y = -10 + 4 x

1. példa: a) -4 x + y = -10 3 x - 2 y = 0 3 x - 2 · (-10 + 4 x) = 0 3 x + 20 - 8 x = 0 y = -10 + 4 x

1. példa: a) -4 x + y = -10 3 x - 2 y = 0 y = -10 + 4 x 3 x - 2 · (-10 + 4 x) = 0 y = -10 + 16 3 x + 20 - 8 x = 0 y= 6 y = -10 + 4 · 4 3 x - 8 x = 0 - 20 - 5 x = - 20 : (-5) Megoldás: ( 4, 6 ) x = 4 A megoldást önállóan ellenőrizd.

1. példa: b) -7 x - y = 16 -5 x + y = -4 + 5 x

1. példa: b) -7 x - y = 16 -5 x + y = -4 + 5 x -7 x - (-4 + 5 x) = 16 -7 x + 4 - 5 x = 16 -7 x - 5 x = 16 - 4 - 12 x = 12 x = -1 : (-12)

1. példa: b) -7 x - y = 16 -5 x + y = -4 + 5 x -7 x - (-4 + 5 x) = 16 y = -4 + 5 · (-1) -7 x + 4 - 5 x = 16 y = -4 - 5 y = -9 -7 x - 5 x = 16 - 4 - 12 x = 12 x = -1 : (-12) Megoldás: ( -1, -9 ) A megoldást önállóan ellenőrizd.

2. példa: a) Önállóan oldd meg a feladatot, utána megnézheted a megoldás menetét. -3 x - 2 y = -13 3 x + y = 2 - 3 x - 2 · (2 - 3 x) = -13 y = 2 - 3 · (-3) -3 x - 4 + 6 x = -13 y=2+9 y = 11 -3 x + 6 x = -13 + 4 3 x = -9 x = -3 : 3 Megoldás: ( -3, 11 )

2. példa: b) Önállóan oldd meg a feladatot, utána megnézheted a megoldás menetét. y= 2 y = 3 2 x + 2 y = 2 2 3 2 x + 2 · 2 = 2 3 Megoldás: 2 x + 4 = 2 · 3 3 6 x + 4 = 6 6 x = 6 - 4 6 x = 2 6 x= 1 3 : 6 1 3 ( 1 , 2 3 3 )

2. példa: b) Önállóan oldd meg a feladatot, utána megnézheted a megoldás menetét. y= 2 2 3 y = 3 2 x + 2 y = 2 2 x + 2 · 2 = 2 3 Megoldás: 2 x + 4 = 2 · 3 3 2· 1 +2· 2 6 x = 6 - 4 x = 2 6 x= 1 3 : 6 1 3 ) Ellenőrzés: 6 x + 4 = 6 6 x = 2 ( 1 , 2 3 3 = = 2 + 4 = 3 3 = 6 = 2 3 Mindkét esetben igaz egyenlőségeket kaptunk. Tehát ennek az egyenletrendszernek a megoldása a (1/3, 2/3) rendezett pár.

3. példa: Melyik ismeretlent fejezzük ki az első egyenletből? Az x-et, vagy az y-t? x+y=0 -3 x + 2 y = 35 Mindegy. Mindkét esetben ugyan arra a megoldásra jutunk. Bizonyosodj be erről, oldd meg mind a kétféle képpen.

3. példa: Melyik ismeretlent fejezzük ki az első egyenletből? Az x-et, vagy az y-t? x+y=0 -3 x + 2 y = 35 x = -y x = -7 -3 · (-y) + 2 y = 35 3 y + 2 y = 35 5 y = 35 y = 7 : 5 Megoldás: ( -7, 7 ) Minkét esetben ugyan azt a megoldást kaptuk. Fejezzük ki most előbb az y-t x+y=0 -3 x + 2 y = 35 -3 x + 2 · (-x) = 35 -3 x - 2 x = 35 -5 x = 35 x = -7 Fejezzük ki az x -et y = -x y = - (-7) y=7 : (-5) Megoldás: ( -7, 7 )

Oldd meg az egyenletrendszereket helyettesítési módszerrel! 1. ) a) -7 x - 20 y = 7 -5 x + y = 5 b) 4 x - 9 y = 30 x + 2 y = -1 c) x + y = - 5 -x - y = 5 d) 2 x + 3 y = 8 -x + y = -9 e) -2 x + 3 y = 24 3 x + y = 19 f) -x + 12 y = -37 x + 2 y = -5 g) 2 x - 3 y = 100 -4 x + y = -20 Megoldások: l l l h) x - 5 y = 16 -x + 2 y = -4 l i) 2 x + y = 15 -3 x -2 y = -25 l j) -x + 3 y = 2 -x + y = 2 l l l a) (-1, 0) b) (3, -2) c) azonosság d) (7, -2) e) (3, 10) f) (1, -3) g) (-4, -36) h) (-4, -4) i) (5, 5) j) (-2, 0)

Oldd meg az egyenletrendszereket helyettesítési módszerrel! 2. ) a) x + 5 y = 8 2 x - 4 y = -5 b) 2 x + y = 1 -x + 2 y = 3 4 c) 1 1 1 x+ y= 3 4 3 1 xy = -4 2 d) -6 x + 3 y = 0 1 -x + y = 4 e) 2 =0 5 4 x + 5 y = 3 y- f) -2 x + 3 y = 0 1 x-y= 6 g) x + y = 3 4 3 x + 4 y = 5 2 h) 4 x - 2 y = 3 -x + y = 0 i) 1 x+y=0 2 4 x + 12 y = -1 Megoldások: l l l l l a) b) c) d) e) f) g) h) i) (1/2, 3/2) (1/4, 1/2) (-2, 4) (1/4, 1/2) (1/4, 2/5) (1/2, 1/3) (1/2, 1/4) (3/2, 3/2) (1/2, -1/4)

Köszönöm az együttműködéseteket!

Tilos ezen oktatási anyag átdolgozása, amennyiben nyilvános előadáson, vagy más formában jelenítik meg. Iskolai foglalkozás keretében tetszőleges módosításokat bátran végezhetnek rajta. Antonija Horvatek Horvátország Matematika na dlanu http: //www. antonija-horvatek. from. hr/