Disampaikan Oleh Malalina Trilius Septaliana KR POSET Partially

Disampaikan Oleh : Malalina Trilius Septaliana KR POSET ( Partially Ordered Set ) Himpunan Terurut Parsial

DEFINISI Suatu relasi biner dinamakan sebagai suatu relasi pengurutan tak lengkap atau relasi pengurutan parsial / POSET (partial ordering relation) jika ia bersifat refleksif, antisimmetris, dan transitif.

REFLEKSIF Relasi R pada himpunan A disebut refleksif jika (a, a) R untuk setiap a A. Relasi R pada himpunan A tidak refleksif jika ada a A sedemikian sehingga (a, a) R.

CONTOH REFLEKSIF Diketahui A = {-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5} Suatu relasi R didefinisikan sebagai berikut : Periksa apakah R refleksif atau tidak. Penyelesaian Ambil x = 0. Karena 0. 0 = 0, maka Dengan demikian ada Ini berarti bahwa R tidak refleksif. sedemikian hingga

CONTOH REFLEKSIF Misalkan A = {1, 2, 3, 4}, dan relasi R di bawah ini didefinisikan pada himpunan A, maka a. Relasi R = {(1, 1), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 2), (4, 3), (4, 4) } b. Relasi R = {(1, 1), (2, 2), (2, 3), (4, 2), (4, 3), (4, 4) } Apakah relasi ini refleksif ?

CONTOH REFLEKSIF Penyelesaian : a. Relasi bersifat refleksif karena terdapat elemen relasi yang berbentuk (a, a), yaitu (1, 1), (2, 2), (3, 3), dan (4, 4). b. Relasi tidak bersifat refleksif karena (3, 3) R.

CONTOH REFLEKSIF Tiga buah relasi di bawah ini menyatakan relasi pada himpunan bilangan bulat positif N. R : lebih besar dari y S: x+y=5 T : 3 x + y = 10 Penyelesaian : Tidak satupun dari ketiga relasi di atas yang refleksif karena, misalkan (2, 2) bukan anggota R, S, maupun T.

SIMMETRIS DAN ANTISIMMETRIS • Relasi R pada himpunan A disebut SIMETRIS jika (a, b) R, maka (b, a) R untuk a, b A. • Relasi R pada himpunan A TIDAK SIMETRIS jika (a, b) R sedemikian sehingga (b, a) R. • Relasi R pada himpunan A sedemikian sehingga (a, b) R dan (b, a) R hanya jika a = b untuk a, b A disebut ANTISIMMETRIS • Relasi R pada himpunan A TIDAK ANTISIMMETRIS jika ada elemen berbeda a dan b sedemikian sehingga (a, b) R dan (b, a) R.

CONTOH SIMETRISS DAN ANTISIMMETRIS Misalkan A = {1, 2, 3, 4}, dan relasi R di bawah ini didefinisikan pada himpunan A, maka a. Relasi R = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (2, 4), (4, 2), (4, 4) } b. Relasi R = {(1, 1), (2, 3), (2, 4), (4, 2) } c. Relasi R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)} d. Relasi R = {(1, 1), (2, 4), (3, 3), (4, 2)} e. Relasi R = {(1, 2), (2, 3), (1, 3) } f. Relasi R = {(1, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 2), (4, 4)}

CONTOH SIMETRISS DAN ANTISIMMETRIS Penyelesaian : a. Relasi R = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (2, 4), (4, 2), (4, 4) } bersifat simetris karena jika (a, b) R maka (b, a) juga R. Di sini (1, 2) dan (2, 1) R, begitu juga (2, 4) dan (4, 2) R. b. Relasi R = {(1, 1), (2, 3), (2, 4), (4, 2) } tidak simetris karena (2, 3) R, tetapi (3, 2) R.

CONTOH SIMETRISS DAN ANTISIMMETRIS c. Relasi R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3) } antisimetris karena 1 = 1 dan (1, 1) R, 2 = 2 dan (2, 2) R, dan 3 = 3 dan (3, 3) R. Perhatikan bahwa R juga simetris. d. Relasi R = {(1, 1), (2, 4), (3, 3), (4, 2) } tidak antisimetris, karena 2 4 tetapi (2, 4) dan (4, 2) anggota R.

CONTOH SIMETRISS DAN ANTISIMMETRIS e. Relasi R = {(1, 2), (2, 3), (1, 3) } tidak simetris dan tidak antisimetris, f. Relasi R = {(1, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 2), (4, 4)} tidak simetris dan tidak antisimetris. R tidak simetris karena (4, 2) R tetapi (2, 4) R. R tidak antisimetris karena (2, 3) R dan (3, 2) R tetap 2 3.

CONTOH SIMETRISS DAN ANTISIMMETRIS Tiga buah relasi di bawah ini menyatakan relasi pada himpunan bilangan bulat positif N. R : x lebih besar dari y, S : x + y = 6, T : 3 x + y = 10 Apakah simmetris atau antisimmetris

CONTOH SIMETRISS DAN ANTISIMMETRIS Penyelesaian :

TRANSITIF Relasi R pada himpunan A disebut TRANSITIF jika (a, b) R dan (b, c) R, maka (a, c) R, untuk a, b, c A.

CONTOH TRANSITIF Diketahui A = {– 1, 0, 1} Relasi R didefinisikan sebagai berikut R = {(x, y); x, y A, x ≤ y} Periksa apakah R transitif atau tidak. Penyelesaian A x A = {(– 1, – 1), (– 1, 0), (– 1, 1), (0, – 1), (0, 0), (0, 1), (1, – 1), (1, 0), (1, 1)} Karena R = {(x, y); x, y A, x ≤ y}dan R merupakan himpunan bagian dari A x A, maka R dapat dinyatakan sebagai berikut R = {(– 1, – 1), (– 1, 0), (– 1, 1), (0, 0), (0, 1), (1, – 1)} Dari sini jelas terlihat bahwa untuk setiap x, y , z A dengan x. Ry dan y. Rz, maka x. Rz. Dengan demikian R adalah relasi yang transitif.

CONTOH TRANSITIF Misalkan A = {1, 2, 3, 4}, dan relasi R di bawah ini didefinisikan pada himpunan A, maka a. R = {(2, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 3) } b. R = {(1, 1), (2, 3), (2, 4), (4, 2) } c. R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4) Apakah R bersifat transitif ?

CONTOH TRANSITIF Penyelesaian : a. bersifat transitif. Lihat tabel berikut:

CONTOH TRANSITIF b. R = {(1, 1), (2, 3), (2, 4), (4, 2) } tidak transitif karena (2, 4) dan (4, 2) R, tetapi (2, 2) R, begitu juga (4, 2) dan (2, 3) R, tetapi (4, 3) R. c. Relasi R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4) } jelas transitif

CONTOH TRANSITIF Dua buah relasi di bawah ini menyatakan relasi pada himpunan bilangan bulat positif N. R : x lebih besar dari y, S : x + y = 6,

CONTOH TRANSITIF Penyelesaian : - R adalah relasi transitif karena jika x > y dan y > z maka x > z. - S tidak transitif, karena misalkan (4, 2) dan (2, 4) adalah anggota S tetapi (4, 4) S.

DEFINISI Misalkan (P, ≤) sebuah poset. Jika untuk setiap x, y P, berlaku x ≤ y atau y ≤ x, maka (P, ≤) disebut rantai

CONTOH SOAL Misalkan Z adalah himpunan semua bilangan bulat positif. Relasi ≤ (kurang dari atau sama dengan) adalah sebuah relasi pada Z. periksa apakah himpunan Z dengan relasi atau dinotasikan (Z, ≤) merupakan poset atau bukan?

PENYELESAIAN 1. Karena untuk setiap x Z berlaku x ≤ x, maka sifat refleksif terpenuhi. 2. Karena untuk setiap x, y Z dengan x ≤ y dan y ≤ x, berarti bahwa x = y, maka sifat antisimetris terpenuhi. 3. Karena untuk setiap a, b, c Z, dengan a ≤ b, b ≤ c, berlaku a ≤ c, maka sifat transitif terpenuhi. Dengan demikian, karena ketiga sifat terpenuhi, maka (Z, ≤) adalah sebuah poset.

LATIHAN 1. A = {a, b, c, d} dan relasi R didefinisikan pada A sebagai R = {(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (a, b), (a, c), (a, d), (b, c) }. Apakah R sebuah poset? 2. Misalakan R adalah himpunan semua bilangan real. Periksalah apakah (R, ≤) sebuah poset ?