Crescimento Exponencial Crescimento Logstico Ajuste de funes Testinho

Crescimento Exponencial Crescimento Logístico Ajuste de funções Testinho para casa.

Crescimento Mathusiano de População Equação diferencial* Solução analítica: A velocidade de crescimento Da população P é proporcional a população Crescimento exponencial da população Po é a população incial em t = 0 ou seja, P(0). Alfa é a taxa de crescimento em % por unidade de tempo É a mesma coisa de taxa de (natalidade – mortalidade) (muitas vezes também se usa a letra r em vez de alfa) Se alfa for negativo, quanto mais a população é pequena menor d. P/dt (menos pessoas morrem por unidade de tempo) Se alfa for positivo, quanto maior a população, maior a quantidade de pessoas aumentando no tempo. *Equação diferencial que envolve diferencias e cuja solução é uma equação que não envolve diferenciais. Exemplo simples: dy/dx = 1. Resposta: y = x + C, onde C é uma constante.

Função Exponencial Crescimento Exponencial Populacao em função do tempo Populacao (Mesmo gráfico, agora na escala mono. Log) 30000 25000 100000 20000 15000 10000 100 5000 0 10 0 200 400 600 800 tempo 1000 1200 1 0 200 400 600 tempo Alfa = 0, 01 = 1% é a taxa de crescimento por unidade de tempo 800 1000 1200

Função Exponencial Decaimento Exponencial populacao 250000 1000000 200000 10000 150000 100000 100 50000 10 0 0 200 400 600 tempo 800 1000 1200 1 0 200 400 600 800 1000 tempo Alfa = -0, 01 = -1% é a taxa de decaimento ou diminuição por unidade de tempo 1200

Saturação da Taxa de Crescimento: sistema com capacidade limitada • A expressão que dá um crescimento exponencial (Malthusiano) é • O crescimento exponencial não tem limite superior para a população. Se existir uma capacidade máxima K*, quando a população for igual a K a taxa de crescimento vai para zero. Matematicamente fica assim: Onde *K pode ser, por exemplo, o número máximo de indivíduos que um ecossistema pode suportar.

Função Logística: quando existe uma capacidade máxima para a população A população não pode ser maior do que K por limitações físicas do sistema Equação diferencial: Solução analítica da função logística: r é a taxa de crescimento em % no início do processo. Onde fica o ponto onde o crescimento da população começa a desacelerar? (usar a eq. Diferencial para facilitar O cálculo). Ou olhar no gráfico. Como fica a função quando K >> Po (K >> 1) ? (capacidade muito grande, indo para infinito)?

Exemplos de saturação de crescimento que inicialmente foi exponencial Crescimento do turismo internacional em bilhões US$ (corrigidos para valores de 2005) http: //stats. areppim. com/stats_itr. htm

Modelo teórico pode fazer predições a partir de dados experimentais • Obter a maior quantidade de dados experimentais possível. • Fazer ajuste da curva para obter os parâmetros do modelo. No caso da função logística, encontrar os parâmetros K e Po que façam a curva teórica passar o mais próximo possível do todos os pontos experimentais. • Obtidos os valores dos parâmetros do sistema, você pode usar a equação teórica para fazer inferências sobre o passado e sobre o futuro.

Valores encontrados para K e r usando um script no MATLAB para a população do Brasil Conforme os dados iniciais x 0 e y abaixo. BRASIL: x 0=[ 1940 1950 1960 1970 1980 1991 2000 2015]; y=[ 41 51 70 94 121 146 169 191 204];

Ajuste de Funções em pontos experimentais SQtot é proporcional à variância

Dados Experimentais Ver excel sobre regressão. Dados Experimentais com curva De modelo teórico ajustada para fazer Extrapolacoes e inferências

Valores encontrados para K e alfa usando um script no MATLAB para a população da Cidade de São Paulo Conforme os dados iniciais x 0 e y abaixo. Cidade de SÃO PAULO: x 0 = [1872 1890 1900 1920 1940 1950 1960 1970 1980 1991 2000 2007 2011 2015]; y = [31 65 239 579 1326 2199 3781 5924 8493 9646 10434 10896 11316 11967]

Importância de ter muitos graus de liberdade y = ax + b Acima temos 10 pontos experimentais, com dois parâmetros de ajuste no modelo: parâmetros a e b Para cada parâmetro de ajuste da função perdemos 1 grau de liberdade. Assim na reta ajustada à esquerda temos 8 graus de liberdade y = ax + b As retas azuis acima estão sendo ajustadas usando apenas 2 pontos experimentais. Dois pontos experimentais menos dois paramentros de ajuste, quer dizer zero graus de liberdade. O ajuste nao apresenta nenhum grau de confiança. Note que as vezes ele indica a tendência de queda com aumento de x, quando na verdade a tendência dos dados é de subida. A reta vermelha cobre três pontos experimentais, portanto fica com apenas 1 grau de liberdade. Pouco confiável.

Usar um modelo “as simple as possible but not simpler” (nas palavras de A. Einstein). Ajuste de uma reta (2 parâmetros ajustados) 10 – 2 = 8 graus de liberdade Melhor ajuste de um polinômio de grau 5 (6 parâmetros) 10 – 6 = 4 graus de liberdade Note que o R 2 aqui é bem melhor que no caso da reta.

Princípio da navalha de Occam: Um modelo experimental com o pequeno número de variáveis que explique o fenômeno é normalmente mais estável e confiável que um modelo mais complexo para o mesmo fim*. Os modelos abaixo foram construídos usando pontos experimentais entre 1 e 10. Estamos utilizando os respectivos modelos para extrapolar e inferir sobre o comportamento do sistema entre 0 e 1 e também entre 10 e 11. Vejamos os resultados. Ajuste adequado Overfitting: excesso de parâmetros *Explicações e teorias muito mais complicadas que o necessário muito frequentemente estão erradas ou são “teorias de conspiracao”.

Tarefa: Ajuste de Função Logística – Para nota do testinho Vamos utilizar a função logística para prever a população em anos futuros a partir do conhecimento da série histórica das populações. Usar dados da wikipedia. y = K/(1 - (1 -K/Po)*exp(r*(t-to) )) Escolher 2 cidades ou países e determinar: a) Usar modelo logístico para prever a população para 2050. Usar a incerteza para escrever a previsão da população com um número compatível de algarismos significativos b) Determinar a capacidade prevista K para os dois locais estudados c) Determinar o ano em que o aumento da população é máximo d) Discutir para cada uma das duas cidades e/ou países a adequação do modelo utilizado e se o local está ainda no início do crescimento (parte exponencial do crescimento) onde a fica difícil prever K de forma adequada. Para permitir escrever o eixo do tempo (anos) com ano inicial diferente de zero, por exemplo 1880, vamos escrever a formula já subtraindo o ano inicial, por exemplo to = 1880. Esse ano inicial é aquele que usamos para a população inicial Po Adaptar o arquivo Exemplo-Ajuste. Nao. Linear-Rodrigo. xls para fazer esse ajuste. Um passo-a-passo está no artigo “Regression. Using. Excel. pdf” de Angus Brown (no stoa)

Objetivos Específicos da tarefa Fazer tarefa em Grupos de 1 a 4 alunos. Submeter o trabalho exclusivamente através do STOA Enviar planilha do excel com cálculos e arquivo com respostas e discussão em pdf criado no word ou outro editor de textos , Alem dos resultados o email deve explicitar os membros do grupo quem fez o que entre os membros do grupo. Cada aluno do grupo (caso seja feito em grupo) deve submeter no STOA a sua cópia do trabalho ou ficará sem nota.