Cours de Mcanique des fluides Pertes et gains

Cours de Mécanique des fluides Pertes et gains de charge Olivier LOUISNARD

Objectifs • Comprendre l'origine et quantifier les pertes d’énergie dans un écoulement en tuyauterie • Quantifier les échanges entre le fluide et des machines tournantes réceptrices (turbines, éoliennes) génératrices (pompes) On va démontrer et utiliser un outil simple : Formule de Bernoulli généralisée

Plan du cours Rappel de la conservation de l’énergie pour un fluide => premier principe en système ouvert Théorème de l’énergie cinétique pour un fluide. Application à une tuyauterie en présence d’une machine Cas du fluide incompressible : formule de Bernoulli généralisée Application : pertes de charge Régulières (le long d’un tube) Singulière (dans un accident géométrique) Gain de charge Pompe

Rappel: conservation de l’énergie w S Variation d’énergie totale du fluide dans le volume V v Energie totale transportée par le fluide n rentrante - sortante V w d. S n + Puissance du poids Puissance des forces de pression Puissance des frottements visqueux Dans le cas où S surface mobile avec une vitesse w => change v en v - w dans le terme convectif Remarque : Valable sans hypothèse sur le fluide v

Application: tuyauterie + machine + v n Se V Su Rappel : Ss n v K énergie cinétique fluide dans V U énergie interne fluide dans V puissance Fpression hélice/ fluide (admis, cf. cours 7) puissance Fvisqueux hélice/ fluide (démontré dans le poly)

Premier principe en système ouvert v n On obtient : V Su Se Soit en utilisant la définition de l’enthalpie massique : C’est le premier principe de la thermo en système ouvert ! • Il fait intervenir la puissance des forces extérieures (Se + Ss + Su) • Enthalpie, car on a séparé les puissances de forces de pression sur Se et Ss de la puissance des forces sur Su • Il ne dit rien sur les pertes par frottement au coeur du fluide (= puissances de forces intérieures) Ss n v puissance totale hélice/ fluide

Théorème de l’énergie cinétique Rappel pour un système fermé : Le premier principe dit que : Le théorème de l’En. Cin. dit que : Variation d’énergie cinétique du fluide dans le volume V Energie cinétique transportée par le fluide rentrante - sortante Puissance du poids Lié à la compressibilité > 0 si détente < 0 si compression nul en incompressible Puissance des forces Puissance des frottements visqueux externes de pression externes Puissance des forces de pression internes Puissance des frottements visqueux internes Fonction de dissipation Fv toujours > 0

Thme énergie cinétique : tuyauterie + machine v n V Su Ss n Se Variation énergie cinétique + potentielle de pesanteur Débit d’énergie mécanique entrant v Débit d’énergie mécanique sortant Opposé de l’énergie potentielle de compression Puissance fournie (>0) ou cédée (<0) par la machine Puissance perdue par frottement visqueux > 0

Formule de Bernoulli généralisée On suppose de plus : • fluide incompressible : • on moyenne sur un cycle de la machine => régime périodique = « pseudo-permanent » Charge à la sortie Charge à l’entrée Puissance perdue Puissance par frottement prélévée (< 0) visqueux (> 0) ou cédée (> 0) par la machine => Perte de charge Remarque : c’est une généralisation de la formule de Bernoulli Charge = Energie mécanique par unité de volume (homogène à une pression)

Formule de Bernoulli généralisée Charge à la sortie Ps Charge à l’entrée Pe > 0 < 0 > 0 Vaut 0 si fluide parfait sans machine. . . Bernoulli ! En divisant par rg, on peut reformuler avec la "hauteur de charge" Hauteur de charge à la sortie Hs Hauteur de charge à l’entrée He > 0 < 0 > 0 On exprime tout en termes de hauteurs. C’est un artifice. L’écoulement peut très bien être purement horizontal

Pertes de charge linéiques Dites aussi « régulières » ou « en ligne » Décrivent la perte d’énergie le long d’un tuyau pe ps D L En fluide parfait, Bernoulli prédirait : En fluide réel, Bernoulli généralisé : La pression diminue le long de l’écoulement Attention : ce n’est pas la vitesse qui diminue ! v. S = Cte

Pertes de charge linéiques (suite) pe D v ps L Comment estimer ? Analyse dimensionnelle : Cette formule ne dit rien de plus ! Elle ramène le calcul de hv (hauteur) à celui de f (sans dimension) f coefficient de perte de charge = f (Re, e/D), e rugosité du tube Hagen-Poiseuille Exact en laminaire (Re < 2300) (on le montrera. . . ) Blasius Turbulent tube lisse 2300 < Re < 105 Approximatif. Colebrook-White. Turbulent, précis mais implicite (e = rugosité tuyau en m) Haaland. Turbulent, moins précis, mais explicite.

Diagramme de moody Donne f ( Re , e/D) Turbulent f presque indépendant de Re pour Re élevé Laminaire Transition laminaire/turbulent pour Re = 2300 f e/D Rugosité relative Re

Pertes de charge singulières Lié à un « accident » sur a tuyauterie (rétrécissement, coude, robinet. . . ) Analyse dimensionnelle : Cette formule ne dit rien de plus ! Elle ramène le calcul de hv (hauteur) à celui de ev (sans dimension) ev dépend : de Re (peu en turbulent) de la géométrie de la singularité

Pertes de charge singulières Référence vitesse amont Référence vitesse aval

Pertes de charge : la bible

Gains de charge : pompes Une pompe augmente l’énergie mécanique du fluide D D • Dans cet exemple, la pompe augmente la pression du fluide • Exactement l’inverse d’une perte de charge

Caractéristique d’une pompe Attention : la puissance délivrée par une pompe dépend du débit Dépendance environ parabolique (débit nul => puissance nulle) MAIS

Application aux réseaux de fluide Gain de charge pompe Pertes de charge régulières Pertes de charge singulières Equation implicite sur le débit

Application aux réseaux de fluide Mêmes concepts qu’en électricité : Lois des mailles (Dcharge <=> DV) Lois des noeuds (débit = courant) MAIS Equations non linéaires Mêmes problèmes complexes : Changements de topologie Théorie des graphes