Physique Mcanique des Fluides parfaits Bernoulli 1 Pression

Physique Mécanique des Fluides parfaits, Bernoulli 1

Pression : rappel 2 Pression : p = F/S (1 Pa = 1 N/m²)

Pression 3 Pression : p = F/S (1 Pa = 1 N/m²) – Presse hydraulique (chaise de dentiste) Même principe que bras de levier F 1/S 1 = F 2/S 2 <=> F 2 = F 1. S 2/S 1

Pression : exercice alc Pression : p = F/S (1 Pa = 1 N/m²) – F 1/S 1 = F 2/S 2 <=> F 2 = F 1. S 2/S 1 → F 1 /75 (cm²) = 1500 (N)/1500 (cm²) → F 1 = 75 (N) – Fluide parfait incompressible → ΔV 1 = ΔV 2 <=> d 1. S 1 = d 2. S 2 → d 1. 75 (cm²) = 0, 1 (m). 1500 (cm²) → d 1 = 2 (m) 4

Plan 5 Pression Ecoulement laminaire Conservation du débit Conservation de l’énergie, équation de Bernoulli

Ecoulement laminaire Pas possible d’étudier le mouvement de chaque particule Mais possible à étudier dans un cas particulier : écoulement « laminaire » Si une particule en suit une autre, elle suivront le même chemin = ligne de courant – Fluide parfait toujours en écoulement laminaire – 6

Ecoulement laminaire Quand v ↑, l’écoulement n’est plus laminaire (voir chapitre suivant) 7

Plan 8 Pression Ecoulement laminaire Conservation du débit Conservation de l’énergie, équation de Bernoulli

Conservation du débit – équation de continuité Fluides incompressibles → ΔV 1 = ΔV 2 <=> A 1. d 1 = A 2. d 2 En mouvement (avec le temps) : → vitesse v = d/t → A 1. d 1/t = A 2. d 2/t débit volumique Q 9 <=> A 1. v 1 = A 2. v 2 = Q (m³/s)

Conservation du débit : exercice alc A 1. v 1 = A 2. v 2 = Q (m³/s) → 50 (cm²). 1 (m/s) = 20 (cm²). V 2 <=> v 2 = 20/50. 1 (m/s) = 0, 4 (m/s) 10

Conservation du débit : exercice A 1. v 1 = A 2. v 2 = Q (m³/s) et Acercle = π. r² → Ar. v 1 = 4. Ar/3. v 2 → π. r². v = 4. [π. (r/3)²]. v 2 11 <=> v 2 = (9. π. r²)/(4. π. r²). v = 9/4. v

Plan 12 Pression Ecoulement laminaire Conservation du débit Conservation de l’énergie, équation de Bernoulli

Conservation de l’énergie, équation de Bernoulli On « pousse » en 1 → travail du fluide : F. d = p. S. d = p. V → énergie cinétique : Ecin = mv²/2 = ρ. V. v²/2 → énergie potentielle : Epot = mgh = ρ. V. g. h p. V = travail = énergie → p = F/S (N/m²) = E/V (J/m³) Etot = constante et V 1 = V 2 = V (fluide incompessible) → p 1. V + ρ. V. v 1²/2 + ρ. V. g. h 1 = p 2. V + ρ. V. v 2²/2 + ρ. V. g. h 2 <=> p + ρ. v²/2 + ρgh = constante 13

Conservation de l’énergie, conséquences statiques (v=0) Baromètre à mercure p. A + ρ. v. A²/2 + ρ. g. h. A = p. B + ρ. v. B²/2 + ρ. g. h. B <=> p + ρ. v²/2 + ρgh = constante v. A = v. B = 0 ; h. A = 0 ; h. B = h ; p. A = patm ; p. B = 0 → patm + 0+0 = 0+0 + ρmercure. g. h <=> patm = 13600. 9, 81. 0, 76 (conditions normales 760 mm. Hg = 0, 76 m) → patm = 101. 396 (Pa) 14 On est très proche de 1 atm = 101325 (Pa) (~0, 07 % d’erreur)

Bernoulli : exercice alc p 1 + ρ. v 1²/2 + ρ. g. h 1 = p 2 + ρ. v 2²/2 + ρ. g. h 2 <=> p + ρ. v²/2 + ρgh = constante v 1 = v 2 = 0 ; h 1 = 0 ; p 1 = patm ~= 105 (Pa) ; h 2 = -8000 (m) → patm + ρeau. 0²/2 + ρeau. g. 0 = p 2 + ρeau. 0²/2 + ρeau. g. (-8000) <=> 105 (Pa) +0+0 = p 2 +0+103. 10. (-8000) 15 <=> p 2 = 8. 107 + 105 ~= 8. 107 (Pa)

Bernoulli : exercice p. A + ρ. v. A²/2 + ρ. g. h. A = p. B + ρ. v. B²/2 + ρ. g. h. B <=> p + ρ. v²/2 + ρgh = constante v. A = v. B = 0 ; p. A = p. B = p ; h. A = 0, 7 (m) ; h. B = 0, 6 (m) → p + ρeau. 0²/2 + ρeau. g. 0, 7 = p + ρsolution. 0²/2 + ρsolution. g. 0, 6 <=> p +0+ 10³. 10. 0, 7 = p +0+ ρsolution. 10. 0, 6 16 <=> ρsolution = 10³. 0, 7/0, 6 ~= 1167 (kg/m³)

Bernoulli : exercice p 1 + ρ. v 1²/2 + ρ. g. h 1 = p 2 + ρ. v 2²/2 + ρ. g. h 2 <=> p + ρ. v²/2 + ρgh = constante h 1 = h 2 = 0 ; v 1 = 0, 1 (m/s) → v 2 = v 1. A 2/A 1 = 0, 1 (m/s). (π. 2²)/(π. 1²) = 0, 4 (m/s) → p 1 + ρeau. 0, 1²/2 + ρeau. g. 0 = p 2 + ρeau. 0, 4²/2 + ρeau. g. 0 → p 1 -p 2 = Δp = 10³. 0, 4²/2 – 10³. 0, 1²/2 = 10³. (0, 4²-0, 1²)/2 = 500. 0, 15 = 75 (Pa) 17

Bernoulli : exercice p. A + ρ. v. A²/2 + ρ. g. z. A = p. B + ρ. v. B²/2 + ρ. g. z. B <=> p + ρ. v²/2 + ρgz = constante z. A = h ; z. B = 0 ; v. A ~= 0 (m/s) ; p. A = p. B = patm → patm + ρeau. 0²/2 + ρeau. g. h = patm + ρeau. v. B²/2 + ρeau. g. 0 <=> v. B² = 2. g. h = 2. 10 = 200 18 <=> v. B = √ 200 ~= 14 (m/s)

Bernoulli : exercice « siphon » p. A + ρ. v. A²/2 + ρ. g. h. A = p. B + ρ. v. B²/2 + ρ. g. h. B <=> p + ρ. v²/2 + ρgh = constante v. A ~= 0 ; p. A = p. B = patm ; h. A = 0, 2+0, 3 (m) ; h. B = 0 → patm+0+ρessence. g. h = patm+ρessence. v. B²/2+0 <=> v. B² = 2. g. h = 2. 10. 0, 5 = 10 <=> v. B = 3, 16 (m/s) 19 → Q = v. S = 3, 16. 4. 10 -4 = 1, 26. 10 -3 (m³/s)

La famille Bernoulli (Anvers) 20