Clase 3 Distancia cdigos con correccin y deteccin

Clase 3: Distancia, códigos con corrección y detección de errores. Funciones lógicas y algebra de Boole

Distancia entre palabras: cantidad de bits que difieren entre si. Ej. : 0010 1000 Dos bit son diferentes → la distancia entre palabras es 2.

Distancia de código: mínima distancia entre palabras válidas. Ej. : código de 3 bits palabras posibles palabras válidas 000 001 010 011 100 000 difieren en 1 bit → distancia 1 difieren en 3 bits → distancia 3 111 010 difieren en 2 bits → distancia 2 101 110 111 Distancia del código ejemplo: 1

Detección y corrección de errores distancia 1 distancia 2 detecta hasta errores simples distancia 3 corrige errores simples distancia 4 detecta hasta errores dobles detecta errores dobles corrige simples detecta hasta errores triples

Ej. 2. 6 a) Código A Código B Código C Código D 0001 000 01011 000000 001 01100 001111 0100 011 10010 110011 1000 010 10101 2 res a i c erro n ta a dis tect de si le mp s 110 111 100 les p les im s p s im es oble s 3 r 4 ores cia erro ta d n a i r les ples a ge as r t c e s n a ta dob tri di orri ta h t s di etec ge asta - c etec -d orri ta h -d y c etec -d

Detección y corrección de errores distancia 1 distancia 2 detecta hasta errores simples distancia 3 corrige errores simples distancia 4 detecta hasta errores dobles detecta errores dobles corrige simples detecta hasta errores triples

Ej. 2. 6 b) Código A’ 0001 0010 0100 1000 2 res a i c erro n ta a dis tect de si le mp s 0111 1011 1101 1110

Hamming Corrige errores simples (Para códigos con distancia 3) n bits a transmitir m bits de información r bits de redundancia (paridad) 2 m <= 2 n/(n+1)

Hamming ejemplo m=4 r=3 Posición: 1 2 Palabra: p 1 p 2 m 3 p 3 m 2 m 1 m 0 Envío 3 4 5 6 7 (En las potencias de 2 van los bits de paridad) Recepción p 1 = m 3 ⊕ m 2 ⊕ m 0 v 1 = p 1 ⊕ m 3 ⊕ m 2 ⊕ m 0 p 2 = m 3 ⊕ m 1 ⊕ m 0 v 2 = p 2 ⊕ m 3 ⊕ m 1 ⊕ m 0 p 3 = m 2 ⊕ m 1 ⊕ m 0 v 3 = p 3 ⊕ m 2 ⊕ m 1 ⊕ m 0 → bit erroneo: v 3 v 2 v 1

Ej. 2. 7 1234567 1001001 0111001 1110110 p 1 p 2 m 3 p 3 m 2 m 1 m 0 v 1=1⊕ 0⊕ 0⊕ 1=0 v 1=0⊕ 1⊕ 0⊕ 1=0 v 2=0⊕ 0⊕ 0⊕ 1=1 v 2=0⊕ 1⊕ 1⊕ 1=1 v 3=1⊕ 0⊕ 0⊕ 1=0 v 3=1⊕ 0⊕ 1⊕ 1=1 error en posición v 3 v 2 v 1 = 110 = 6 1234567 0011011

Funciones lógicas A B O suma de minitérminos O = !A. !B + A. !B 0 0 1 0 1 producto de maxitérminos O = (A+!B). (!A+!B) 1 1 0 F(A, B)=O

Ej. 3. 4

Algebra de Boole 1) x+0=x x+1=1 2) x+x =x 3) x + !x= 1 x*0=0 x*1=x x*x =x x. !x = 0 5) x. y = y. x x+y= y+x 6) x(yz)=(xy)z 7) x(y+z) = xy + xz x+(y+z) = (x+y)+z x +yz= (x + y). (x + z) 4) !(!x)=x 8) x. (!x + y) =xy x + (!xy) = x +y x. (x+y) = x x+ (x. y) = x Leyes de !(x+y) = !x * !y De Morgan !(x*y) = !x + !y

Ej 3. 2 1. Deben ir A o B o ambos. A+B 2. Deben ir C o E, pero no ambos. !CE + C!E == C XOR E 3. Deben ir A y C conjuntamente, o ninguno de los dos va. AC + !A!C 4. Si va D, entonces E también debe ir. DE + !D == E + !D 5. Si va B, entonces A y D también deben ir. BAD + !B == AD + !B F(A, B, C, D, E)=cond 1*cond 2*cond 3*cond 4*cond 5

Ej 3. 2 f(A, B, C, D, E) = (A + B). (C. !E + E. !C). (AC + !A. !C). (E + !D). (!B + AD) = (AC!E + BC!E + AE!C + BE!C). (ACE +!A!CE+ AC!D +!A!C!D). (!B + AD) = = (AC!D!E + ABC!D!E + !AB!C!DE). (!B + AD) = AC!D!E!B +. . . = A!BC!D!E

Minimización Minimizar la siguiente funcion utilizando Algebra de Boole: F(a, b, c)= !a!b!c + !abc + ab!c + a!b!c Solucion: 1. F(a, b, c)= !a!b!c + !ab!c + !abc + ab!c + a!b!c [[ x + x= x ]] 1. F(a, b, c)= !a!c + !ab + a!c [[ xy + x!y = x ]] 1. *F(a, b, c)= !ab + !c* [[ xy + x!y = x ]]