Apprentissages numriques de lcole au collge Enjeux difficults

Apprentissages numériques de l’école au collège Enjeux, difficultés, évolutions Roland Charnay - 2004 1

Autour de 3 réflexions l enjeux de ces apprentissages sur l’ensemble de la scolarité obligatoire l connaissances attendues des élèves au terme de l’école primaire (programmes actuels) l difficultés constatées, à partir de l’analyse des évaluations à l’entrée en Sixième Roland Charnay - 2004 2

Organisation des programmes Cycle 3 de l’école primaire Collège Exploitation de données numériques Organisation et gestion de données, fonctions Connaissance des nombres entiers naturels Connaissance des fractions simples et des nombres décimaux Nombres et calcul Calcul Espace et géométrie Grandeurs et mesure Roland Charnay - 2004 3

Plan l L’apprentissage des nombres et de leurs désignations l L’apprentissage du calcul l La résolution de problèmes, avec un intérêt plus particulier pour la proportionnalité Roland Charnay - 2004 4

Les nombres et leurs désignations Roland Charnay - 2004 5

Entiers naturels l Numération décimale et ordre sur ces nombres : depuis le CP l Valeur positionnelle des chiffres peu évaluée à l'entrée en Sixième l Deux résultats – Ecris en chiffres 25 dizaines 40, 8 % – relation désignations orale-chiffrée relativement bien 80 % à 90 % acquise Roland Charnay - 2004 6

Quelle explication pour 25 dizaines ? l Une remarque : Ecris en chiffres 7 unités 4 dixièmes est mieux réussi (54, 8 %) l Une explication : les termes comme dizaine… renvoient à une position et non à une valeur l C'est l… la valeur positionnelle qui importe… Et les relations entre valeurs Roland Charnay - 2004 7

Quelle remédiation ? l Valeur en référence à l'unité – liée à l'idée groupements – 324 : 3 groupements de 100, 2 groupements de 10… – 324 : 32 groupements de 10 l Relations entre les valeurs – centaine / dizaine ; centaine / unité – mais aussi dizaine / centaine ; unité / centaine – ce qui prépare la compréhension des décimaux Roland Charnay - 2004 8

Pour les écritures, pas de différence fondamentale entre naturels et décimaux 100 fois plus 2 417 100 fois moins 100 fois plus 2 4, 1 7 100 fois moins Roland Charnay - 2004 9

Décimaux décimale et ordre : depuis le CM 1 repris au collège l Evaluations : difficultés pour 25 % à 50 % des élèves l Au primaire comme au collège l Numération – travail insuffisant sur la compréhension – trop axé sur les techniques : revenir au sens chaque fois que c'est possible (ex 7 0, 1 : c'est 7 dixièmes) – marquant de manière insuffisante les ruptures avec les entiers Roland Charnay - 2004 10

Ruptures principales l Relativement à l'ordre – procédure de comparaison – intercalation l Relativement à des procédures de calcul – notamment multiplication et division par 10, 100… l Relativement au "sens" des opérations Roland Charnay - 2004 11

Fractions l Approche limitée à l'école primaire • une seule signification : 5/3 c’est 5 fois 1/3 • travail par le raisonnement (sans techniques) • • l Peu relation avec 1 : 3/3 c’est 1, donc 5/3 est supérieur à 1 décomposition en nombre entier et fraction inférieure à 1 : 19/3 c’est 6 fois 3/3 plus 1/3, donc 6 + 1/3 évalué à l'entrée en Sixième Roland Charnay - 2004 12

l Au collège : une place centrale et des difficultés nouvelles l Nouvelle signification, comme quotient : 7/3 c’est le tiers de 7 l Comprendre l'équivalence : 7 fois le tiers de 1, c’est pareil que le tiers de 7 l 7/3 est un nombre et non un calcul à effectuer l Conception plus théorique : 7/3 est le nombre qui multiplié par 3 donne 7 l Fractions avec des décimaux au numérateur et au dénominateur Roland Charnay - 2004 13

Des difficultés et un travail à faire au collège l Le mot "quotient" – désigne le résultat d'un calcul au cycle 3 – désigne aussi un nombre (sans calcul) au collège l L'équivalence des 2 significations de 7/3 – réalisable par l'expérience – justifiable par des arguments en appui sur la signification cycle 3 – 3 tiers c'est 1, 7 tiers c'est 2 fois 3 tiers plus 1 tiers, donc 7/3 = 2 + 1/3 l en appui sur signification Sixième – 7/3 3 = 7 Or (2 + 1/3) 3 = 6 + 1 = 7, donc 7/3 = 2 + 1/3 l Roland Charnay - 2004 14

Evolution de la notion de nombre au cours de la scolarité l Des entiers naturels aux décimaux : – renoncer à l’idée de nombres qui se suivent – accepter l’intercalation "sans fin" l Passage aux fractions quotients : – accepter qu’un nombre ne s’exprime pas nécessairement par une suite de chiffres l Passage aux négatifs : – renoncer au fait qu’un nombre exprime une quantité ou la mesure d’une grandeur Roland Charnay - 2004 15

Le calcul Roland Charnay - 2004 16

Deux questions l Quels sont les besoins en calcul du futur acteur social et professionnel ? l Quels sont les besoins en calcul pour l’apprentissage des mathématiques ? Roland Charnay - 2004 17

Apprendre à calculer… l apprendre à rendre calculables des situations par un travail de modélisation (cf. résolution de problèmes) l apprendre à traiter des calculs – de façon automatisée ou raisonnée – pour aboutir à un résultat exact ou approché l apprendre à organiser un calcul pour le rendre exécutable par une machine (Cf. initiation à l’usage du tableur au collège) Roland Charnay - 2004 18

Quel calcul ? CALCUL AUTOMATISE CALCUL REFLECHI OU RAISONNE Résultat exact Résultat approché Calcul mental Résultats Procédures construites Calcul écrit Techniques opératoires Procédures construites Calculs usuels instrumenté choix des arrondis Ex : quotient et reste avec Roland Charnay - 2004 19

Priorité au calcul mental : six raisons l l l Calcul d’usage, utile dans la vie ordinaire Indispensable pour le calcul posé Moyen privilégié de contrôle Calcul réfléchi : lien entre raisonnement et calcul (choix et mise en œuvre d'une procédure adaptée), utilisation de connaissances sur les nombres et les opérations sur les nombres Indispensable à l'acquisition de nouvelles connaissances, à leur représentation mentale Aide à la résolution de problèmes : se ramener à un cas qui peut être traité mentalement Roland Charnay - 2004 20

Recentrage du calcul posé dans deux directions l Bonne maîtrise dans des cas dits « simples » l Travail orienté vers la compréhension (et la justification) des techniques Roland Charnay - 2004 21

Calcul instrumenté quatre aspects l L’utilisation d’une machine ou d'un logiciel doit être contrôlée l Aide la calculatrice dans la résolution de problèmes l Apprentissage de certaines fonctionnalités l Machine ou logiciel source de problème Roland Charnay - 2004 22

Apprentissage du calcul au Primaire addition -soustraction Naturels Addition Cycle 2 Cycle 3 Sens Calculs mental et posé Décimaux Fin du cycle 3 Sens Calculs mental et posé Cycle 2 Soustraction Sens Calcul mental Cycle 3 Sens Calculs mental et posé Roland Charnay - 2004 Fin du cycle 3 Sens Calculs mental et posé 23

Apprentissage du calcul au Primaire multiplication - division Naturels Cycle 2 Multiplication Division Décimaux Sens Calcul mental Cycle 3 Sens Calculs mental et posé Fin du cycle 3 Décimal par entier Sens Calculs mental et posé Collège Produit de 2 décimaux Cycle 3 Division euclidienne Sens Calculs mental et posé Collège Quotient décimal de 2 entiers Quotient de 2 décimaux Roland Charnay - 2004 24

L'extension du calcul aux décimaux et aux fractions suppose des restructurations de connaissances l Sens de la multiplication – surtout liée, pour les entiers, à l'addition itérée l Sens de la division – liée, sur les entiers, au partage l Théorèmes implicites – La multiplication "agrandit" – La division "diminue" Roland Charnay - 2004 25

Le cas de 2/3 de 18 l. A l'école primaire : procédure réfléchie – 2 fois le tiers de 18, soit l Au collège : 3 modes de calcul équivalents Equivalence expérimentée ou raisonnée : - 2 fois 18 tiers : 36 tiers ; 18 fois 2 tiers : 36 tiers Roland Charnay - 2004 26

Compétences en calcul mental à l'entrée au collège Mémorisation ou automatisation Peu évaluée – – – Difficultés avec tables de multiplication Quart de cent 67 % (Eva 2000) Cent divisé par quatre 61 % (Eva 2000) Trente-sept divisé par dix 42 % (Eva 2003) Trois fois zéro virgule cinq 44 % (Eva 2003) Roland Charnay - 2004 27

Calcul réfléchi Résultats contrastés sur les entiers – 198 + 10 – 405 – 10 – 47 + 33 – 60 – 19 – 52 : 4 81 % (Eva 2003) 78 % (Eva 2003) 84 % (Eva 2003) 65 % (Eva 2003) 35 % (Eva 2000) Résultats plus faibles avec les décimaux – 1, 7 + 2, 3 – 2, 5 x 4 61 % (Eva 2003) 44 % (Eva 2003) Roland Charnay - 2004 28

Conclusion l Nécessité de poursuivre au collège l’entraînement au calcul mental – sous ses 2 formes : mémorisé et réfléchi – et ses 2 types de résultats : exacts et approchés l Question des résultats nouveaux dont la mémorisation est utile (realtifs, carrés, racines carrées, puissances de nombres simples…) Roland Charnay - 2004 29

Résolution de problèmes Roland Charnay - 2004 30

Prise en compte du long terme et évolution des procédures de résolution Lucie aime jouer aux billes. A la fin de la journée, elle a 8 billes de plus que le matin. Pourtant la journée avait mal commencé : à midi, elle avait perdu 2 billes ! Que s’est-il passé l’après-midi ? 21 % (Eva 1994) • Sixième : nécessité d'un raisonnement • Cinquième : relatifs • Fin de collège : équation Roland Charnay - 2004 31

Quelques constats Roland Charnay - 2004 32

Evaluation 6 e - 2003 Xavier range les 50 photos de ses dernières vacances dans un classeur. Chaque page contient 6 photos. a) Combien y aura-t-il de pages complètes ? b) Combien y a-t-il de photos sur la page incomplète ? 54 % Il y a ……… photos sur la page incomplète. 57 % Il y a ……… pages complètes. Roland Charnay - 2004 33

Procédures possibles l Schématisation l Dénombrement (CP) l Addition l de 6 en 6 Addition (CE 1) l Encadrement l par deux multiples de 6 Table de multiplication (CE 2) l Division l des pages et des photos par 6 Division (CM 1) Roland Charnay - 2004 34

Une question Pourquoi des élèves qui disposent de l’une ou l’autre des connaissances permettant de résoudre ce problème… - ne pensent-ils pas… - n’osent-ils pas… - ne se croient-ils pas autorisés… … (à) les utiliser pour répondre à la question? Roland Charnay - 2004 35

Raisonnement (exemple 2 : éva 6 e, 2000) Sophie a dessiné et colorié trois étiquettes rectangulaires toutes identiques sur une plaque de carton, comme le montre le dessin. La plaque est rectangulaire et a pour longueur 12 cm et pour largeur 10 cm. 12 cm 10 cm a) Calcule la longueur réelle d’une étiquette. Ecris tes calculs. 44 % b) Calcule la largeur réelle d’une étiquette. Ecris tes calculs. 23 % 22 % des élèves ont mesuré Roland Charnay - 2004 36

Deux pistes de travail pour l'école et le collège l inciter les élèves à initier des procédures de résolution originales, personnelles l travailler la capacité à déduire et à articuler différentes étapes par un raisonnement approprié. Roland Charnay - 2004 37

Le cas de la proportionnalité Roland Charnay - 2004 38

Un domaine complexe l Typologie des problèmes l Variété des procédures de résolution l Sensibilité de ces procédures – aux grandeurs en relation – aux nombres en jeu – au nombre de couples fournis l Procédures particulières utilisées dans d'autres disciplines Roland Charnay - 2004 39

A l'école primaire l Pas d'enseignement de la proportionnalité l Résolution de problèmes, en utilisant des procédures "contextualisées" qui s'appuient implicitement : – sur les propriétés de linéarité – sur le passage par l'image de l'unité – sur le coefficient, lorsqu'il a une signification pour les élèves l Pourcentage, échelle et vitesse – travaillés dans cet esprit – sans procédures spécifiques Roland Charnay - 2004 40

Exemple : 20 % de 350 (vente de croissants) Pour 100 fabriqués 20 vendus Pour 300 fabriqués 60 vendus Pour 50 fabriqués 10 vendus Pour 350 fabriqués 70 vendus Roland Charnay - 2004 41

Pour 100 fabriqués 20 vendus Pour 300 fabriqués 60 vendus (3 fois plus) Pour 50 fabriqués 10 vendus (la moitié) Pour 350 fabriqués 70 vendus Le nombre de pains vendus, c'est 1/5 du nombre de pains fabriqués (ou 5 fois moins) 1/5 de 350, c'est 70 Roland Charnay - 2004 42

Au collège : évolution des procédures l Sixième – passage par l’image de l’unité – rapport de linéarité, exprimé sous forme de quotient – coefficient de proportionnalité, exprimé sous forme de quotient l Cinquième – recours plus systématique aux quotients – première approche graphique l Quatrième – produit en croix (lié à égalité de quotients) – caractérisation graphique l Troisième – modélisation par une fonction linéaire Roland Charnay - 2004 43

Quelques documents l documents d’application des programmes de l’école primaire (notamment cycle 3) l document Articulation école-collège l document Calcul mental l document Calculatrices l document Calcul posé l document Problèmes pour cher Roland Charnay - 2004 44