Anno accademico 201213 Fisica Generale Ingegneria Edile Architettura

Anno accademico 2012/13 Fisica Generale Ingegneria Edile Architettura Giorgio Maggi

Alcune informazioni • Per maggiori informazioni consultare il sito: – http: //www. ba. infn. it/~maggi – trovate: • • • Il programma, le date degli esami, eventuali comunicazioni del docente. Le dispense del corso Le trasparenze delle lezioni (anni precedenti) Esercizi svolti e tracce di esercizi degli appelli precedenti. Link per approfondimenti • Questo sito sarà con il tempo rimpiazzato dal sito esse 3 • Ulteriori informazioni possono essere richieste via mail (con moderazione): – giorgio. maggi@ba. infn. it • (firmate la vostra posta) Ricevimento: Dipartimento di Fisica – Se l’orario rimane questo il lunedì e il martedì dopo la lezione – Oppure inviate una richiesta di incontro con una mail. G. M. - Edile-Architettura 2005/06

Programma • Meccanica – Cinematica (descrizione del moto) – Dinamica del punto materiale (causa ed effetto) – Cenni della dinamica dei sistemi di punti materiali (centro di massa) • Urti • Statica e dinamica dei Corpi Rigidi • Termodinamica – I e II principio della termodinamica – Funzionamento delle macchine termiche G. M. - Edile-Architettura 2005/06

Ulteriori informazioni • Libro di testo: – Per la meccanica • Mazzoldi Nigro Voci Elementi di fisica - Edises (II edizione) – Sono disponibili anche delle dispense • Non usare le dispense da sole, ma in connessione con il libro di testo (sulle dispense ci sono poche figure, mancano le tabelle, ci sono pochi esercizi svolti, mancano le tracce di esercizi, etc). – Si consigliano anche le trasparenze delle lezioni degli anni passati G. M. - Edile-Architettura 2005/06

Esami ed Esoneri • L’esame consisterà in una prova scritta ed una orale. Entrambe devono essere svolte nello stesso appello. • Al momento non sono previsti esoneri G. M. - Edile-Architettura 2005/06

La cinematica • Si occupa della descrizione del moto – Definisce le grandezze fisiche (e le loro relazioni) che consentono di descrivere come un corpo cambia la propria posizione rispetto agli altri. • L’approccio è quello di semplificare al massimo il problema: – Si affronta prima il moto di un corpo semplice (il più semplice possibile): il punto materiale • Cos’è il punto materiale – È un punto geometrico senza dimensioni dotato di massa • Il significato della massa lo vedremo quando iniziamo la dinamica • Per la cinematica la descrizione del moto la massa non è importante. Servirà invece in dinamica per mettere in relazione la causa del moto – Un’automobile è un oggetto complicato: le ruote girano, i pistoni vanno su e giù nei cilindri, le spazzole si muovono destra e sinistra per pulire il vetro…. . Però se se che sta percorrendo l’autostrada tra Bari e Milano allora si può anche pensare di rappresentare la sua posizione con un punto (alle 12: 15 era all’innesto con la A 1. G. M. - Edile-Architettura 2005/06

La cinematica • Lo stesso la terra nel suo moto di rivoluzione attorno al a sole può benissimo essere rappresentato con un punto • Chiaramente è una approssimazione: si perdono alcuni dettegli come per esempio il moto di rotazione attorno all’asse terrestre, il moto di oscillazioni della terra (le maree) G. M. - Edile-Architettura 2005/06

La cinematica: il moto rettilineo • Una volta stabilite le regole per descrivere il moto di un oggetto semplice, allora poi si affronta quello di oggetti più complicati • Definizione: traiettoria – La traiettoria è il luogo dei punti via occupati dal punto materiale durante il suo moto • Quindi cominciamo a studiare il moto la cui traiettoria sia rettilinea – Moto di caduta di un grave con velocità iniziale nulla – Moto di un ascensore – Moto di una automobile su un tratta di strada rettilinea • Una volta capito come vanno le cose per il moto rettilineo si passa a moti più complicati: moto nel piano e moto nello spazio G. M. - Edile-Architettura 2005/06

La Cinematica Sistema di riferimento cartesiano su una retta • Per descrivere il moto dobbiamo descrivere come varia la posizione di un corpo rispetto agli altri • Cominciando dal moto rettilineo dobbiamo capire come descrivere la posizione di un punto materiale su una retta • Occorre introdurre un asse di riferimento • Per definire un asse di riferimento occorre: – fissare l’origine – fissare il verso positivo La posizione (coordinata) x del punto P sarà La distanza di P dall’origine O se P viene dopo O percorrendo l’asse nel verso fissato (x=d. PO) Meno la distanza di P’ dall’origine O se P’ viene prima di O percorrendo l’asse nel verso fissato (x=-d. P’O) x = -d. P’O P’ x = +d. PO P G. M. - Edile-Architettura 2005/06

Misure di lunghezze • Abbiamo introdotto una grandezza fisica: la distanza di P da O (occorre misurarla) • Una grandezza ha significato in fisica se, e solo se, è possibile misurarla. – Per misurare una grandezza occorre • Definire un campione • Definire una procedura per confrontare la grandezza con il campione – Risultato della misura: • Un numero e un’unità di misura LAB=3, 6 campioni Numero Unità di misura G. M. - Edile-Architettura 2005/06

Il campione di lunghezza: il metro • nasce con la Rivoluzione Francese Ø 1 m = 1/40000000 parte del meridiano terrestre passante per Parigi Ø 1 m = distanza tra due tacche di una sbarra di platino tenuta a 0 o. C • 1889: 1 a Conferenza Generale di Pesi e Misure Ø 1 m = distanza tra due tacche di una sbarra di platino-iridio Precisione delle copie 2 5 x 10 -7 m non sufficiente per applicazioni industriali ed esperimenti di Fisica • 1960: 11 a Conferenza Generale di Pesi e Misure Ø 1 m = 1650763, 73 lunghezze d’onda della luce emessa dal 86 Kr la precisione aumenta di un fattore 100 atomi 86 Kr tutti uguali e disponibili ovunque • 1983: 17 a Conferenza Generale di Pesi e Misure Ø 1 m = distanza percorsa dalla luce nel vuoto in un intervallo di tempo pari a 1/299792458 secondi ulteriore guadagno in precisione di 100 volte G. M. - Edile-Architettura 2005/06

Sistema di riferimento nel piano coordinate cartesiane • Occorrono due assi cartesiani (ortogonali) (stessa origine) – • • L’asse x deve ruotare di 90° in senso antiorario per sovrapporsi all’asse y Il punto P nel piano sarà individuato dalle coordinate x, y, che sono le coordinate dei punti proiezione di P rispettivamente sugli assi x e y I punti proiezioni Px e Py si ottengono mandando le perpendicolari da P rispettivamente agli assi x (verde) ed y (violetta). G. M. - Edile-Architettura 2005/06

Sistema di riferimento nel piano coordinate polari Asse y • P • r • q O Asse x Asse y • r è un numero reale positivo q è l’angolo formato dal segmento OP con un asse arbitrariamente fissato nel piano • • P y La posizione di P nel piano può essere specificata in coordinate polari (r, q) r è la distanza di P dall’origine del sistema di riferimento. Nella figura è stato scelto l’asse x come asse di riferimento. L’angolo q è positivo se l’asse di riferimento x deve ruotare in verso antiorario per sovrapporsi al segmento OP. r q O x Asse x G. M. - Edile-Architettura 2005/06

Sistema di riferimento nello spazio Coordinate cartesiane • Nello spazio occorrono tre assi orientati, x, y, z, ortogonali tra di loro. • Si usano terne destrorse, cioè con l'asse x disposto secondo il pollice, l'asse y secondo l'indice, e quello z secondo il medio della mano destra. • Si manda da P la parallela all'asse z fino ad incontrare il piano xy: si determina così il punto Pxy proiezione di P sul piano xy. • Si congiunge con un segmento l'origine O con il punto Pxy. Il segmento OPxy è perpendicolare all’asse z. • La proiezione di P sull'asse z, Pz, si determina mandando da P un segmento parallelo al segmento OPxy. • La proiezione Px di P sull'asse x si determina mandando da Pxy la parallela all'asse y fino ad intersecare l'asse x • La proiezione Py di P sull'asse y si determina mandando da Pxy la parallela all'asse x fino ad intersecare l'asse y. G. M. - Edile-Architettura 2005/06

Moto rettilineo del punto materiale • Punto materiale – Punto geometrico dotato di massa • Traiettoria – Il luogo dei punti via occupati dal punto materiale • Moto rettilineo – Moto con traiettoria rettilinea • Moto di caduta di un grave, moto alternativo dei pistoni nei cilindri, moto di una automobile lungo una strada diritta, etc. • Sistema di riferimento sulla retta • – Si definisce un verso di percorrenza – Si sceglie un origine La posizione (coordinata) x del punto P sarà • • La distanza di P dall’origine O se P viene dopo O percorrendo l’asse nel verso fissato () Meno la distanza di P’ dall’origine O se P’ viene prima di O percorrendo l’asse nel verso fissato (x=-d. P’O) x = -d. P’O P x = +d. PO P’ O asse x G. M. - Edile-Architettura 2005/06

Descrizione del moto rettilineo • Studio del moto di caduta di un grave lungo la verticale • Sulla traiettoria definiamo l’asse di riferimento (origine e verso) • Usiamo un orologio per trovare la corrispondenza tra l’istante di tempo e la posizione in cui si trova il punto materiale (t=0 s inizio dell’osservazione) O G. M. - Edile-Architettura 2005/06

La misura del tempo • Il tempo e la seconda grandezza con cui ci imbattiamo in fisica • Il tempo deve svolgere una doppia funzione: – Scandire gli eventi, dare origine ad una cronologia (tempo civile = calendario) – Misurare degli intervalli di tempo (il tempo trascorso tra due eventi) • Come si fa la misura del tempo (degli intervalli di tempo) ? – Si usa un fenomeno periodico: un fenomeno che si ripete identico a se stesso dopo un fissato intervallo di tempo. – Si contano il numero dei cicli e delle frazioni di ciclo del fenomeno periodico contenute nell’intervallo di tempo che si vuole misurare. 4 T T G. M. - Edile-Architettura 2005/06

Il campione di tempo: il secondo • …da sempre… – 1 s = 1/86400 del giorno solare medio ma la velocità di rotazione della Terra diminuisce di 1 parte su 108 all’anno • 1960 11 a CGPM – 1 s = 1/31556925. 97474 dell’anno tropicale(intervallo tra due equinozi di Primavera) 1900 (1 anno ~ p 107 secondi) • 1967 13 a CGPM (orologio atomico) – 1 s = 9 192 631 770 periodi della radiazione assorbita dal 133 Cs nella transizione tra i due stati iperfini del suo stato fondamentale – introdotta una nuova scala di tempo: il Tempo Atomico Internazionale (TAI) L’origine è stata fissata alle ore 0 del 1/1/1958 e l’unità è il secondo si tratta di una scala statistica, basata su un grande numero (200) di orologi atomici sparsi in vari laboratori nel mondo (30 paesi) gli orologi atomici di ultima generazione (a fontana di cesio raffreddati) sono caratterizzati da una precisione relativa dell’ordine di 10 -15 (1 s /30 000 anni) con orologi a ioni di mercurio si prevede che si raggiungerà una precisione di 10 -18 G. M. - Edile-Architettura 2005/06

Il Sistema Internazionale di Unità di Misura • La lunghezza ed il tempo sono due grandezze fondamentali del SI • per ogni grandezza fondamentale occorre definire • Il campione e • la procedura con cui il campione si confronta con la grandezza da misurare • Una qualunque grandezza che possa essere misurata per confronto diretto con un campione può essere scelta come fondamentale - • tra queste se ne scelgono alcune che siano indipendenti tra loro e che siano un numero completo -tutte le grandezze fisiche descrivono i fenomeni fisici devono essere legate alle grandezze scelte come fondamentali • I campioni delle grandezze fondamentali devono essere: - accessibili e riproducibili - invariabili - sicuri G. M. - Edile-Architettura 2005/06

Sistema Internazionale (SI) 7 grandezze fondamentali unità di misura simbolo grandezza nome lunghezza metro m massa kilogrammo kg tempo secondo s ampere A kelvin K quantità di materia mole mol intensità luminosa candela cd corrente elettrica temperatura termodinamica il Sistema Internazionale è un sistema completo, coerente, assoluto e decimale G. M. - Edile-Architettura 2005/06

Importanza di un sistema decimale Il Sistema Internazionale è un sistema metrico decimale. Multipli e sottomultipli, di tutte le unità di misura, si ottengono moltiplicando o dividendo per potenze di 10 • • • deca hetto kilo mega giga tera peta esa zetta yotta 101 102 103 106 109 1012 1015 1018 1021 1024 1 Kg = 10 hg = 1000 g 1 iarda = 3 piedi 1 quarto USA = 25 libbre da h k M G T P E Z Y • • • deci centi milli micro nano pico femto atto zepto yocto 10 -1 10 -2 10 -3 10 -6 10 -9 10 -12 10 -15 10 -18 10 -21 10 -24 d c m m n p f a z y 1 m = 10 dm = 100 cm = 1000 mm 1 piede = 12 pollici 1 libbra = 16 once G. M. - Edile-Architettura 2005/06

Il moto rettilineo • Studio del moto di caduta di un grave lungo la verticale • Sulla traiettoria definiamo l’asse di riferimento (origine e verso) • Usiamo un orologio per trovare la corrispondenza tra l’istante di tempo e la posizione in cui si trova il punto materiale (t=0 s inizio dell’osservazione) O G. M. - Edile-Architettura 2005/06

Grafico orario • Asse delle ascisse = variabile indipendente (il tempo). – È necessaria una scala, per es. 1 cm=0, 1 s • Asse delle ordinate = variabile dipendente (la posizione). – Anche qui è utile una scala, per es 1 cm=0, 2 m I punti rappresentano le misure, la curva è l’interpolazione. • La curva interpolante deve essere continua: • il punto materiale passa per tutte le posizioni intermedie. • La legge di corrispondenza è una funzione seria, • ad ogni istante di tempo corrisponde una sola posizione (il corpo non si può trovare in due luoghi diversi allo stesso istante di tempo). • Per lo stesso motivo la funzione è continua G. M. - Edile-Architettura 2005/06

Legge oraria • Il grafico orario può anche essere rappresentato mediante una espressione matematica (legge oraria) Uso del grafico orario o della legge oraria: voglio conoscere la posizione del punto all’istante 0, 2 s. Con il grafico orario Con la legge oraria G. M. - Edile-Architettura 2005/06

Grafico orario di un punto materiale fermo • Il grafico orario è una retta parallela all’asse delle ascisse (dei tempi) (pendenza = 0) • Legge oraria corrispondente: x = xo (x=0, 31 m) G. M. - Edile-Architettura 2005/06

Grafico orario di un moto di un punto che percorre lo stesso tratto a parità di intervallo di tempo La retta: x = mt+n n = intercetta asse ordinate m = coefficiente angolare • • Il grafico orario è una retta Legge oraria corrispondente: G. M. - Edile-Architettura 2005/06

Moto di un’automobile su un tratto rettilineo • Esiste una relazione tra la pendenza del grafico orario e la velocità dell’automobile. G. M. - Edile-Architettura 2005/06

Spostamento e percorso effettuato • • Grafico orario di un corpo in moto con accelerazione costante ao. Legge oraria corrispondente xmassimo x = xo + vot + 1/2 aot 2 • xo= 7. 2 m • vo= 11. 4 m/s • ao= -5. 0 m/s 2 • xfinale xiniziale Consideriamo gli istanti – Iniziale: tiniziale – finale: tfinale Spostamento = Dx = xfinale-xiniziale Percorso effettuato: è la lunghezza del tratto effettivamente percorso Nel caso della figura d=(xmassimo-x 1)+(xmassimo-x 2) tiniziale tfinale G. M. - Edile-Architettura 2005/06

Significato di D • D applicato a una qualsiasi grandezza • Indica una differenza (finita) tra – il valore finale della grandezza – e quello iniziale – Dt= tf-ti • d applicato a una qualsiasi grandezza • Indica una differenza (infinitesima) tra – il valore finale della grandezza – e quello iniziale – dt – Anche “differenziale” G. M. - Edile-Architettura 2005/06

Il segno dello spostamento • Spostamento Dx =xfinale-xiniziale con Dt > 0 • Nel caso di un moto rettilineo non è necessario far ricorso alla rappresentazione vettoriale – Il verso del moto viene rappresentato dal segno di Dx – Se Dx >0 allora vuol dire che xfinale >xiniziale: il moto è avvenuto nella direzione positiva dell’asse delle x – Se Dx <0 allora vuol dire che xfinale <xiniziale: il moto è avvenuto nella direzione negativa dell’asse delle x xfinale xiniziale tfinale G. M. - Edile-Architettura 2005/06

Velocità media • Velocità scalare – Sempre positiva • Velocità vettoriale – Positiva -->x crescenti – Negativa-->x decrescenti G. M. - Edile-Architettura 2005/06

Grandezze derivate • • La velocità è una grandezza derivata Le unità di misura delle grandezze fisiche sono derivate da quelle fondamentali attraverso le relazioni che legano ciascuna grandezza derivata a quelle fondamentali. Per esempio la relazione che lega la velocità al percorso effettuato ed al tempo impiegato è data da La velocità è una grandezza derivata – Non ho bisogno di definire un campione per la velocità • Il campione della velocità può essere dedotto dal campione della lunghezza e da quello del tempo • Nel SI il campione della velocità è la velocità di quell’oggetto che percorre un metro in un secondo. – E neppure un metodo di misura (confronto) delle velocità NB: la distinzione tra grandezze fondamentali e grandezze derivate è del tutto arbitraria, è solo una questione di scelta. G. M. - Edile-Architettura 2005/06

Dimensioni • scelte le grandezze fondamentali L, T, M e le loro unità di misura, l’unità di misura di una qualunque altra grandezza fisica, G, si può scrivere come: [G] = [L]x · [T]y · [M]z x, y, z vengono chiamate le dimensioni di G nel sistema di unità scelto. • Per “dimensioni” si intendono gli esponenti a cui bisogna elevare le grandezze fondamentali per ottenere la grandezza in esame. • • Per esempio l’area A=base x altezza [A]=[base][altezza]=[L]2 • Si dice che l’area ha le dimensioni di una lunghezza al quadrato. • L’unità di misura dell’area, sapendo che ha dimensioni di una lunghezza al quadrato e che la lunghezza si misura in metri, sarà il metro quadro (m 2) e il campione sarà un quadrato di lato un metro G. M. - Edile-Architettura 2005/06

Dimensioni della velocità • Per esempio se la relazione che lega la velocità (scalare media) allo spazio percorso ed al tempo impiegato è data da • Si dice anche la velocità ha le dimensioni di una lunghezza diviso un tempo: [v] = [percorso effettuto][Dt]-1 = [L][T]-1 equazione dimensionale le dimensioni della velocità = alle dimensioni della distanza percorsa per le dimensioni di un intervallo di tempo alla meno uno = le dimensioni di una lunghezza per un tempo alla meno uno • L’unità di misura della velocità sarà (SI): m/s (metri al secondo) G. M. - Edile-Architettura 2005/06

• Alla guida di un’automobile, dopo aver percorso una strada rettilinea per 8, 4 km a 70 km/h, siete rimasti senza benzina. Avete quindi proseguito a piedi, sempre nella stessa direzione, per 2. 0 km fino al prossimo distributore, dove siete arrivati dopo 30 minuti di cammino. Qual è – Qual è lo spostamento complessivo – Il tempo complessivo impiegato – La velocità media G. M. - Edile-Architettura 2005/06

Velocità media • Abbiamo definito la velocità vettoriale media G. M. - Edile-Architettura 2005/06

Descrizione del moto attraverso la velocità media • Supponiamo di far muovere tra t 1 e t 2 il punto materiale con la velocità media appena calcolata • Valutiamo la sua posizione all’istante t=2 s. Posizione vera al tempo t=2 s Posizione al tempo t=2 s predetta con la velocità media Conclusione: La descrizione del moto mediante la velocità media è insoddisfacente Le predizioni sono corrette solo agli estremi t 1 e t 2. G. M. - Edile-Architettura 2005/06

Determinazione della velocità media in intervalli di tempo sempre più piccoli • Riduciamo gli intervalli di tempo in cui calcolare la velocità media – si ottiene una descrizione del moto decisamente migliore • • • Riducendo sempre più gli intervalli di tempo in cui si calcola la velocità media si otterrà una descrizione sempre migliore! Sarebbe opportuno ridurre a zero l’ampiezza degli intervalli di tempo in cui si calcola la velocità media, così la descrizione del moto sarà perfetta! Ridurre a zero l’ampiezza degli intervalli di tempo equivale a calcolare la velocità del corpo ad ogni istante: la velocità istantanea G. M. - Edile-Architettura 2005/06

La velocità istantanea • • Procediamo nel seguente modo: Consideriamo l’istante t 1 in cui vogliamo calcolare la velocità (t 1=0. 6 s) • Consideriamo un intervallo di tempo Dt maggiore di zero. Calcoliamo la velocità media in Dt • • La velocità media corrisponderà al coefficiente angolare della retta passante per i punti 1 e 2 del grafico • Riduciamo ora l’intervallo di tempo Dt facendolo tendere a zero. • Si definisce velocità istantanea all’istante t 1 il seguente limite: • 2 x(t 1+Dt) x(t 1) 1 t 1 Dt Dx t 1+Dt Osserviamo che quando Dt tende a zero, il coefficiente angolare della retta che rappresenta la velocità media in Dt, tende a diventare quello della retta tangente al grafico all’istante t 1. G. M. - Edile-Architettura 2005/06

La velocità istantanea 2 • Riassumendo: • Abbiamo definito la velocità istantanea come all’istante di tempo t 1: • Nel grafico essa è rappresentata dal coefficiente angolare della retta tangente al grafico all’istante t 1. • Il limite di: rapporto incrementale • x(t 1) 1 t 1 corrisponde anche al valore della derivata rispetto al tempo della funzione x(t) all’istante t 1. G. M. - Edile-Architettura 2005/06

Velocità istantanea ad ogni istante di tempo • Ripetendo l’operazione di limite per altri istanti di tempo, per esempio t 2 o t 3, possiamo conoscere la velocità istantanea (e quindi la derivata rispetto al tempo della funzione x(t)) a questi istanti di tempo. • Se ripetiamo l’operazione per tutti gli istanti di tempo dell’intervallo di osservazione del moto possiamo ricavare la velocità istantanea in funzione del tempo vx(t) • Questa funzione altro non è che la derivata rispetto al tempo della funzione x(t) Positiva --> x crescenti x(t 2) x(t 1) x(t 3) Negativa --> x decrescenti t 1 t 2 t 3 G. M. - Edile-Architettura 2005/06

Velocità scalare istantanea e velocità vettoriale istantanea • Anche per la velocità scalare di può definire la velocità istantanea: xmassimo xfinale • Ma quando Dt tende a zero, avremo • Si ottiene quindi la seguente relazione • xiniziale La velocità scalare istantanea è uguale al valore assoluto, al modulo, della velocità vettoriale istantanea G. M. - Edile-Architettura 2005/06

Le seguenti equazioni danno la posizione x(t) di una particella in quattro situazioni diverse (in tutte comunque x è in m e t in s e t>0) (1) x=3 t (2) x=-4 t 2 -2 (3) x=2/t 2 (4) x=-2 a) In quale situazione la velocità vettoriale è costante? b) in quale altra v è diretta nel verso negativo dell’asse x? Applicaz ione a) la velocità vettoriale è costante nella situazione (1) e (4) b) la velocità vettoriale è diretta nella direzione negativa dell’asse x nei casi (2) e (3). Infatti: G. M. - Edile-Architettura 2005/06

Avete viaggiato sulla Statale 100 da Bari a Taranto per metà tempo a 55 km/h e per il tempo restante a 90 km/h. Al ritorno percorrete metà della distanza a 55 km/h ed il Applicaz ione resto della distanza a 90 km/h. Qual è la velocità scalare media all’andata e al ritorno? Qual è la velocità vettoriale media complessiva? Tracciate il grafico orario ed indicate le velocità medie Indichiamo con Dt il tempo impiegato per andare da Bari a Taranto. Le distanze percorse nelle due parti sono: La distanza totale percorsa sarà la somma delle due distanze ed il tempo impiegato è Dt. G. M. - Edile-Architettura 2005/06

Al ritorno diciamo d la distanza totale tra Taranto e Bari. I tempi necessari percorrere le due metà sono: Applicaz ione cont. Il tempo totale impiegato Dt per tornare da Taranto a Bari sarà la somma dei due tempi. La velocità vettoriale media complessiva è nulla. G. M. - Edile-Architettura 2005/06

Tracciate il grafico orario ed indicate le velocità medie Applicaz ione cont. x Dt 2 Dt t G. M. - Edile-Architettura 2005/06

La posizione di un oggetto che si muove in linea retta è data dall’espressione x=3 t 4 t 2+t 3, ove x è in metri e t in secondi. a) qual è la posizione per t=1, 2, 3 e 4 s? b) qual è lo spostamento dell’oggetto nell’intervallo di tempo tra t=0 e t=4 s? c) qual è la velocità vettoriale media nell’intervallo tra t=2 s e t=4 s? d) qual è la velocità istantanea all’istante di tempo t=3 s? e) costruire il grafico della funzione e costruire sul grafico le risposte alle domande c) e d). Applicaz ione a) per risponere alla domanda a) basta sostiuire alla variabile t nell’espressione della legge oraria gli istanti di tempo richiesti: G. M. - Edile-Architettura 2005/06

b) qual è lo spostamento dell’oggetto nell’intervallo di tempo tra t=0 e t=4 s? Applicaz ione cont. c) qual è la velocità vettoriale media nell’intervallo tra t=2 s e t=4 s? d) qual è la velocità istantanea all’istante di tempo t=3 s? G. M. - Edile-Architettura 2005/06

e) costruire il grafico della funzione e costruire sul grafico alle domande c) e d). Applicaz ione cont. G. M. - Edile-Architettura 2005/06

Grafico della velocità istantanea • Nel moto che stavamo studiando: – La pendenza del grafico orario non è costante – Questo implica che la velocità non è costante – Possiamo costruirci il grafico della velocità: la velocità decresce linearmente con il tempo. – La velocità è maggiore di zero fino a quando il corpo non raggiunge la sua posizione massima: si muove nella direzione positiva dell’asse x – Poi diventa negativa: si inverte il moto, il corpo si muove nella direzione negativa dell’asse x. – Quando x è massimo la velocità è nulla G. M. - Edile-Architettura 2005/06

Accelerazione media e istantanea • • Se la velocità di un corpo varia nel tempo, ci possiamo chiedere con che rapidità varia. Si definisce l’accelerazione media nell’intervallo di tempo tra t 1 e t 2 il seguente rapporto: • Come abbiamo fatto per la velocità anche per l’accelerazione possiamo passare all’accelerazione istantanea: – L’accelerazione istantanea all’istante t 1 è data da: • Tenendo conto della definizione di derivata: G. M. - Edile-Architettura 2005/06

Grafico dell’accelerazione istantanea • • Ripetendo l’operazione di limite per tutti gli istanti di tempo, possiamo determinare la funzione accelerazione. Questo equivale a determinare la derivata della funzione velocità. • Dato che noi conosciamo la velocità in funzione del tempo • possiamo utilizzare questa relazione per determinare l’accelerazione in funzione del tempo. • L’accelerazione è costante (negativa), come d’altra parte ci aspettavamo dal grafico della velocità. G. M. - Edile-Architettura 2005/06

Il segno dell’accelerazione • Riguardando la definizione dell’accelerazione media (ma le stesse considerazioni valgono per l’accelerazione istantanea), si vede che: – axm maggiore di zero, diretta nella direzione positiva dell’asse x: • v finale è maggiore di quella iniziale (naturalmente bisogna tenere conto del segno della velocità) – Se la velocità è positiva il valore della velocità aumenta – Se la velocità è negativa il valore della velocità con il segno aumenta, il suo valore assoluto però diminuisce – axm minore di zero, diretta nella direzione negativa dell’asse x: • v finale è minore di quella iniziale (naturalmente bisogna tenere conto del segno della velocità) – Se la velocità è positiva il valore della velocità diminuisce – Se la velocità è negativa il valore della velocità con il segno diminuisce, e quindi il suo valore assoluto aumenta. • Possiamo concludere: – Se l’accelerazione ha lo stesso verso (segno) della velocità, il modulo della velocità aumenta. – se ha verso opposto il modulo della velocità diminuisce. G. M. - Edile-Architettura 2005/06

Conclusioni • Conoscendo la legge oraria: x(t) la posizione in funzione del tempo • Possiamo calcolarci la velocità: vx(t) la velocità in funzione del tempo • E quindi l’accelerazione: ax(t) l’accelerazione in funzione del tempo • Combinando le due espressioni: L’accelerazione è la derivata seconda della funzione x(t) rispetto al tempo G. M. - Edile-Architettura 2005/06