3 3 2 3 OhmschInduktiver Spannungsteiler Schaltung Maschengleichung

3. 3. 2. 3 Ohmsch-Induktiver Spannungsteiler Schaltung: Maschengleichung: Bauelemente: i R Signalflußplan: u. R u M L u u. R 1/R i _ u. L L·j·ω u. L i Auswertung: Hinweis: 12/2/2020 Hönig: Elektrotechnik 2 ist die Impedanz der Serienschaltung aus 1 R und L

3. 3. 2. 3 Ohmsch-Induktiver Spannungsteiler Schaltung: i Ziel in Kap. 3. 3. 2. 3: der Zusammenhang zwischen Zeit- und Frequenzbereich für sinusförmige Größen soll herausgearbeitet werden. Als Abschluss werden Amplitude und Phase des sich ergebenden Stromes berechenbar. R u L u. L i 12/2/2020 Wichtig sind vor Allem die Zwischenergebnisse der Gliederungspunkte in den Teilen a…f Hönig: Elektrotechnik 2 2

Ohmsch-Induktiver Spannungsteiler i R Anregung: u. R u L u. L i u u. R 1/R _ L·jω u. L i Lösungsansatz (eingeschwungener Zustand): Hinweis: Für Behandlung im Zeitbereich sind Anregung und Lösungsansatz beide sinusförmig; die Amplitude î und der Winkel sind beide noch unbekannt. Der Eulersche Satz wird zum weiteren Vorgehen erforderlich sein: 12/2/2020 Hönig: Elektrotechnik 2 3

Ohmsch-Induktiver Spannungsteiler Oszillogramm des begleitenden Versuchs mit den Mitteln des Elektrotechnik. Labors (zwei Widerstände 390 W parallel, dieses in Serie zur Induktivität 1 H [Kupferwiderstand 120 W]), Strommessung an Widerstand 5 W Wesentlicher Befund: die Frequenz des Stromes ist gleich der Frequenz der Spannung, Amplitude und Phasenwinkel des Stromes relativ zur Spannung sind zu ermitteln 12/2/2020 Hönig: Elektrotechnik 2 4

Einstieg in komplexe Rechnung Teil (a): Erklärung der reellen Anregungszeitfunktion als Überlagerung zweier komplexer Funktionen. in (*) aufgeschrieben. Der Eulersche Satz wird für das Argument (*) negatives Argument: (**) (*) und (**) addiert ergeben: in der Anwendung auf u(t): mit û multiplizieren und durch 2 teilen Teil (b): Es werden als komplexe Amplituden der Spannung u eingebracht: Folgender Realteil erweist sich als die ursprüngliche Zeitfunktion! 12/2/2020 Hönig: Elektrotechnik 2 5

Ohmsch-Induktiver Spannungsteiler Interpretation: der Imaginärteil ist eine nur zur Rechenvereinfachung superponierte Größe. An geeigneter Stelle führt das Weglassen des Imaginärteiles zurück zur ursprünglichen reellen Zeitfunktion. Nochmal in Gleichungsform: Komplexe Amplitude 12/2/2020 Komplexe Zeitfunktion Hönig: Elektrotechnik 2 6

Ohmsch-Induktiver Spannungsteiler Eine gleichartige Rechnung mit der Eulerschen Gleichung lässt sich auch für den Strom durchführen: als komplexe Amplituden des Stromes i 12/2/2020 Hönig: Elektrotechnik 2 7

Ohmsch-Induktiver Spannungsteiler Soweit zuerst die Rechnung im Frequenzbereich. Die Differentialgleichung für den vorliegenden Vorgang soll nun ergänzt werden: u Schaltung: i R u. R Differentialgleichung: L Frequenzbereich: u. L i Teil (c): Es werden die Ergebnisse aus Teil (b) eingesetzt, um Beziehungen zwischen Spannungen und Strömen zu erhalten: 12/2/2020 Hönig: Elektrotechnik 2 8

Ohmsch-Induktiver Spannungsteiler in der Ordnung nach den Koeffizienten von Da folgt: normalerweise von Null verschieden sind, muss gelten: Folge: Wo ist der Unterschied zum Ohmschen Gesetz? 12/2/2020 Hönig: Elektrotechnik 2 9

Ohmsch-Induktiver Spannungsteiler Interpretation: Mit den komplexen Amplituden I, U und der komplexen Impedanz Z lässt sich rechnen wie mit dem ohmschen Gesetz. Voraussetzung zur Superposition des Imaginärteiles [und nachher die geeignete Entfernung um zur reellen Zeitfunktion i(t) zu gelangen] ist die Linearität der Differentialgleichung [↔Maschengleichung]. Entsprechendes gilt für die weniger bedeutsamen konjugiert komplexen Werte (mit * versehen). 12/2/2020 Hönig: Elektrotechnik 2 10

Ohmsch-Induktiver Spannungsteiler Teil (d): Es wird die reelle Zeitfunktion des Stromes i ermittelt: Auf der Folie für die komplexen Amplituden des Stromes hatten wir bereits: …und auch hier ist der Realteil davon… die ursprüngliche Zeitfunktion i(t) Wenn wir also den Strom in der vorliegenden Schaltung als Zeitfunktion wissen wollen, dann lautet die Berechnungsvorschrift hierzu: 12/2/2020 Hönig: Elektrotechnik 2 11

Ohmsch-Induktiver Spannungsteiler Teil (e): Es werden Teilergebnisse eingearbeitet: bringt für ; U war die komplexe Amplitude der Spannung: ; die e-Funktionen werden zusammengefasst: und es wird wieder Eulersche Satz benutzt: 12/2/2020 Hönig: Elektrotechnik 2 Wohlgemerkt: der Realteil von (…) ! 12

Ohmsch-Induktiver Spannungsteiler haben wir Mit nun auf der Basis der komplexen Rechnung die Vorschrift, nach der die reelle Zeitfunktion des Stromes i(t) zu ermitteln ist. Einige Umformungen mit Bruchrechentechnik und Trigonometrie führen schließlich zu als Antwort der Schaltung auf die Eingangsspannung 12/2/2020 Hönig: Elektrotechnik 2 13

Ohmsch-Induktiver Spannungsteiler Vom Versuch her: ist eine Winkelfunktion i(t) sieht vom Versuch her wie eine (phasenverschobene) Winkelfunktion (mit eigener Amplitude) aus Die Rechnung zeigt uns allerdings zwei Winkelfunktionen (ohne unmittelbare Präsentation der Amplitude und Phase) Das wird im Sinn einer Rechnung mit trigonometrischen Funktionen aufgegriffen 12/2/2020 Hönig: Elektrotechnik 2 14

Ohmsch-Induktiver Spannungsteiler Teil (f): die aus cos und sin bestehende Lösungsfunktion für i(t) soll mit einer Amplitude î und einer Winkelfunktion cos(ω·t+φi) formuliert werden Der Wunsch ist gleichzeitig als Ansatz zu formulieren: Nach längerer Rechnung (Details in Datei 3 p 323 b. doc, 3 p 323 c. doc) folgt: sowie und 12/2/2020 Hönig: Elektrotechnik 2 15

Ohmsch-Induktiver Spannungsteiler Vom Versuch her: ist eine Winkelfunktion Somit ist die Stromzeitfunktion nun ebenfalls eine Winkelfunktion ge-worden 12/2/2020 Hönig: Elektrotechnik 2 16