1 CURVAS CNICAS Una Cnica es el conjunto

1 CURVAS CÓNICAS Una Cónica es el conjunto de puntos cuyas distancias dirigidas a un punto fijo ( Foco ) y a una Recta fija ( Directriz ), es una razón constante llamada excentricidad. M P Si: e = 0 ; la cónica se llama Circunferencia e = 1 ; la cónica se llama Parábola. e < 1 ; la cónica se llama Elipse. e > 1 ; la cónica se llama Hipérbola. F

2 LA PARÁBOLA Es el conjunto de puntos que equidistan de una recta fija llamada directriz y de un Y M punto fijo llamado Foco. P F Elementos: Foco: Punto fijo F x Eje Focal: Recta DD’ y pasa por el Foco Vértice: Punto V D’ H Cuerda: Cuerda Focal: V Lado Recto: M F N Radio Vector: Directriz : DD L D R D

3 LA PARÁBOLA Ecuaciones de la Parábola: L Y 1) Si el Vértice es el Origen y su eje D Focal es el eje X P(x, y) F( p, 0) ; P( x, y) o d(P, F) = d( p, L) Elevando al cuadrado y F(p, 0) V y 2 = 4 px X D’ simplificando se tiene: Y - Si: p > 0 ; la Parábola se abre a la D Derecha. - Si: p < 0 ; la Parábola se abre a la F X o V Izquierda. D’

4 LA PARÁBOLA P(x, y) L y 2 = 4 px ELEMENTOS Y L D F(p, 0) V o 1. El vértice V(0, 0) X D’ R 2. El foco F(p, 0) L Y D 3. Lado Recto LR = | 4 p | F X o V 4. Ecuación de la directriz: x = - p R D’

5 LA PARÁBOLA Ecuaciones de la Parábola: Y 2) Si el Vértice es el Origen y su eje Focal es el eje Y, su ecuación es: L F x 2 = 4 py R o V - Si p > 0; la Parábola se abre hacia D’ X D arriba. Y - Si p < 0; la Parábola se abre hacia D’ abajo D o L F V X R

6 LA PARÁBOLA x 2 = 4 py Y L F ELEMENTOS R o V 1. El vértice V(0, 0) D’ X D Y 2. El foco F(0 , p) D’ 3. Lado Recto LR = | 4 p | o L 4. Ecuación de la directriz: y = - p D F V X R

7 LA PARÁBOLA Ejemplo 1. Hallar las coordenadas del foco, la ecuación de la directriz y la longitud del lado recto y graficar. a. x 2 - 12 y = 0 b. y 2 + 8 x = 0 Solución: 1. Vértice V(0, 0) 2. Foco F(0, p) F(0, 3) 3. Directriz y = - p y = -3 4. Lado Recto LR= 4 p LR = 12 como p> 0 la parábola se abre hacia arriba.

8 LA PARÁBOLA Ejemplo 1. Hallar las coordenadas del foco, la ecuación de la directriz y la longitud del lado recto y graficar. a. x 2 - 12 y = 0 b. y 2 + 8 x = 0 Solución: D Y F 1. Vértice V(0, 0) -2 V o 2 2. Foco F( p , 0) F( -2, 0) 3. Directriz x = - p x = - ( -2) = 2 4. Lado Recto LR= 4 p LR = 8 como p< 0 la parábola se abre hacia la izquierda. D’ X

9 LA PARÁBOLA Ecuación Ordinaria de la Parábola: 3) Si el Vértice es V ( h, k ), el eje Y focal es Paralelo al eje x su D V (h, k) F D’ ecuación es: ( y - k )2 = 4 p ( x - h ) Con Foco: F( h+p , k ) - Si: p > 0 ; Se abre a la Derecha. - Si: p < 0 ; Se abre a la Izquierda. X D Y F V(h, k) D’ X

10 LA PARÁBOLA ( y - k )2 = 4 p ( x - h ) Y D V (h, k) ELEMENTOS F D’ 1. El vértice V( h , k) X 2. El foco F(h + p , k) 3. Lado Recto LR= 4 p 4. Ecuación de la directriz x = h - p D Y F V(h, k) D’ X

11 LA PARÁBOLA Ecuación Ordinaria de la Parábola: Y F 4 ) Si el eje Focal es Paralelo al eje Y, V (h, k) su ecuación es: ( x - h )2 = 4 p ( y - k ) D’ D X Con Foco: F ( h , k+p ) Y D’ D - Si: p > 0 ; Se abre hacia arriba. V (h, k) - Si: p < 0 ; Se abre hacia abajo. F X

12 LA PARÁBOLA ( x - h )2 = 4 p ( y - k ) Y F ELEMENTOS 1. El vértice V( h , k) V (h, k) D’ D X 2. El foco F( h , k + p) 3. Lado Recto LR= 4 p 4. Ecuación de la directriz y = k - p Y D’ D V (h, k) F X

13 LA PARÁBOLA 5. La Ecuación General de la Parábola esta dado por: x 2 + Dx + Ey + F = 0 ; Si tiene eje focal paralelo al eje Y. y 2 + Dx + Ey + F = 0 ; Si tiene eje focal paralelo al eje X. Ejemplo 1. Hallar la ecuación de la parábola cuyos vértices y focos son los puntos (-4, 3) y (-1 , 3) respectivamente. Hallar también las ecuaciones de su directriz , eje focal y LR. Solución: La parábola es de la forma: V F 3 (y - k)2 = 4 p(x - h) -4 Directriz: x = h - p =-4 -3 =-7 x+7=0 Eje de la parábola y=k y = 3 , LR = 12 -1

14 LA PARÁBOLA Ejemplo 2. Hallar la ecuación de la parábola cuyo vértice y foco son los puntos V (3 , 3 ) y F(3 , 1 ) respectivamente. Hallar también las ecuaciones de su directriz , eje focal y LR. Solución: La parábola es de la forma: (x - h)2 = 4 p(y –k ) V L R o Directriz: y = k - p = 3 – (-2) = 5 y – 5 = 0 Eje de la parábola x = 3 x – 3 = 0 LR = 8 F

15 LA PARÁBOLA Ejemplo 3. Hallar las coordenadas del vértice y del foco. Las ecuaciones de la directriz y eje, y la longitud del lado recto. 4 x 2 + 48 y + 12 x – 159 =0 Solución: Completando cuadrados para la variable x, se tiene: De donde h = -3/2 , k = 7/2 , 4 p = -12 , p= -3 Vértice V( h , k) V( - 3/2 , 7/2 ) Foco F( h , k + p ) F( -3/2 , 7/2 – 3 ) F( -3/2 , 1/2 ) Ec. De la directriz: y = k - p y = 7/2 + 3 y = 1 3 / 2 2 y – 13 = 02 Ec del eje : x = h x = -3/2 2 x + 3 = 0 ; LR = 12

LA PARÁBOLA Ejemplo. 4 Si las torres de un puente parabólico colgante tienen una separación de 400 m y los cables están atados a ellas a 200 m por arriba del piso del puente. Calcular la longitud que debe tener el puntal que está a 50 m de la torre izquierda La parábola tiene la forma: P: x 2= 4 py Datos: P (200; 200); P 1 (-150; y) Reemplazando: 2002 = 4 p (200) 200 = 4 p Entonces, regresando al problema: (-150)2 = 200 y → 112, 5 = y 16