Zklady infinitezimlnho potu Primitivn funkce Primitivn funkce Mjme

Základy infinitezimálního počtu Primitivní funkce

Primitivní funkce • Mějme dány funkce F, f definované v otevřeném intervalu (a, b). Jestliže pro všechna x (a, b) platí F‘(x)=f(x), říkáme, že funkce F je primitivní funkcí k funkci f v intervalu (a, b)

Primitivní funkce Příklad: Najděte primitivní funkci k funkci f(x) = 3 x 2 - 2 v intervalu (- ; ). Řešení: Podle pravidla pro derivaci funkce y = xn (y‘ = nx n-1)platí, že člen 3 x 2 vznikl derivací x 3 a člen 2 derivací 2 x. Primitivní funkcí k funkci f(x) tedy bude: F(x) = x 3 - 2 x. Zkoušku můžeme provést opětovnou derivací. Protože víme, že derivace konstanty C je nula, pak ale i derivace funkce F(x) = x 3 - 2 x + 1 a také funkce G(x) = x 3 - 2 x + 2 je 3 x 2 - 2. Tedy pro všechny funkce F(x) = x 3 - 2 x + C. Množinou všech primitivních funkcí k funkci f(x) = 3 x 2 - 2 je funkce F(x) = x 3 - 2 x + C Je-li funkce F primitivní funkcí k funkci f, pak každá další primitivní funkce k funkci f má tvar F(x) + C, kde C je reálná konstanta.

Primitivní funkce cvičení 1 • F(x) = 3 - cos 2 x ; f(x) = sin 2 x

Primitivní funkce Libovolnou primitivní funkci F k funkci f na otevřeném intervalu (a; b) značíme: Postačující podmínka existence primitivní funkce k dané funkci: Ke každé funkci spojité v otevřeném intervalu (a; b) existuje v tomto intervalu primitivní funkce. Určení primitivní funkce si procvičíme v následujícím cvičení.

Primitivní funkce cvičení 2 Rozhodněte, zda platí:

Primitivní funkce V předchozích úlohách jsme řešili určení primitivní funkce k dané funkci pomocí znalostí o derivaci funkce. Nyní se naučíme hledat primitivní funkci pomocí základních vzorců pro integrování. Víme, je-li funkce F primitivní funkcí k funkci f v intervalu (a, b) , pak platí F‘(x)=f(x). Z tohoto vyjdeme při odvození vzorců pro integraci některých elementárních funkcí.

Primitivní funkce Při výpočtu primitivních funkcí také vycházíme z jejich vlastností. Věty o vlastnostech primitivní funkce Nechť k funkci f existuje primitivní funkce F(x) = f(x) dx na otevřeném intervalu (a; b) a nechť k R je libovolná konstanta. Pak existuje na (a; b) také primitivní funkce G(x) = kf(x) dx a platí kf(x) dx = k f(x) dx Nechť k funkcím f a g existují na otevřeném intervalu (a; b) primitivní funkce F(x) = f(x) dx a G(x) = g(x) dx. Pak existuje na (a; b) také primitivní funkce H(x) k funkci h = f + g a platí H(x)= [f(x) + g(x)] dx = f(x) dx + g(x) dx Tyto věty si procvičíme na následujících úlohách.

Primitivní funkce cvičení 3 •

Primitivní funkce shrnutí Připomeneme si nové pojmy: Protože oproti derivování pro integraci součinu neznáme žádné pravidlo, tak se v příštích kapitolách zaměříme na integrační metody, naučíme se integrovat pomocí metody per partes (po částech) a substituční metodou.

Použitá literatura • Rektorys, K. Přehled užité matematiky I. 3. vyd. Praha: Prometheus, 2009. ISBN 9788071961802. • Polák, J. Přehled středoškolské matematiky. 6. vyd. Praha: Prometheus, 1995. ISBN 808584978 X. • RNDr. Hrubý, D. , RNDr. Kubát J. Matematika pro gymnázia – Diferenciální a integrální počet. 1. vyd. Praha: Prometheus, 1997. ISBN 8071960632. • RNDr. Petáková J. Matematika – příprava k maturitě a k přijímacím zkouškám na vysoké školy. 1. vyd. Praha: Prometheus, 2002. ISBN 8071960993.