vwo D Samenvatting Hoofdstuk 12 Reeksontwikkelingen De formule

vwo D Samenvatting Hoofdstuk 12

Reeksontwikkelingen De formule van Maclaurin In bovenstaande reeksontwikkeling is Rn de restterm. 12. 1

De formule eiφ = cos(φ) + i sin(φ) Je kunt een complex getal op twee manieren noteren. (zie H. 8) • De notatie met behulp van het reële deel en het imaginaire deel. z = a + bi waarbij a = Re(z) en b = Im(z). • De notatie met behulp van poolcoördinaten. z = r(cos φ + i sin φ) waarbij r = |z| en φ = arg(z). In H. 8 steeds in graden, in dit hoofdstuk in radialen. De 3 e manier is z = r eiφ is een complex getal met r = |z| en φ = arg(z). De formule van Euler: eiφ = cos(φ) + i sin(φ). 12. 1

De functies f(z) = ez en g(z) = ln(z) De functie f(z) = ex • beeldt de reële as af op de positieve reële as • beeldt de imaginaire as af op de eenheidscirkel • is periodiek met periode 2πi. Bij het berekenen van functiewaarden bij de complexe logaritmische functie f(z) = ln(z) gebruik je de rekenregels voor logaritmen en de formule van Euler. De functies f(z) = cos(z) en g(z) = sin(z) cos(z) = en sin(z) = 12. 2

opgave 23 Het beeld van Re(z) = 1 is de cirkel met middelpunt 0 en straal e 1, ofwel de cirkel met de vergelijking | z | = e. Het beeld van Im(z) = π is de halve lijn met beginpunt 0 die een hoek van π radialen maakt met de positieve reële as, ofwel de halve lijn met vergelijking Arg(z) = π. 12. 2

De factorstelling Als x = k een oplossing is van de vergelijking x 3 + ax 2 + bx + c = 0, dan is x 3 + ax 2 + bx + c = (x – k)(x 2 + …). De vergelijking z 3 + pz = q Werkschema: het algebraïsch oplossen van de vergelijking z 3 + pz = q 1. Stel z = u + v en p = -3 uv en herleid hiermee de vergelijking tot 2. u 3 + v 3 = q. 2 Gebruik p = -3 uv om de vergelijking te herleiden tot 3 u 6 – qu 3 – r = 0. 4 3 Bereken u 3 en v 3 en bereken hiermee z. 12. 3

De vergelijking z 3 + az 2 + bz + c = 0 De formule van Cardano Een reële oplossing van de vergelijking z 3 + pz = q is Werkschema: het algebraïsch oplossen van de vergelijking z 3 + az 2 + bz + c = 0 1. Gebruik de substitutie z = y - a om de vergelijking te herleiden tot 2. de vorm y 3 + py = q. 2 Stel y = u + v en p = -3 uv. Dit geeft u 3 + v 3 = q. 3 Gebruik p = -3 uv om de vergelijking te herleiden tot 4 u 6 – qu 3 – r = 0. 4 Bereken u 3 en v 3 en bereken hiermee y. 5 Gebruik z = y - a om een reële oplossing z te berekenen. 6 Gebruik de factorstelling om de andere oplossingen te berekenen. 12. 3

opgave 40 opgave 41 12. 3

De formule un = a · un - 1 + b · un - 2 Een recursieve formule van de vorm un = a · un – 1 + b · un – 2 met b ≠ 0 is een lineaire differentievergelijking van de tweede orde. De differentievergelijking is lineair omdat er alleen termen in voorkomen met un – 1 en un – 2 en niet bijvoorbeeld met (un – 1)2. De differentievergelijking is van de tweede orde omdat de term un is uitgedrukt in de twee voorafgaande termen. GR 12. 4

De karakteristieke vergelijking Werkschema: het opstellen van een directe formule bij de rij un = a · un – 1 + b · un – 2 met startwaarden u 0 en u 1 1. 2. Substitueren van un = gn geeft de karakteristieke vergelijking g 2 – ag – b = 0 met D = a 2 + 4 b. 3. 2 a. Is D > 0 dan krijg je twee reële oplossingen g 1 en g 2 en is de directe formule van de vorm un = A · (g 1)n + B · (g 2)n. 2 b. Is D = 0 dan krijg je één reële oplossing g en is de directe formule van de vorm un = (A + Bn) · gn. 2 c. Is D < 0 dan krijg je twee complexe oplossingen g 1 en g 2 en is de directe formule van de vorm un = (A cos(φn) + B sin(φn)) · gn. Daarbij is φ een argument van g 1 (of van g 2) en g de modulus van g 1. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 3. Je berekent A en B met behulp van de startwaarden u 0 en u 1. 12. 4