vwo B Samenvatting Hoofdstuk 15 Optimaliseren van oppervlakten

vwo B Samenvatting Hoofdstuk 15

Optimaliseren van oppervlakten en lengten Bij het aantonen dat een formule juist is moet je stap voor stap de formule afleiden. Je mag je niet beperken tot het geven van een aantal getallenvoorbeelden. 15. 1

opgave 9 a b geeft kwadrateren geeft voldoet De maximale waarde van L is 15. 1

opgave 25 a K = kosten AB’+ kosten BB’ ≈ 68 852 euro b AC : BC = 2 : 1 AC + BC = AB K = kosten AC + kosten BC ≈ 68 028 euro 15. 2

opgave 25 c K = kosten AP + kosten BP Voer in De optie minimum geeft x ≈ 424 en y = 65 721 De minimale kosten zijn 65 721 euro. 15. 2

Harmonische trillingen Bij eenparige cirkelbeweging van een punt P hoort een harmonische trilling van de projectie P’ van P op de y-as. Omlooptijd is trillingstijd bij trillingen Frequentie in hertz is het aantal trillingen per seconde. Amplitude is maximale uitwijking bij trillingen Bij een harmonische trilling met amplitude b en frequentie f hoort een formule van de vorm u = b sin(c(t – t 0)) met c = 2πf en t de tijd in seconden. Op t = t 0 wordt de evenwichtsstand stijgend gepasseerd. De trillingstijd is seconde. 15. 3

Trillingen met gelijke frequentie Een samengestelde trilling is een trilling die de som is van twee of meer trillingen. De formule van de samengestelde trilling u = u 1 + u 2 met u 1 en u 2 harmonische trillingen met gelijke frequentie en gelijke amplitude is te herleiden tot de vorm u = b sin(c(t – d)). 15. 3

Parametervoorstellingen van Lissajous-figuren Een lissajous-figuur is de baan van een punt dat gelijktijdig deelneemt aan twee harmonische trillingen in verschillende richtingen. We bekijken Lissajous-figuren beschreven door een parametervoorstelling van de vorm Deze parametervoorstelling hoort bij een punt dat gelijktijdig een harmonische trilling uitvoert in de richting van de x-as en van de y-as. 15. 4

opgave 50 a In de x-richting 2 periodes, dus a = 2. In de y-richting 3 periodes, dus b = 3. b x = sin(2 t) x is maximaal voor x is minimaal voor x = 0 voor y = sin(3 t) y is maximaal voor y is minimaal voor y = 0 voor 15. 4

opgave 66 a 15. 5

opgave 66 b 15. 5

opgave 66 c geeft Voor is ABCD een rechthoek en is Dus de formule klopt ook voor d Voer in De optie intersect geeft x ≈ 64 en x ≈ 138. geeft e De optie maximum en y 1 geeft x ≈ 103 en x ≈ 51, 5. De oppervlakte is maximaal voor 15. 5

Snelheid en integraal Bij een tijd-afstandformule is de formule van de snelheid v de afgeleide van s. Dus s’ = v. Hieruit volgt dat s een primitieve is van v en dat de afgelegde afstand gedurende een tijdsinterval gelijk is aan de bijbehorende oppervlakte onder de grafiek van v. Algemeen geldt bij een functie f dat Voor elke functie f met afgeleide f’ geldt dan 15. 6

Zwaartepunt en integraal Van een vlakdeel V dat boven de x-as ligt en wordt ingesloten door de grafiek van f, de x-as en de lijnen x = a en x = b is de x-coördinaat van het zwaartepunt opp. van V In figuur 15. 62 wordt het vlakdeel V ingesloten door de grafieken van f en g. In dit geval is 15. 6