vwo B Samenvatting Hoofdstuk 10 Riemannsommen De oppervlakte

vwo B Samenvatting Hoofdstuk 10

Riemannsommen De oppervlakte van het vlakdeel V in figuur a is te benaderen met behulp van rechthoeken. Daartoe verdeel je het interval [1, 5] in even lange deelintervallen. Hiernaast is gekozen voor rechthoeken met lengte ∆x = 1. Voor de hoogte van de rechthoeken kun je • de kleinste functiewaarde op het deelinterval nemen, je krijgt dan de ondersom, zie figuur b • de grootste functiewaarde op het deelinterval nemen, je krijgt dan de bovensom, zie figuur c • de functiewaarde van een willekeurig getal xk van het deelinterval nemen, zie figuur d In het algemeen wordt de som van de oppervlakten van rechthoeken genoteerd als Dit heet een Riemannsom. Ook de ondersom en bovensom zijn Riemannsommen. Er geldt ondersom ≤ O(V) ≤ bovensom. 10. 1

Integralen Door bij een Riemannsom de limiet voor ∆x naar 0 te nemen krijg je een integraal. De oppervlakte van het vlakdeel V dat boven de x-as ligt en wordt ingesloten door de grafiek van f, de x-as en de lijnen x = a en x = b is Met de GR kun je integralen nauwkeurig benaderen. Zo is de oppervlakte van het vlakdeel V dat wordt ingesloten door de grafiek van f(x) = , de x-as en de y-as gelijk aan dx De optie fn. Int(TI) of ∫dx (Casio) geeft O(V) ≈ 1, 89. De oppervlakte van het vlakdeel W dat wordt ingesloten door de grafiek van f en de lijnen x = 2 en y = √ 2 bereken je met O(W) = O(rechthoek) – O(V). Dus O(W) ≈ 2 · √ 2 – 1, 89 ≈ 0, 94. 10. 1

Oppervlakte van een vlakdeel tussen grafieken In de figuur hiernaast is f(x) ≥ g(x) op het interval [a, b]. Daarom kan de oppervlakte van het vlakdeel V benaderd worden met behulp van de Riemannsom Voor de exacte oppervlakte neem je hiervan de limiet voor ∆x naar 0. Je krijgt O(V) = vb. Het vlakdeel W wordt ingesloten door de grafieken van f(x) = 2 x – 8 en g(x) = -x 2 Voer in y 1 = 2 x – 8 en y 2 = -x 2 Optie intersect geeft x ≈ -2, 80 en x = 2. De optie fn. Int (TI) of ∫dx (Casio) geeft O(W) ≈ ≈ 22, 85 10. 2

Inhoud van een omwentelingslichaam Door het vlakdeel U in de figuur hiernaast te wentelen om de x-as ontstaat het lichaam L. I(L) = Door het vlakdeel V in de figuur hiernaast te wentelen om de x-as ontstaat het lichaam M. I(M) = vb. Het lichaam N ontstaat door het vlakdeel W, ingesloten door de grafieken van f(x) = 2 x – 8 en g(x) = -x 2 , te wentelen om de x-as. De optie fn. Int (TI) of ∫dx (Casio) geeft I(N) ≈ ≈ 593, 4 10. 2

Primitieven O’(x) = O(x + h) – O(x) = O(groene vlakdeel) ≈ f(x) · h O’(x) = De functie F is een primitieve van de functie f als F’ = f. Als F een primitieve van f is, dan zijn alle functies F + c primitieven van f. Het getal c heet de integratieconstante. Voor elke constante a geldt dat a · F een primitieve is van a · f. 10. 3

Regels voor primitiveren Verder geldt dat als F een primitieve is van f, dan is een primitieve van f(ax + b). 10. 3

Oppervlakte en primitieve O(V) = O(x) = F(x) + c = O(b) – O(a) = (F(b) + c) – (F(a) + c) = F(b) – F(a) = = F(b) – F(a) 10. 3

Kegel en Bol Door het vlakdeel ingesloten door de lijn y = de x-as en de lijn x = h te wentelen om de x-as ontstaat een kegel met straal r en hoogte h. I(kegel) = ⅓πr 2 h Door de cirkel c: x 2 + y 2 = r 2 te wentelen om de x-as ontstaat een bol met straal r. I(bol) = 1⅓πr 3 Door het vlakdeel ingesloten door de cirkel c, de y-as en de lijn x = ⅔r te wentelen om de x-as ontstaat een bolschijf. I(bolschijf) = 10. 4

Booglengte De booglengte van het deel van de grafiek van een functie f tussen x = a en x = b is Bij de functie f(x) = krijg je de booglengte van het deel van de grafiek tussen x = 1 en x = 4 als volgt. f(x) = geeft booglengte = De optie fn. Int (TI) of ∫dx (Casio) geeft booglengte ≈ 3, 150. Dus de omtrek van het vlakdeel V in de figuur hiernaast is 3 + f(1) + f(4) + booglengte ≈ 7, 400. 10. 4

Wentelen om de y-as Het vlakdeel V ligt rechts van de y-as en wordt ingesloten door de grafiek van de functie f, de y-as en de lijnen y = a en y = b. De inhoud van het lichaam L dat ontstaat als V om de y-as wentelt is I(L) = 10. 4

vwo B 10. 1 Riemannsommen en integralen

Riemannsommen De oppervlakte van het vlakdeel V in figuur a is te benaderen met behulp van rechthoeken. Daartoe verdeel je het interval [1, 5] in even lange deelintervallen. Hiernaast is gekozen voor rechthoeken met lengte ∆x = 1. Voor de hoogte van de rechthoeken kun je • de kleinste functiewaarde op het deelinterval nemen, je krijgt dan de ondersom, zie figuur b • de grootste functiewaarde op het deelinterval nemen, je krijgt dan de bovensom, zie figuur c • de functiewaarde van een willekeurig getal xk van het deelinterval nemen, zie figuur d In het algemeen wordt de som van de oppervlakten van rechthoeken genoteerd als Dit heet een Riemannsom. Ook de ondersom en bovensom zijn Riemannsommen. Er geldt ondersom ≤ O(V) ≤ bovensom.

opgave 5 f(x) = a f(x) = 0 geeft 12 – 2 x = 0 -2 x = -12 x=6 De middens van de intervallen zijn 0, 5 ; 1, 5 ; 2, 5 ; 3, 5 ; 4, 5 en 5, 5. O(V) ≈ (f(0, 5) + f(1, 5) + f(2, 5) + f(3, 5) + f(4, 5) + f(5, 5)) · 1 ≈ 6, 28 b ondersom = (f(1) + f(2) + f(3) + f(4) + f(5) + f(6)) · 1 ≈ 4, 91 bovensom = (f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + f(4) + f(5)) · 1 ≈ 7, 91 Dus 4, 91 ≤ O(V) ≤ 7, 91.

Integralen Door bij een Riemannsom de limiet voor ∆x naar 0 te nemen krijg je een integraal. De oppervlakte van het vlakdeel V dat boven de x-as ligt en wordt ingesloten door de grafiek van f, de x-as en de lijnen x = a en x = b is Met de GR kun je integralen nauwkeurig benaderen. Zo is de oppervlakte van het vlakdeel V dat wordt ingesloten door de grafiek van f(x) = , de x-as en de y-as gelijk aan dx De optie fn. Int(TI) of ∫dx (Casio) geeft O(V) ≈ 1, 89. De oppervlakte van het vlakdeel W dat wordt ingesloten door de grafiek van f en de lijnen x = 2 en y = √ 2 bereken je met O(W) = O(rechthoek) – O(V). Dus O(W) ≈ 2 · √ 2 – 1, 89 ≈ 0, 94.

opgave 9 f(x) = 5 geeft 6 x – x 2 = 5 -x 2 + 6 x – 5 = 0 x 2 – 6 x + 5 = 0 (x – 1)(x – 5) = 0 x=1 ⋁ x=5 De optie fn. Int (TI) of ∫dx (Casio) geeft O(V) ≈ 30, 667 – 4 · 5 ≈ 10, 67 ≈ 30, 667

opgave 10 a f(x) = 1 geeft x 3 – 5 x 2 + 6 x + 1 = 1 x 3 – 5 x 2 + 6 x = 0 x(x 2 – 5 x + 6 x) = 0 x(x – 2)(x – 3) = 0 x=0 ⋁ x=2 ⋁ x=3 De optie fn. Int (TI) of ∫dx (Casio) geeft O(V) ≈ 1 · 1 – 0, 583 ≈ 0, 42 ≈ 0, 583. b De optie fn. Int (TI) of ∫dx (Casio) geeft O(W) ≈ 4, 667 – 2 · 1 ≈ 2, 67 ≈ 4, 667.

vwo B 10. 2 Oppervlakten en inhouden

Oppervlakte van een vlakdeel tussen grafieken In de figuur hiernaast is f(x) ≥ g(x) op het interval [a, b]. Daarom kan de oppervlakte van het vlakdeel V benaderd worden met behulp van de Riemannsom Voor de exacte oppervlakte neem je hiervan de limiet voor ∆x naar 0. Je krijgt O(V) = vb. Het vlakdeel W wordt ingesloten door de grafieken van f(x) = 2 x – 8 en g(x) = -x 2 Voer in y 1 = 2 x – 8 en y 2 = -x 2 Optie intersect geeft x ≈ -2, 80 en x = 2. De optie fn. Int (TI) of ∫dx (Casio) geeft O(W) ≈ ≈ 22, 85

opgave 14 f(x) = sin(x) met Df = [0, π] Voer in y 1 = sin(x) en y 2 = ¼ x. De optie intersect geeft x ≈ 2, 4746. De optie fn. Int (TI) of ∫dx (Casio) geeft O(V) = en De lijn y = ¼ x verdeelt V niet in twee delen met gelijke oppervlakte.

Inhoud van een omwentelingslichaam Door het vlakdeel U in de figuur hiernaast te wentelen om de x-as ontstaat het lichaam L. I(L) = Door het vlakdeel V in de figuur hiernaast te wentelen om de x-as ontstaat het lichaam M. I(M) = vb. Het lichaam N ontstaat door het vlakdeel W, ingesloten door de grafieken van f(x) = 2 x – 8 en g(x) = -x 2 , te wentelen om de x-as. De optie fn. Int (TI) of ∫dx (Casio) geeft I(N) ≈ ≈ 593, 4

opgave 21 Voer in y 1 = -0, 1 x 4 + x 2 + x + 3 De optie zero (TI) of ROOT (Casio) geeft x ≈ -3, 14 en x ≈ 3, 83. De optie fn. Int (TI) of ∫dx (Casio) geeft I(L) ≈

opgave 29 Voer in y 1 = -⅓x 3 + 2 x 2 en y 2 = x + 4 De optie intersect geeft x ≈ -1, 11, x ≈ 2, 22 en x ≈ 4, 88. De optie fn. Int (TI) of ∫dx (Casio) geeft I(beide lichamen) ≈ ≈ 227, 0251 – 71, 1462 + 748, 3616 – 481, 3562 ≈ 422, 88

vwo B 10. 3 Primitieve functies

Primitieven O’(x) = O(x + h) – O(x) = O(groene vlakdeel) ≈ f(x) · h O’(x) = De functie F is een primitieve van de functie f als F’ = f. Als F een primitieve van f is, dan zijn alle functies F + c primitieven van f. Het getal c heet de integratieconstante. Voor elke constante a geldt dat a · F een primitieve is van a · f.

Regels voor primitiveren Verder geldt dat als F een primitieve is van f, dan is een primitieve van f(ax + b).

opgave 40 a f(x) = ex+1 = ex · e = e · ex F(x) = e · ex + c = ex+1 + c b f(x) = F(x) = c f(x) = F(x) =

Oppervlakte en primitieve O(V) = O(x) = F(x) + c = O(b) – O(a) = (F(b) + c) – (F(a) + c) = F(b) – F(a) = = F(b) – F(a)

opgave 49 I(L 1+ L 2) = = I(L 1) = ½ · 18π geeft π(½a 2 – 2 a) – π · (2 – 4) = 9π π(½a 2 – 2 a) + 2π = 9π ½a 2 – 2 a + 2 = 9 a 2 – 4 a – 14 = 0 D = 16 – 4 · 1 · -14 = 72 voldoet niet voldoet