Verovatnoa i statistika U svakodnevnom ivotu esto se

Verovatnoća i statistika

• U svakodnevnom životu često se srećemo sa izjavama koje u sebi sadrže reč verovatnoća. • • Na primer: Prognostičar vremena kaže u izveštaju na TV da je verovatnoća da sutra padne kiša 80%. Reporter koji izveštava o zdravlju građana kaže da pušac ima veću verovatnoću da dobije rak nego nepusač. Student se pita kolika je verovatnoća, da dobije ocenu 10 ako nije imao sve dobre rezultate tokom semestra. Izveštač sa izbora se pita kolika je verovatnoća da pobedi baš ta… stranka. Verujemo da će se plate povećati u narednoj godini. • • Umesto reči verovatnoća koriste se i reči mogućnost, šansa, . .

Verovatnoća se znači bavi: procenama, prognozama, mogućnostima i sl uvek u situaciji kada nemamo sve potrebne podatke za rešavanje nekog problema. Znači, kako predvideti budućnost računajući numeričke izglede konkretnog događaja Verovatnoća dakle: • meri mogućnost da će se neki događaj realizovati ili ne • daje numeričke izglede ostvarivanja nekog događaja • koristiti se za procenu neizvesnosti koja je potrebna za donošenje odluka • pomoći će nam da donosimo odluke u uslovima nepotpunih informacija i neizvesnosti • ona je osnova statističkog zaključivanja

• • Koristeći verovatnoću ljudi uviđaju da budućnost nije samo pitanje slepe sudbine. Istoriski gledano, ljudima je jako dugo vremena trebalo da prihvate ideju predviđanja izgleda budućih događaja. Primene verovatnoće danas: • Rizici bilo kog poslovanja • • Osiguranje- napr: upravljanje rizikom u životnom osiguranju Pojave greške u bežičnim telekomunikacionim sistemima Vodoprivredni sistemi se planiraju i projektuju za dođađaje u budućnosti Modeli u spoljnoj politici

Istorijat VEROVATNOĆE • • Problematika je stara kolio i civilizacija. Prvi problemi -hazardne igre su vezani za bacanju kockica • Faraoni u starom Egiptu igrali su se kockicama izrađenim od kostiju ( neke nađene kockice su bile napunjene, što ukazuje da je i tada bilo pokušaja da se do pobede dođe na nepošten način) Vaze nađene iz perioda stare grčke pokazuju ljude koji bacaju kockice Bogovi na Olimpu su kockicama određivali sudbinu ljudi. Kockicama je podeljen i Univerzum ( Zevs –nebo, Posejdon-more, Hadpodzemlje) • • • Veruje se da je Pontije Pilat primao opklade vezane za otkup odela Hrista A kako je nastao sendvič?

• • • Pre srednjeg veka niko nije pretpostavljao da je moguće izračunati izglede da se ostvati neki budući događaj. Smatralo se da budućnos određuju bogovi. Tokom 14 veka kockice bivaju zamenje kartama. • 1494 g Luka Pačoli je postavio problem pod nazivom nezavršene igre- kako podeliti uloge kada se igra od nekoliko partija ne završi do kraja. • • Istim problemom se bavi se i Kardano (1501 -1576) On je prvi primetio da podela uloga ne zavisi od toga koliko je svaki igrač već dobio, već od toga koliko treba da dobije da bi pobedio. Nažalost on nije uspeo da reši ovaj problem. Napisao je prvu knjigu - O igri kockom’, a štampana je 100 godine kasnije, 1663 godine. U njoj je definisao prva pravila verovatnoće, ali kao pasionirani kockar i pravila za varanje. • •

• Dva veka kasnije Paskalu (1623 -1662), se obraća prijatelj kockar sa sličnim problemom. Problem: Dva igrača A i B ulože istu svotu novca i dogovore se da čitav ulog pripadne onom koji prvi dobije tri igre, od pet predviđenih. Pošto je igrač A dobio 2 igre, a igrač B 1 igru, morali su da prekinu. Postavlja se pitanje, kako da podele ulog ? • Pasklal se pismom obraća drugom velikom matematičaru toga perioda Ferma (1601 -1665 ) i njeđu njima se uspostavlja prepiska koja če rezultirati nastanku teorije verovatnoće.

• Prepiska Paskal i Ferma 1654. godine –sadrži problem o podeli uloga prilikom prekida kockarske igre. • Rešenje problema: da podele u razmeri 3: 1. Suština tačnog odgovora je da se ne posmatra koliko je svaki od igrača već dobio, nego koliko puta još treba da dobije da bi pobedio. Obeležimo igrače sa A i B Ako prvi igrač vodi sa 2: 1, stanje je AAB Ako bi se igrale još 2 preostale partije, mogle bi ga nastupe sledeće situacije AA AB BA BB Znači prvi igrač bi pobedio u 3 slučaja, a igrač B samo u jednoj

• Pogrešna zaključivanja 1. Podela 2: 1 2. Pitanje je bilo i zašto nastaviti igru kada prvi igrač postigne 3 pobede Svi ovi matematičari koristili su termine šansa, mogućnost i sl Termin verovatnoća nastao je mnogo kasnije od latinske reči probare (dokazati ili testirati) i ilis ( biti u mogućnosti)

• Prva rasprava iz teorije verovatnoće je knjiga ’’O računu u hazardnim igrama’’ Hajgens (1629 -1695 ) 1657. god. • Hajgens ističe je da ova knjiga ne proučava samo hazardne igre, već je reč o osnovama jedne nove zanimljive teorije • Teorija verovatnoće kao nauke započinje radovima Jakoba Bernulija ( 1654 -1705 ) švajcarskog matematičara • Knjiga ’’ Veština nagađanja’’, koja je objavljena posle njegove smrti. • U ovoj knjizi strogo je definisao Zakon velikih brojeva ili prvu graničnu teoremu, koja se danas naziva i Bernulijeva teorema.

• U 18 veku potpuno je prihvaćena ideja da neko može da planira svoj život na racionalan način koji bi rizike sveo na minimum sa naučnom preciznošću.

DALJI RAZVOJ TEORIJE VEROVATNOĆE • Početak 18 veka obeležen je radovima Abrahama de Muavra ( 1667 -1754 ). U radu ’’Učenje o slučajevima’’ on razmatra niz pitanja koja su vezana za Bernulijevu teoremu. • Pjer Laplas ( 1749 -1827 ) proširio je Muavrovu teoremu. U knjizi ’’Analitička teorija verovatnoća’’ definiše pravilo koje se smatra klasičnom definicijom verovatnoće, a koja se i danas koristi. • Nemački matematičar Karl Gaus ( 1777 -1855 ) daje normalni zakon raspodele slučajnih grešaka, zatim ocenu parametara normalne raspodele, metod najmanjih kvadrata i sl. Njegovi rezultati iz teorije grešaka i sada se, bez ikakvih izmena, nalaze u matematičkim udžbenicima. • • Svakako treba spomenuti i mnoge druge matematičare koji su se bavili ovom oblašću i ostavili veliki doprinos i to su: T. Bajes ( 1702 -1763 ), L. Ojler ( 1707 -1788 ), Puason ( 1781 -1840 ) i mnogi drugi.

• • • U drugoj polovoni 19 veka u Zapadnoj Evropi dolazi do zastoja u razvoju teorije verovatnoće. Međutim, u Rusiji mnogi veliki matematičari ozbilnjo se bave ovom disciplinom i to prvo Bunjakovski i Ostrogradski, a pod njihovim uticajem P. Čebišev (1821 -1894) koji je uneo nove ideje u teoriju verovatnoće. Njegovi najznačajniji sledebenici su bili A. Markov (1856 -1922 ) i A. Ljapunov ( 1858 -1918 ). Za ime Markova vezani su ’’lanci Markova’’, to jest nizovi slučajnih promenljivih povezanih tako da verovatnoća realizacije jednog eksperimenta uzima određenu vrednost ako je poznat rezultat predhodnog eksperimenta. Poseban doprinos dao je Ljapunov. Definisao je teoremu koja je dobila naziv ’’centralna granična teorema’’. Zahvaljujući uspehu ruskih matematičara postepeno se tokom 20 veka povratio interes za verovatnoću u Evropi i Americi.

AKSIOMATIKA VEROVATNOĆE • Tokom 20 veka teorija verovatnoće postala je matematička disciplina sa jasno definisanim pravilima. • Primene su postavile su zahtev za preciziranjem njene logičke osnove, odnosno definisanjem aksiomatskog metoda koji je već bio uveden u mnoge druge matematičke discipline. • Prvu aksiomatiku verovatnoće dao je S. Berštajn 1917. godine, a zatim ju je proširio Kolmogorov 1933. godine.

• I danas mnogima su najinteresantniji kockarski aspekti primene teorije verovatnoće. Povremeno se čuje kako je neki ’’genijalan matematičar’’ doveo kazino na rub propasti, jer je našao sistem koji sigurno dobija. • Međutim, verovatnoća je danas sastavni deo važnih oblasti nauke i prakse. • Od posebnog praktičnog značaja su procesi Markova koji se primenjuju u problemima masovnog opsluživanja ( telefonija, saobraćaj, trgovina, . . . ). • Metodi simulacije ( Monte Karlo metodi ) koristeći se računarima, koriste se u najrazličitijim oblastima i td. • Zahvaljujući razvoju teorije verovatnoće nastale su i nove matematičke discipline: teorija masovnog opsluživanja, teorija informacija, teorija pouzdanosti tehničkih sistema, teorija zaliha i dr.

• • • Pretkazanje koje se dobije iz teorije verovatnoće je naravno probablističko. Neznamo šta će se tačno dogoditi, ali možemo da izračunamo numeričke izglede. 1977 g Nobelovu naradu dobili su Blek i Šouls koji su razvili matematičku formulu za predviđanje budućeg ponašanja investicionih objekata i pokrenuli revoluciju na finansiskom tržištu. Danas je to samo jedna od formula koju koriste investitori da bi donosili svoje odkuke.

• • Verovatnoća -teorija Statistika -praksa Primer: Ako bacamo dinar, kolika je verovatnoća da padne grb? Verovatnoća: Statistika: eksperiment • • Bufon je bacio novčić 4040 puta i 1992 puta je dobio grb. Pirson je 12 000 puta bacio novčić i dobio 6019 puta grb, a kada ga je bacio 24 000 puta dobio je grb 12 012 puta. • Frekvence pojave grba u ovim eksperimentima su 0, 4931, 0, 5016 i 0, 5005.

MATEMATIČKA STATISTIKA • • • Statistika se najpre bavila proučavanjem masovnih pojava u društvu, pre svega vezanih za popise stanovništva ( rađanje, smrtnost, naseljenost, imovinsko stanje i sl. ). Naziv je i nastao od latinske reči status, koja znači stanje. U 17 veku pojavile su se dve velike škole: nemačka- bavila se popisom stanovništva u cilju vođenja državne politike, bez ulaženja u zakonitosti pojava engleska- bavili su se uočavanjem zakonitosti istraživanih pojava Đon Gront je u 17 veku dobio zadatak da organizuje i analizira mortalitet u tadašnjem Londonu. On je procenu zasnovao na sledećim podacima: broju rođenih, sahranjenih i broju kuća, na uzorku od 460000. Njegovi zaključci su bili izvanredni imajući u vidu relativno mali uzorak Njegovo delo predstavlja osnovu moderne statistike.

• To je bila opisna statistika, a sastojala se od približnih formula, empiriskih razmatranja i intuitivnih pravila. • Tek kada se opisna statistika, u naučnom pogledu, počela da se oslanja na teoriju verovatnoće, nastala je, početkom 20 veka, nova matemtematička disciplina pod nazivom Matematička statistika. • Savremena statistička metodologija vezana je za imena Amerikanaca Nejmana i Volda.

Zahvaljujući njihovim radovima razvile su se tri oblasti: 1. teorija estimacije ( ocene ), 2. teorija provere ( verifikacije ) statističih hipoteza, 3. teorija planiranja eksperimenta. • Teorija estimacije se sastoji u definisanju metoda za ocenu vrednosti parametara zakona raspodele verovatnoća slučajnih promenljivih. • Osnovni zadatak teorija provere statističih hipoteza je u određivanju pravila ili kriterijuma na osnovu kog se pomoću eksperimentalnih vrednosti slučajnih promenljivih može odlučiti, da li prihvatiti ili odbaciti predloženu hipotezu. • Praksa je pokazala da bitnu ulogu u primeni statistike igra sama šema eksperimenta, jer u zavisnosti od nje može da se dobije nepotpuna ili potpunija i kvalitetnija informacija. Unapred je utvrđen broj posmatranja na osnovu kojih se izvode staristički zaključci.

Danas se matematička statistika koristi u istraživanjima u najrazličitijim oblastima nauke: • • • Ekonomskim naukama Socijalnim naukama Meterologiji Genetici Biologiji Hemiji Fizici Medicini Poljoprivredi i mnogim drugim.

• Zaključak: statistika je korisna u predviđanju budućnosti omogućava izračunavanje optimalnih resursa (vremena, novca, opreme, ljudstava i sl) za rešavanje problema • Da li je isti kao za verovatnoću? U statistici se proučavaju stvarne pojave U verovatnoći se pročavaju matematički modeli stvarnih pojava

ZANIMLJIVOST Da li se slažemo sa ruskim matematičarem Čebiševm koji je je u polušaljivoj formi istoriju matematike podelio na tri perioda? • u prvom priodu su zadatke postavljali bogovi (delfski problem udvajanja kocke, kvadratura kruga, trisekcija ugla i td. ), • u drugom su zadatke postavljali polubogovi (Paskal, Ferma i dr ), • u trećem su zadatke postavljalja praksa.