Vektorit Syventv matematiikka 2 kurssi Johdantoa Tavallisesti mittauksessa

Vektorit Syventävä matematiikka 2. kurssi

Johdantoa • Tavallisesti mittauksessa saadaan suureesta selville sen • Esim. astian tilavuus on 3 litraa tai jonkin kappaleen massa on 4, 5 kilogrammaa • Fysiikassa ja tekniikassa suureiden yksi tärkeä ominaisuus on – Esim. • Suureita, joilla on suuruuden lisäksi vaikutussuunta, kutsutaan • Suure, jolta puuttuu vaikutussuunta, on

Suuntajana • Jos kahta pistettä A ja B yhdistävälle janalle AB annetaan suunta niin, että Esim. Suuntajana AB B A

Suuntajana - jatkoa • Piste A on suuntajanan alkupiste ja piste B sen loppupiste eli • Jos janaan liitetään suunta pisteestä B pisteeseen A, niin saadaan suuntajana • Suuntajanan pituus on janan pituus, • Kun A = B, on – nollasuuntajana

Suuntajana - jatkoa • Suuntajanat ovat yhdensuuntaiset || tai erisuuntaiset || sen mukaan, ovatko suuntajanojen määräämät suorat yhdensuuntaiset vai eivät • Yhdensuuntaiset suuntajanat ovat joko samansuuntaiset ↑↑ tai vastakkaissuuntaiset ↑↓

Tehtävä • Mitkä kuvan suuntajanoista ovat keskenään – Yhdensuuntaiset? – Samansuuntaiset? – Vastakkaissuuntaiset? G H B A C D F E

Esimerkki • Puolisuunnikkaassa ABCD sivut AB ja DC ovat yhdensuuntaiset, joten – Silloin , D A C B

Vektori • Kaksiulotteisessa tasossa tai kolmiulotteisessa avaruudessa • Jokainen suuntajanoista on kyseisen • Suuntajanan AB määräämää vektoria merkitään

Merkintä • Vektoreita merkitään myös yhdellä symbolilla joko siten, että symbolin päälle kirjoitetaan – Esimerkiksi: – Me käytämme merkintää

Pituus • Vektorin pituutta eli suuntajanan pituutta merkitään joko • Vektorin pituus on siten – Samassa kuviossa vektoreiden keskinäiset pituudet kertovat niiden keskinäisistä suuruuksista • Vektori, jonka pituus on nolla, on nollavektori

Samat vektorit • Jos vektorit ovat keskenään samat, pätee niille Eli vektorit ovat keskenään yhdensuuntaiset ja niiden pituus on sama

Yksikkövektori ja vastavektori • Yksikkövektori on vektori, – Merkitään: • Keskenään vastakkaissuuntaiset ja yhtä pitkät vektorit ovat toistensa vastavektoreita – Merkitään: vektorin vastavektori on

Yksikkö- ja vastavektori jatkoa… • Yhteenveto:

Harjoitustehtäviä • 1. Olkoot Lisäksi Piirrä vektorit

Harjoitustehtäviä • 2. a) Piirrä vektorin vastavektori b) Piirrä vektorin kanssa samansuuntainen vektori, jonka pituus on c) Piirrä vektori, joka on vektorin kanssa vastakkaissuuntainen ja, jonka pituus on

Harjoitustehtäviä • 3. Olkoot Piirrä vektorit ja ja sekä .

Harjoitustehtäviä - syventävä • 4. Olkoot A = (-1, -2) ja B = (3, 1). Määritä piste C, kun vektorit ja ovat a) samat b) toistensa vastavektorit • Ratkaisu taululle!

Vektorien laskutoimitukset YHTEENLASKU • Olkoot vektorin edustaja. Valitsemme vektorille pisteestä B alkavan edustajan. Tällöin määrää vektorien ja summan .

YHTEENLASKU - jatkoa • Summaa sanotaan vektorien ja resultantiksi sekä vektoreita ja summan komponenteiksi • Summan määritelmän mukaan vektoreiden ja summa on vektori

Yhteenlaskun ominaisuuksia NEUTRAALIALKIO • Nollavektori on vektorisumman neutraalialkio ja kaikilla vektoreilla.

Vektorin ja vastavektorin summa • Vektorin ja vastavektorin summa on nollavektori

Vaihdantalaki • Vaihdantalaki: A • Olkoon edustajaa, B. Tällöin . Valitsemme vektorille kaksi alkaa pisteestä A ja pisteestä.

Liitäntälaki • Liitäntälaki: • Olkoot , ja vektorien edustajat tässä järjestyksessä – Tällöin on sekä joten • Koska vektorien summa on ryhmittelystä riippumaton, voimme merkitä summan ilman sulkeita

Liitäntälaki • Reitti on sama kulkipa sitten kumpaa reittiä tahansa

Esimerkkejä • Kolmion ABC sivut määräävät kuvan mukaisesti vektorit , ja. Osoita, että • Ratk. Koska , niin eli

Esimerkkejä • Olkoon ja. Laske vektorin pituus, kun a) b) c) (kohtisuora)

Vektorien vähennyslasku • Lukujen a ja b erotus on summa a + (– b) – Vektoreilla kyseessä on siten vastavektorin lisääminen

Esimerkki • Tetraedrin OABC särmät määräävät vektorit , ja. Esitä vektorien , ja avulla vektorit C a) b) c) d) B O A

Luvun ja vektorin tulo • Reaalilukujen 3 ja a tulo 3 a tarkoittaa summaa a + a • Vastaavasti määrittelemme summan luvun 3 ja vektorin tuloksi – Täten • ja kun

Luvun ja vektorin tulo - jatkoa • Reaalilukujen -1 ja a tulo on luvun a vastaluku -a • Vastaavalla tavalla määrittelemme luvun -1 ja vektorin tulon vektorin vastavektoriksi

Luvun ja vektorin tulo - jatkoa • Yhteenveto: Luvun r, r 0, ja vektorin vektori, jonka – Pituus on – Suunta tulo on

Luvun ja vektorin tulo - jatkoa • Luvun ja vektorin tulolla on voimassa 1) liitäntälaki: 2) osittelulaki:

Yksikkövektori • Vektorin kanssa samansuuntainen yksikkövektori saadaan jakamalla vektori pituudellaan:

Yksikkövektori - esimerkki • Olkoon ja. Esitä vektorit ja vektorin avulla, kun PA = 3 ja PB = 5. A 3 P 5 B Vektorin suuntainen yksikkövektori on ja sille vastakkaissuuntainen yksikkövektori joten ja ,

Vektorin jakaminen komponentteihin • Jos tiedetään komponenttien suunnat, voidaan resultantti (= summavektori) jakaa kahteen komponenttiin suunnikaskuvion avulla

Esimerkki • Kelkan vedossa köysi muodostaa 30˚ kulman maan pinnan kanssa. Voima F = 600 N. Komponentti 1 aiheuttaa kelkan liikkeen ja komponentti 2 ”nostaa” kelkkaa pienentäen kitkaa. 30˚

Jatkoa… • Komponentti F 1 suuruus voidaan laskea:

Esimerkki • Kaltevan tason kuorma G jakaantuu kahteen komponenttiin, joista toinen F 1 on tason suuntainen ja toinen F 2 kohtisuoraan tasoa vastaan. F 1 G F 2

Jatkoa… • Tason jyrkkyyden lisääminen aiheuttaa sen, että liikkeen suuntainen komponentti kasvaa ja tasoa vastaan painava voima vähenee. Hiihtäjä huomaa tämän alamäessä, kun vauhti kasvaa ja kitkavoima pienenee. F 2 F 1 G

Vektorit koordinaatistossa • Koordinaatistossa vektori ilmoitetaan yksikkövektoreiden ja avulla – on x-akselin suuntainen – on y-akselin suuntainen – Yksikkövektorin pituus on yksikkö

Esimerkki

Esimerkki A • Vektoria sanotaan paikkavektoriksi silloin, kun se alkaa origosta – Esim. yllä vektori , jonka komponenttien kertoimet osoittavat A: n koordinaatit (i = x-koordinaatti ja j = y-koordinaatti) eli A = (2, 4)

Paikkavektorin pituus • Pisteen (x, y) paikkavektorin pituus on • Kaikki vektorit voidaan esittää koordinaatistossa ja niiden pituus lasketaan yo. kaavalla

Esimerkki • Pisteen (-3, 4) paikkavektori on -3 i + 4 j ja sen pituus on

Esimerkki • Laske koordinaatistossa olevat vektorit yhteen • Eli summavektori on 0 i -3 j = -3 j

Lautapeli • Kuvan pelissä kaksi pelaajaa siirtää vuorotellen samaa pelinappulaa kohti maalia vektoreilla , ja merkityin siirroin. Se voittaa, joka vuorollaan siirtää pelinappulan maaliin. lähtö maali

Yhdensuuntaiset vektorit Yhdensuuntaisuusehto: • ”Jos vektori kerrotaan luvulla, niin tulokseksi saatu vektori on yhdensuuntainen alkuperäisen vektorin kanssa” • Sama käänteisesti: ”Jos kaksi vektoria ovat yhdensuuntaiset, niin toinen niistä saadaan toisesta luvulla kertomalla”

Esimerkki Olkoon , , joten 5 7 ja. Tällöin on ja edelleen ja .