Universitas Indonusa Esa Unggul Fakultas Ilmu Komputer Teknik

Universitas Indonusa Esa Unggul Fakultas Ilmu Komputer Teknik Informatika Integral Lipat Tiga

Integral Lipat Tiga pada Balok Bk z B yk 1. Partisi balok B menjadi n bagian; B 1, B 2, …, Bk, …, Bn zk Definisikan || || = diagonal ruang terpanjang dari Bk xk 2. Ambil 3. Bentuk jumlah Riemann 4. Jika || || 0 diperoleh limit jumlah Riemann y x Jika limit ada, maka fungsi w = f(x, y, z) terintegralkan Riemann pada balok B, ditulis 12/16/2021 KALKULUS LANJUT 2

Integral Lipat Tiga pada Balok (2) vk = xk yk zk d. V = dx dy dz Sehingga integral lipat dalam koordinat kartesius: 12/16/2021 KALKULUS LANJUT 3

Contoh Hitung dengan B adalah balok dengan ukuran B = {(x, y, z)| 1 x 2, 0 y 1, 1 z 2} Jawab. 12/16/2021 KALKULUS LANJUT 4

Integral Lipat Tiga pada Daerah Sembarang Hitung 0 , Jika S benda padat sembarang Pandang S benda padat yang terlingkupi oleh balok B, dan definisikan nilai f nol untuk luar S (gb. 1) B z S y x (gb. 1) 12/16/2021 KALKULUS LANJUT 5

Integral Lipat Tiga pada Daerah Sembarang (2) z= 2(x, y) z S a x b z= 1(x, y) Jika S dipandang sebagai himpunan z sederhana (gb. 2) (S dibatasi oleh z= 1(x, y) dan z= 2(x, y), dan proyeksi S pada bidang XOY dipandang sebagai daerah jenis I) maka: y y= 1(x) Sxy (gb. 2) 12/16/2021 0 y= 2(x) 0 Catatan: Jika f(x, y, z) = 1, maka menyatakan volume benda pejal S KALKULUS LANJUT 6

Contoh Hitung dengan W=f(x, y, z) = 2 xyz dan S benda padat yang dibatasi oleh tabung parabola z=2 - ½x 2 dan bidang-bidang z = 0, y=x, y=0 z y=x Jawab. z=2–½ x 2 Dari gambar terlihat bahwa y=0 S={(x, y, z)|0≤x≤ 2, 0≤y≤x 0≤z≤ 2 – ½x 2} 0 2 Sxy y Sehingga, x Sxy = proyeksi S pada XOY (segitiga) 12/16/2021 KALKULUS LANJUT 7

Contoh (lanjutan) 12/16/2021 KALKULUS LANJUT 8

Latihan 1. Hitung , S benda padat di oktan pertama yang dibatasi oleh bidang-bidang z = 0, x=y, y=0 dan tabung x 2 + z 2 = 1. 2. Sketsa benda pejal S di oktan pertama yang dibatasi tabung y 2 + z 2 = 1 dan bidang x =1 dan x = 4, dan tuliskan dan hitung integral lipatnya. 3. Hitung volume benda pejal yang dibatasi oleh : a. y = x 2, y + z = 4, x = 0, z = 0. b. 1 = z 2+y 2, y = x, x = 0. c. x 2 = y, z 2 =y, y = 1. d. y = x 2 + 2, y = 4, z = 0, 3 y - 4 z = 0. 4. Hitung 12/16/2021 KALKULUS LANJUT 9

Integral Lipat Tiga (Koordinat Tabung dan Bola) Koordinat Tabung z Koordinat Bola P( , , ) z P(r, , z) z r y x Syarat & hubungan dg Kartesius r 0, 0 2 x = r cos y = r sin z=z r 2 = x 2 + y 2 z r y x Syarat & hubungan dg Kartesius 0, 0 2 , 0 x = r cos r = sin } x = cos sin y = r sin r = sin } y = sin z = cos x 2 + y 2 + z 2 = 2 Jika D benda pejal punya sumbu simetri Koordinat Tabung Jika D benda pejal yang simetri terhadap satu titik Koordinat Bola 12/16/2021 KALKULUS LANJUT 10

Contoh 1. Sketsa D; D benda pejal di oktan I yang dibatasi oleh tabung x 2+y 2=4 dan bidang z = 0, z = 4 z Jawab. 4 D dalam koordinat: 2 0 2 x 12/16/2021 y r x 2+y 2=4 a. Cartesius: D={(x, y, z)| 0≤x≤ 2, 0≤y≤ 0≤z≤ 4} b. Tabung: D={(x, y, z)| 0≤r≤ 2, 0≤ ≤ /2, 0≤z≤ 4} KALKULUS LANJUT , 11

Contoh 2. Sketsa D; D bagian bola x 2+y 2 + z 2=4 di oktan I. Jawab. z D dalam koordinat: 2 0 2 x 12/16/2021 r 2 y a. Cartesius: D={(x, y, z)| 0≤x≤ 2, 0≤y≤ 0≤z≤ } b. Tabung: D={(x, y, z)| 0≤ ≤ 2, 0≤ ≤ /2} KALKULUS LANJUT , 12

Penggantian Peubah dalam Integral Lipat Tiga Definisi misalkan x=m(u, v, w); y=n(u, v, w); z=p(u, v, w) maka: dimana Jacobian 12/16/2021 KALKULUS LANJUT 13

Koordinat Kartesius Tabung x = r cos y = r sin z=z Matriks Jacobiannya: 12/16/2021 KALKULUS LANJUT 14

Koordinat Kartesius Bola x = cos sin y = sin z = cos Matriks Jacobiannya: 12/16/2021 KALKULUS LANJUT 15

Contoh (Tabung) 1. Hitung volume benda pejal yang dibatasi oleh paraboloid z = x 2 + y 2 dan z = 4. Z z=4 Sxy x Jawab. Daerah S dalam Koordinat Cartesius adalah: y , y S={(x, y, z)|-2 x 2, x 2 + y 2 z 4} Dalam koordinat tabung: S={(r, , z)|0 r 2, 0 2 , r 2 z 4} Sehingga, volume benda pejalnya adalah 12/16/2021 KALKULUS LANJUT 16

Contoh (Lanjutan) Jadi volume benda pejalnya adalah 8 12/16/2021 KALKULUS LANJUT 17

Contoh (bola) 2. Hitung volume bola pejal x 2 + y 2 + z 2 = 4 di oktan I z 2 2 x Jawab. D dalam koordinat: a. Cartesius: D={(x, y, z)| 0≤x≤ 2, 0≤y≤ 2 0 0≤z≤ } y b. Bola: D={(x, y, z)| 0≤ ≤ 2, 0≤ ≤ /2} Sehingga, volume benda pejalnya adalah 12/16/2021 KALKULUS LANJUT , 18

Contoh (Lanjutan) Jadi volume benda pejalnya adalah 4 /3 12/16/2021 KALKULUS LANJUT 19

Contoh 1. Hitung , dengan D benda pejal yang dibatasi z =9 – x 2 – y 2 dan bidang xy. 2. Hitung volume benda pejal yang di oktan I yang dibatasi bola x 2 + y 2+ z 2 = 1 dan x 2 + y 2+ z 2 =4. 3. Hitung volume benda pejal yang di batasi di atas oleh bola r 2+ z 2 = 5 dan di bawah r 2 =4 z. 4. Hitung volume benda pejal yang dibatasi oleh paraboloid z = x 2 + y 2 dan bidang z =4. 5. Hitung volume benda pejal yang di batasi oleh bola x 2+ y 2+ z 2 = 9, di bawah oleh bidang z = 0 dan secara menyamping oleh tabung x 2+y 2=4. 12/16/2021 KALKULUS LANJUT 20

Latihan 6. Hitung volume benda pejal yang di dalam bola x 2+ y 2+ z 2 = 9, di luar kerucut dan di atas bidang xy. 7. Hitung 8. Hitung 9. Hitung 12/16/2021 KALKULUS LANJUT 21