Universitas Indonusa Esa Unggul Fakultas Ilmu Komputer Teknik
- Slides: 35
Universitas Indonusa Esa Unggul Fakultas Ilmu Komputer Teknik Informatika Integral Lipat Dua
Integral Lipat Dua Misalkan z = f(x, y) terdefinisi pada R merupakan suatu persegi panjang tertutup, yaitu : R = {(x, y) : a x b, c y d} z 1. Z=f(x, y) 2. 3. c a b yk xk Bentuk partisi [a, b] dan [c, d] menjadi n bagian. Pilih pada setiap sub interval pada [xi, xi-1] dan [yi, yi-1] Bentuk jumlah Riemann. d y R 4. Jika n (|P| 0) diperoleh limit jumlah Riemann. x Jika limit ada, maka z = f(x, y) terintegralkan Riemann pada R, ditulis 5/19/2021 KALKULUS LANJUT 2
Integral Lipat Dua Definisi integral lipat dua : Misalkan f suatu fungsi dua peubah yang terdefinisi pada suatu persegi panjang tertutup R. Jika ada, kita katakan f dapat diintegralkan pada R. Lebih lanjut yang disebut integral lipat dua f pada R diberikan oleh : atau 5/19/2021 KALKULUS LANJUT 3
Arti Geometri Integral Lipat Dua Jika z = f(x, y) kontinu, f(x, y) 0 pada persegpanjang R, maka menyatakan volume benda padat yang terletak di bawah permukaan z = f(x, y) dan di atas R. 5/19/2021 KALKULUS LANJUT 4
Menghitung Integral Lipat Dua Jika f(x, y) 0 pada R, maka volume dapat dihitung dengan metode irisan sejajar, yaitu: (i) Sejajar bidang XOZ z z z= f(x, y) A(y) a A(y) c d y a b x 5/19/2021 KALKULUS LANJUT 5
Menghitung Integral Lipat Dua (Lanjutan) Maka 5/19/2021 KALKULUS LANJUT 6
Menghitung Integral Lipat Dua (lanjutan) (ii) Sejajar bidang YOZ z z z= f(x, y) A(x) a c d y b x 5/19/2021 KALKULUS LANJUT 7
Menghitung Integral Lipat Dua (Lanjutan) Maka 5/19/2021 KALKULUS LANJUT 8
Contoh 1. Hitung integral lipat dua berikut ini : dimana R = {(x, y) | 0 x 6, 0 y 4} Jawab: y 4 R 6 5/19/2021 x KALKULUS LANJUT 9
Contoh Atau, 5/19/2021 KALKULUS LANJUT 10
Contoh 2. Hitung integral lipat dua berikut ini : dimana R = {(x, y) | 0 x /2, 0 y /2} Jawab: y /2 R /2 5/19/2021 x KALKULUS LANJUT 11
Latihan 1. Hitung 2. untuk fungsi a. f(x, y)= (x + 2 y)2 dengan R = [-1, 2] x [0, 2] b. f(x, y)= x 2 + y 2 dengan R = [0, 1] x [0, 1] c. f(x, y)= y 3 cos 2 x dengan R = [- /2, ] x [1, 2] 5/19/2021 KALKULUS LANJUT 12
Sifat Integral Lipat Dua Misalkan f(x, y) dan g(x, y) terdefinisi di persegipanjang R 1. 2. 3. Jika R = R 1 + R 2 , maka 4. Jika f(x, y) g(x, y), maka 5/19/2021 KALKULUS LANJUT 13
Integral Lipat Dua atas Daerah Sembarang Ada dua tipe 1 Tipe I D = {(x, y) | a x b , p(x) y q(x) } 1 Tipe II D = {(x, y) | r(y) x s(y) , c y d } 5/19/2021 KALKULUS LANJUT 14
Tipe I Integral lipat dua pada daerah D dapat dihitung sebagai berikut : x y D={(x, y)| a x b, p(x) y q(x)} 5/19/2021 KALKULUS LANJUT 15
Tipe II Integral lipat dua pada daerah D dapat dihitung sebagai berikut : d x D c s (y) r (y) x y D={(x, y)|r(y) x s(y), c y d} 5/19/2021 KALKULUS LANJUT 16
Aturan Integrasi 0 0 0 Urutan pengintegralan dalam integral lipat dua tergantung dari bentuk D (daerah integrasi). Dalam perhitungannya, kadangkala kita perlu merubah urutan pengintegralan. Hal ini dapat disebabkan dengan perubahan urutan pengintegralan akan memudahkan dalam proses integrasinya. Oleh karena itu, langkah pertama kita harus dapat menggambarkan daerah integrasi, integrasi selanjutnya kita dapat merubah urutan integrasi dengan mengacu pada sketsa daerah integrasi yang sama. 5/19/2021 KALKULUS LANJUT 17
Contoh , R dibatasi x= y 2, y =1, sumbu y 1. Hitung R = {(x, y)| 0 x y 2, 0 y 1} y x = y 2 1 x R 1 5/19/2021 x KALKULUS LANJUT 18
Contoh Atau dibalik urutan pengintegralannya, yaitu: R = {(x, y)| 0 x 1, x y 1} y x = y 2 1 R y 5/19/2021 1 x KALKULUS LANJUT 19
Contoh Jawab: Daerah integrasinya R = {(x, y)| 0 x 4, x/2 y 2} Diubah urutan pengintegralannya, yaitu: y R = {(x, y)| 0 x 2 y, 0 y 2} Sehingga yx=2 y = x/2 2 x R y 5/19/2021 4 x KALKULUS LANJUT 20
Latihan 5/19/2021 KALKULUS LANJUT 21
Integral lipat dalam koordinat kutub/polar Hitung , D={(x, y)|x 2+y 2 4} Dalam sistem koordinat kartesius, integral ini sulit untuk diselesaikan. Sistem Koordinat Kutub Hubungan Kartesius – Kutub x = r cos x 2+y 2=r 2 y = r sin = tan-1(y/x) y r P(r, ) x 5/19/2021 =0 (sumbu kutub) KALKULUS LANJUT 22
Transformasi kartesius ke kutub Misalkan z = f(x, y) terdefinisi pada persegipanjang kutub D D={(r, )| a r b, } Ak r=a Ak = r=b D = Sumbu Kutub rk-1 rk Pandang satu partisi persegi panjang kutub Ak Luas juring lingkaran dengan sudut pusat adalah ½ r 2 Ak = ½ rk 2 - ½ rk-12 = ½ (rk 2 - rk-12) = ½ (rk + rk-1) (rk - rk-1) = r r Jika |P| 0, maka d. A = r dr d (|P| panjang diagonal Ak) 5/19/2021 KALKULUS LANJUT 23
Transformasi kartesius ke kutub Sehingga Contoh: 1. Hitung 2. Hitung 5/19/2021 , D={(x, y)|x 2+y 2 4} , D adalah daerah di kuadran I di dalam lingkaran x 2+y 2=4 dan di luar x 2+y 2=1 KALKULUS LANJUT 24
Contoh dengan D = {(x, y)| x 2+y 2 4} Jawab. D adalah daerah di dalam lingkaran dengan pusat (0, 0) jari-jari 2. D = {(r, )| 0 r 2, 0 2 } y Sehingga 2 D 5/19/2021 KALKULUS LANJUT r 2 x 25
Contoh dengan D adalah persegipanjang kutub di kuadran I di dalam lingkaran x 2+y 2=4 di luar x 2+y 2=1 D = {(r, )| 1 r 2, 0 /2} Sehingga y D r 1 5/19/2021 KALKULUS LANJUT 2 x 26
Latihan 1. Hitung 2. Hitung 3. Tentukan volume benda pejal di oktan I di bawah paraboloid z = x 2+y 2 dan di dalam tabung x 2 + y 2 = 9 dengan menggunakan koordinat kutub. 5/19/2021 KALKULUS LANJUT 27
D daerah sembarang/umum D={(r, )| 1( ) r 2( ), } D={(r, )| a r b, 1(r) 2(r)} 1. 2. = 2(r) r=b = r= 2( ) r= 1( ) D D = r=a Sumbu Kutub 5/19/2021 KALKULUS LANJUT = 1(r) Sumbu Kutub 28
Tuliskan daerah integrasi dalam koordinat polar 1 Terlihat bahwa D adalah lingkaran dengan pusat di (1, 0) dan berjari-jari 1 D 1 2 Jadi, (x – 1)2 + y 2 = 1 x 2 – 2 x + 1 + y 2 = 1 x 2 + y 2 = 2 x r 2 = 2 r cos r 2 – 2 r cos =0 r (r – 2 cos )=0 r = 0 atau r = 2 cos Untuk batas (dari gambar) =– /2 = /2 Sehingga, D={(r, )| 0 r 2 cos , – /2 /2} 5/19/2021 KALKULUS LANJUT 29
Tuliskan daerah integrasi dalam koordinat polar y = /4 x=1 x=2 y=0 y= D 1 2 x x 2 + y 2 – 2 x = 0 (x – 1)2 + y 2 = 1 ini merupakan lingkaran pusat (1, 0), jari-jari 1 y 2 = 2 x – x 2 Untuk batas r dihitung mulai r cos = 1 x=1 hingga r = 2 cos r = sec Untuk batas (dari gambar) =0 = /4 Sehingga koordinat polarnya adalah D={(r, )| sec r 2 cos , 0 /4} 5/19/2021 KALKULUS LANJUT 30
Tuliskan daerah integrasi dalam koordinat polar 2 Terlihat bahwa D adalah lingkaran dengan pusat di (0, 1) dan berjari-jari 1 1 Jadi, x 2 + (y – 1)2 = 1 x 2 + y 2 – 2 y + 1 = 1 x 2 + y 2 = 2 y r 2 = 2 r sin r 2 – 2 r sin =0 r (r – 2 sin )=0 r = 0 atau r = 2 sin 1 Untuk batas (dari gambar) =0 = Sehingga, D={(r, )| 0 r 2 sin , 0 } 5/19/2021 KALKULUS LANJUT 31
Tuliskan daerah integrasi dalam koordinat polar 1 D 1 x=0 x=1 y=0 y=x Untuk batas r x=1 r cos = 1 r = sec Untuk batas (dari gambar) =0 = /4 Sehingga koordinat polarnya adalah D={(r, )| 0 r sec , 0 /4} 5/19/2021 KALKULUS LANJUT 32
Contoh 1. Hitung Jawab: Dari soal terlihat batas untuk x dan y: x=1 x=2 y=0 y= x 2 + y 2 – 2 x = 0 (x – 1)2 + y 2 = 1 ini merupakan lingkaran dengan pusat (1, 0), jari-jari 1 y Koordinat polarnya adalah = /4 y 2 = 2 x – x 2 D={(r, )| sec r 2 cos , 0 /4} D 1 5/19/2021 2 x KALKULUS LANJUT 33
Contoh (Lanjutan) Sehingga, 5/19/2021 KALKULUS LANJUT 34
Latihan 1. Hitung 2. Hitung 3. Hitung 5/19/2021 , S daerah dalam lingkaran r = 4 cos dan di luar r = 2 (dengan koordinat kutub) , D daerah kuadran I dari lingkaran x 2+y 2=1 antara y=0 dan y=x KALKULUS LANJUT 35
- Hyper computer gunadarma
- Fakultas ekonomi dan bisnis universitas brawijaya
- Psikolog gunadarma
- Nim esa unggul
- Kesehatan masyarakat esa unggul
- Perpus esa unggul
- Bap esa unggul
- Fakultas perikanan dan ilmu kelautan ub
- Fakultas teknik umm
- Teknik informatika gunadarma
- Fakultas teknik unm parangtambung
- Fakultas teknik industri gunadarma
- Fakultas teknik industri gunadarma
- Esa multimedia.esa.int./multimedia/virtual-tour-iss
- Mata kuliah teknik industri
- Mohammedaansch recht
- Visi misi fakultas peternakan unpad
- Visi dan misi anggota bpm
- Ulpt unisba
- Dokter muhartono meninggal
- Hubungan antropologi dengan ilmu politik
- Hubungan ilmu politik dengan ilmu psikologi
- Struktur ilmu pengetahuan filsafat ilmu
- Hubungan ilmu farmasi dengan ilmu fisika
- Cara mengislamkan jin qorin kita
- Perbedaan ilmu alamiah dasar dan ilmu pengetahuan alam
- Hubungan ilmu akhlak dengan ilmu tasawuf
- Ilmu galenika adalah ilmu yang mempelajari tentang
- Maksud mutadayyin
- Bina ayat sahsiah
- Modul sumur
- Transformasi budaya unggul dan berkarakter
- Pt bhakti unggul teknovasi
- Metode penelitian ilmu komputer
- Perbedaan organisasi komputer dan arsitektur komputer
- Contoh organisasi komputer