Universitas Indonusa Esa Unggul Fakultas Ilmu Komputer Teknik

  • Slides: 35
Download presentation
Universitas Indonusa Esa Unggul Fakultas Ilmu Komputer Teknik Informatika Integral Lipat Dua

Universitas Indonusa Esa Unggul Fakultas Ilmu Komputer Teknik Informatika Integral Lipat Dua

Integral Lipat Dua Misalkan z = f(x, y) terdefinisi pada R merupakan suatu persegi

Integral Lipat Dua Misalkan z = f(x, y) terdefinisi pada R merupakan suatu persegi panjang tertutup, yaitu : R = {(x, y) : a x b, c y d} z 1. Z=f(x, y) 2. 3. c a b yk xk Bentuk partisi [a, b] dan [c, d] menjadi n bagian. Pilih pada setiap sub interval pada [xi, xi-1] dan [yi, yi-1] Bentuk jumlah Riemann. d y R 4. Jika n (|P| 0) diperoleh limit jumlah Riemann. x Jika limit ada, maka z = f(x, y) terintegralkan Riemann pada R, ditulis 5/19/2021 KALKULUS LANJUT 2

Integral Lipat Dua Definisi integral lipat dua : Misalkan f suatu fungsi dua peubah

Integral Lipat Dua Definisi integral lipat dua : Misalkan f suatu fungsi dua peubah yang terdefinisi pada suatu persegi panjang tertutup R. Jika ada, kita katakan f dapat diintegralkan pada R. Lebih lanjut yang disebut integral lipat dua f pada R diberikan oleh : atau 5/19/2021 KALKULUS LANJUT 3

Arti Geometri Integral Lipat Dua Jika z = f(x, y) kontinu, f(x, y) 0

Arti Geometri Integral Lipat Dua Jika z = f(x, y) kontinu, f(x, y) 0 pada persegpanjang R, maka menyatakan volume benda padat yang terletak di bawah permukaan z = f(x, y) dan di atas R. 5/19/2021 KALKULUS LANJUT 4

Menghitung Integral Lipat Dua Jika f(x, y) 0 pada R, maka volume dapat dihitung

Menghitung Integral Lipat Dua Jika f(x, y) 0 pada R, maka volume dapat dihitung dengan metode irisan sejajar, yaitu: (i) Sejajar bidang XOZ z z z= f(x, y) A(y) a A(y) c d y a b x 5/19/2021 KALKULUS LANJUT 5

Menghitung Integral Lipat Dua (Lanjutan) Maka 5/19/2021 KALKULUS LANJUT 6

Menghitung Integral Lipat Dua (Lanjutan) Maka 5/19/2021 KALKULUS LANJUT 6

Menghitung Integral Lipat Dua (lanjutan) (ii) Sejajar bidang YOZ z z z= f(x, y)

Menghitung Integral Lipat Dua (lanjutan) (ii) Sejajar bidang YOZ z z z= f(x, y) A(x) a c d y b x 5/19/2021 KALKULUS LANJUT 7

Menghitung Integral Lipat Dua (Lanjutan) Maka 5/19/2021 KALKULUS LANJUT 8

Menghitung Integral Lipat Dua (Lanjutan) Maka 5/19/2021 KALKULUS LANJUT 8

Contoh 1. Hitung integral lipat dua berikut ini : dimana R = {(x, y)

Contoh 1. Hitung integral lipat dua berikut ini : dimana R = {(x, y) | 0 x 6, 0 y 4} Jawab: y 4 R 6 5/19/2021 x KALKULUS LANJUT 9

Contoh Atau, 5/19/2021 KALKULUS LANJUT 10

Contoh Atau, 5/19/2021 KALKULUS LANJUT 10

Contoh 2. Hitung integral lipat dua berikut ini : dimana R = {(x, y)

Contoh 2. Hitung integral lipat dua berikut ini : dimana R = {(x, y) | 0 x /2, 0 y /2} Jawab: y /2 R /2 5/19/2021 x KALKULUS LANJUT 11

Latihan 1. Hitung 2. untuk fungsi a. f(x, y)= (x + 2 y)2 dengan

Latihan 1. Hitung 2. untuk fungsi a. f(x, y)= (x + 2 y)2 dengan R = [-1, 2] x [0, 2] b. f(x, y)= x 2 + y 2 dengan R = [0, 1] x [0, 1] c. f(x, y)= y 3 cos 2 x dengan R = [- /2, ] x [1, 2] 5/19/2021 KALKULUS LANJUT 12

Sifat Integral Lipat Dua Misalkan f(x, y) dan g(x, y) terdefinisi di persegipanjang R

Sifat Integral Lipat Dua Misalkan f(x, y) dan g(x, y) terdefinisi di persegipanjang R 1. 2. 3. Jika R = R 1 + R 2 , maka 4. Jika f(x, y) g(x, y), maka 5/19/2021 KALKULUS LANJUT 13

Integral Lipat Dua atas Daerah Sembarang Ada dua tipe 1 Tipe I D =

Integral Lipat Dua atas Daerah Sembarang Ada dua tipe 1 Tipe I D = {(x, y) | a x b , p(x) y q(x) } 1 Tipe II D = {(x, y) | r(y) x s(y) , c y d } 5/19/2021 KALKULUS LANJUT 14

Tipe I Integral lipat dua pada daerah D dapat dihitung sebagai berikut : x

Tipe I Integral lipat dua pada daerah D dapat dihitung sebagai berikut : x y D={(x, y)| a x b, p(x) y q(x)} 5/19/2021 KALKULUS LANJUT 15

Tipe II Integral lipat dua pada daerah D dapat dihitung sebagai berikut : d

Tipe II Integral lipat dua pada daerah D dapat dihitung sebagai berikut : d x D c s (y) r (y) x y D={(x, y)|r(y) x s(y), c y d} 5/19/2021 KALKULUS LANJUT 16

Aturan Integrasi 0 0 0 Urutan pengintegralan dalam integral lipat dua tergantung dari bentuk

Aturan Integrasi 0 0 0 Urutan pengintegralan dalam integral lipat dua tergantung dari bentuk D (daerah integrasi). Dalam perhitungannya, kadangkala kita perlu merubah urutan pengintegralan. Hal ini dapat disebabkan dengan perubahan urutan pengintegralan akan memudahkan dalam proses integrasinya. Oleh karena itu, langkah pertama kita harus dapat menggambarkan daerah integrasi, integrasi selanjutnya kita dapat merubah urutan integrasi dengan mengacu pada sketsa daerah integrasi yang sama. 5/19/2021 KALKULUS LANJUT 17

Contoh , R dibatasi x= y 2, y =1, sumbu y 1. Hitung R

Contoh , R dibatasi x= y 2, y =1, sumbu y 1. Hitung R = {(x, y)| 0 x y 2, 0 y 1} y x = y 2 1 x R 1 5/19/2021 x KALKULUS LANJUT 18

Contoh Atau dibalik urutan pengintegralannya, yaitu: R = {(x, y)| 0 x 1, x

Contoh Atau dibalik urutan pengintegralannya, yaitu: R = {(x, y)| 0 x 1, x y 1} y x = y 2 1 R y 5/19/2021 1 x KALKULUS LANJUT 19

Contoh Jawab: Daerah integrasinya R = {(x, y)| 0 x 4, x/2 y 2}

Contoh Jawab: Daerah integrasinya R = {(x, y)| 0 x 4, x/2 y 2} Diubah urutan pengintegralannya, yaitu: y R = {(x, y)| 0 x 2 y, 0 y 2} Sehingga yx=2 y = x/2 2 x R y 5/19/2021 4 x KALKULUS LANJUT 20

Latihan 5/19/2021 KALKULUS LANJUT 21

Latihan 5/19/2021 KALKULUS LANJUT 21

Integral lipat dalam koordinat kutub/polar Hitung , D={(x, y)|x 2+y 2 4} Dalam sistem

Integral lipat dalam koordinat kutub/polar Hitung , D={(x, y)|x 2+y 2 4} Dalam sistem koordinat kartesius, integral ini sulit untuk diselesaikan. Sistem Koordinat Kutub Hubungan Kartesius – Kutub x = r cos x 2+y 2=r 2 y = r sin = tan-1(y/x) y r P(r, ) x 5/19/2021 =0 (sumbu kutub) KALKULUS LANJUT 22

Transformasi kartesius ke kutub Misalkan z = f(x, y) terdefinisi pada persegipanjang kutub D

Transformasi kartesius ke kutub Misalkan z = f(x, y) terdefinisi pada persegipanjang kutub D D={(r, )| a r b, } Ak r=a Ak = r=b D = Sumbu Kutub rk-1 rk Pandang satu partisi persegi panjang kutub Ak Luas juring lingkaran dengan sudut pusat adalah ½ r 2 Ak = ½ rk 2 - ½ rk-12 = ½ (rk 2 - rk-12) = ½ (rk + rk-1) (rk - rk-1) = r r Jika |P| 0, maka d. A = r dr d (|P| panjang diagonal Ak) 5/19/2021 KALKULUS LANJUT 23

Transformasi kartesius ke kutub Sehingga Contoh: 1. Hitung 2. Hitung 5/19/2021 , D={(x, y)|x

Transformasi kartesius ke kutub Sehingga Contoh: 1. Hitung 2. Hitung 5/19/2021 , D={(x, y)|x 2+y 2 4} , D adalah daerah di kuadran I di dalam lingkaran x 2+y 2=4 dan di luar x 2+y 2=1 KALKULUS LANJUT 24

Contoh dengan D = {(x, y)| x 2+y 2 4} Jawab. D adalah daerah

Contoh dengan D = {(x, y)| x 2+y 2 4} Jawab. D adalah daerah di dalam lingkaran dengan pusat (0, 0) jari-jari 2. D = {(r, )| 0 r 2, 0 2 } y Sehingga 2 D 5/19/2021 KALKULUS LANJUT r 2 x 25

Contoh dengan D adalah persegipanjang kutub di kuadran I di dalam lingkaran x 2+y

Contoh dengan D adalah persegipanjang kutub di kuadran I di dalam lingkaran x 2+y 2=4 di luar x 2+y 2=1 D = {(r, )| 1 r 2, 0 /2} Sehingga y D r 1 5/19/2021 KALKULUS LANJUT 2 x 26

Latihan 1. Hitung 2. Hitung 3. Tentukan volume benda pejal di oktan I di

Latihan 1. Hitung 2. Hitung 3. Tentukan volume benda pejal di oktan I di bawah paraboloid z = x 2+y 2 dan di dalam tabung x 2 + y 2 = 9 dengan menggunakan koordinat kutub. 5/19/2021 KALKULUS LANJUT 27

D daerah sembarang/umum D={(r, )| 1( ) r 2( ), } D={(r, )| a

D daerah sembarang/umum D={(r, )| 1( ) r 2( ), } D={(r, )| a r b, 1(r) 2(r)} 1. 2. = 2(r) r=b = r= 2( ) r= 1( ) D D = r=a Sumbu Kutub 5/19/2021 KALKULUS LANJUT = 1(r) Sumbu Kutub 28

Tuliskan daerah integrasi dalam koordinat polar 1 Terlihat bahwa D adalah lingkaran dengan pusat

Tuliskan daerah integrasi dalam koordinat polar 1 Terlihat bahwa D adalah lingkaran dengan pusat di (1, 0) dan berjari-jari 1 D 1 2 Jadi, (x – 1)2 + y 2 = 1 x 2 – 2 x + 1 + y 2 = 1 x 2 + y 2 = 2 x r 2 = 2 r cos r 2 – 2 r cos =0 r (r – 2 cos )=0 r = 0 atau r = 2 cos Untuk batas (dari gambar) =– /2 = /2 Sehingga, D={(r, )| 0 r 2 cos , – /2 /2} 5/19/2021 KALKULUS LANJUT 29

Tuliskan daerah integrasi dalam koordinat polar y = /4 x=1 x=2 y=0 y= D

Tuliskan daerah integrasi dalam koordinat polar y = /4 x=1 x=2 y=0 y= D 1 2 x x 2 + y 2 – 2 x = 0 (x – 1)2 + y 2 = 1 ini merupakan lingkaran pusat (1, 0), jari-jari 1 y 2 = 2 x – x 2 Untuk batas r dihitung mulai r cos = 1 x=1 hingga r = 2 cos r = sec Untuk batas (dari gambar) =0 = /4 Sehingga koordinat polarnya adalah D={(r, )| sec r 2 cos , 0 /4} 5/19/2021 KALKULUS LANJUT 30

Tuliskan daerah integrasi dalam koordinat polar 2 Terlihat bahwa D adalah lingkaran dengan pusat

Tuliskan daerah integrasi dalam koordinat polar 2 Terlihat bahwa D adalah lingkaran dengan pusat di (0, 1) dan berjari-jari 1 1 Jadi, x 2 + (y – 1)2 = 1 x 2 + y 2 – 2 y + 1 = 1 x 2 + y 2 = 2 y r 2 = 2 r sin r 2 – 2 r sin =0 r (r – 2 sin )=0 r = 0 atau r = 2 sin 1 Untuk batas (dari gambar) =0 = Sehingga, D={(r, )| 0 r 2 sin , 0 } 5/19/2021 KALKULUS LANJUT 31

Tuliskan daerah integrasi dalam koordinat polar 1 D 1 x=0 x=1 y=0 y=x Untuk

Tuliskan daerah integrasi dalam koordinat polar 1 D 1 x=0 x=1 y=0 y=x Untuk batas r x=1 r cos = 1 r = sec Untuk batas (dari gambar) =0 = /4 Sehingga koordinat polarnya adalah D={(r, )| 0 r sec , 0 /4} 5/19/2021 KALKULUS LANJUT 32

Contoh 1. Hitung Jawab: Dari soal terlihat batas untuk x dan y: x=1 x=2

Contoh 1. Hitung Jawab: Dari soal terlihat batas untuk x dan y: x=1 x=2 y=0 y= x 2 + y 2 – 2 x = 0 (x – 1)2 + y 2 = 1 ini merupakan lingkaran dengan pusat (1, 0), jari-jari 1 y Koordinat polarnya adalah = /4 y 2 = 2 x – x 2 D={(r, )| sec r 2 cos , 0 /4} D 1 5/19/2021 2 x KALKULUS LANJUT 33

Contoh (Lanjutan) Sehingga, 5/19/2021 KALKULUS LANJUT 34

Contoh (Lanjutan) Sehingga, 5/19/2021 KALKULUS LANJUT 34

Latihan 1. Hitung 2. Hitung 3. Hitung 5/19/2021 , S daerah dalam lingkaran r

Latihan 1. Hitung 2. Hitung 3. Hitung 5/19/2021 , S daerah dalam lingkaran r = 4 cos dan di luar r = 2 (dengan koordinat kutub) , D daerah kuadran I dari lingkaran x 2+y 2=1 antara y=0 dan y=x KALKULUS LANJUT 35